Lucas : applications ?

lolo · January 2006

Bonjour,

Quelqu'un connaitrait-il une jolie application du théorème qui dit que les zéros de P' sont dans l'enveloppe convexe des zéros de P ?

merci,
lolo

Mikaël2 · January 2006

si P est un polynome a coefficients dans R[X] scindé sur R alors P' est scindé sur R.

Mikaël2 · January 2006

pardon a coefficients ds R

corentin0 · January 2006

Je trouve ça un peu moyen comme application puisque c'est déja une application simple du théorème de Rolle.
Une autre idée?

cyrille3 · January 2006

bonjour,
comme application du théorème de Lucas il y a les théorèmes de Laguerre et le théorème des 2 cercles de Walsh ( une généralisation )

lolo · January 2006

merci Cyrille peux-tu préciser ce que c'est (sinon je googlise ?)

lolo

cyrille3 · January 2006

en ce qui concerne le théorème de walsh il "localise" les zéros d'un produit et d'un quotient de deux polynomes ...
et pour le théorème de Laguerre:
soit P un polynome complexe de degré inférieur ou égal à n ayant toutes ses zeros dans un disque D. soit a un nombre complexe:
on considère Q(z) = n P(z) + ( a-z) P'(z) et w un zéro de Q
Si a n'est pas dans D alors w est dans D
( en gros on "localise" les zéros de Q )

ceci est fait dans le livre "Polynomials and polynomial equalities"de Borwein Erdelyi"
il soulève aussi la question : a quelle condition ( dans le théorème de Lucas ) les zéros appartiennent ils à la frontière de l'enveloppe convexe?

lolo · January 2006

ok merci , encore de la lecture.

lolo

Lucas : applications ?

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