Espérance conditionnelle et probabilité conditionnelle
Bonjour
Soit $T$ une variable aléatoire à valeurs dans $\N^∗$ dont la loi est donnée par $P(T = n) = 1/(n(n+1))$. On considère la suite de variables aléatoires réelles $X_n = (n +1)1_{T>n}$.
1. Montrer que $(X_n)$ est une martingale positive.
Je ne comprends pas vraiment pourquoi "Le fait que $X_n$ soit une martingale se ramène au calcul de $P(T > n + 1 \mid T > n)$" même si on voit l'analogie avec $E[X]= \sum_i i P(X=i)$.
En effet, je crois que je ne sais pas bien manipuler la tribu $F_n$ (je présume que $F_n = \sigma (X_0,\dots,X_n)$) qui est dans $E[X_{n+1} \mid F_n]$ pour arriver à $P(T > n + 1 \mid T > n)$.
Bien cordialement,
Soit $T$ une variable aléatoire à valeurs dans $\N^∗$ dont la loi est donnée par $P(T = n) = 1/(n(n+1))$. On considère la suite de variables aléatoires réelles $X_n = (n +1)1_{T>n}$.
1. Montrer que $(X_n)$ est une martingale positive.
Je ne comprends pas vraiment pourquoi "Le fait que $X_n$ soit une martingale se ramène au calcul de $P(T > n + 1 \mid T > n)$" même si on voit l'analogie avec $E[X]= \sum_i i P(X=i)$.
En effet, je crois que je ne sais pas bien manipuler la tribu $F_n$ (je présume que $F_n = \sigma (X_0,\dots,X_n)$) qui est dans $E[X_{n+1} \mid F_n]$ pour arriver à $P(T > n + 1 \mid T > n)$.
Bien cordialement,
Réponses
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On a $F_n = \sigma(\{(T > k) \mid k \leq n\})$ ce qui permet de conclure.
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Merci pour votre réponse.
Donc, je dois calculer $E[X_{n+1} \mid T>k]$ pour $k \leq n $. $$
E[X_{n+1} \mid T>k] = \frac{E[X_{n+1} 1_{T>k}]}{P(T>k)}=\frac{(n+2)E[1_{T>n+1}]}{P(T>k)}=(n+2) \frac{P(T>n+1)}{P(T>k)}= (n+2) \sum_{i=k+1}^{n+1} i(i+1)
$$ Mais comment interpréter ce résultat ensuite ? -
Salut, ton résultat est étrange $\frac{p(T>n+1)}{p(T>k)}$ devrait être inférieur à 1 vu que $T>n+1 \Rightarrow T>k$ ...
Bonne soirée. -
En effet, ma dernière égalité est totalement fausse.
Malheureusement, je n'arrive à rien de concret. Même en considérant que $\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{i(i+1)}=\frac{n}{n+1}$. -
C'est évident, il suffit de calculer $$\mathbb{E}[X_{n+1} \mid F_n] = (n+2)\mathbb{E}[1_{T > n+1} \mid T > k, k \leq n] = (n+2) \mathbb{P}(T > n+1 \mid T > k, k \leq n) = (n+2) \mathbb{P}(T > n+1 \mid T > n).$$
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Mais ensuite, pour montrer que c'est une martingale, il faut que je calcule $P(T>n+1 \mid T>n)$.
Bien cordialement, -
Ca c'est pas trop dur, ça se fait avec la formule de "première" ;-) D'autant plus que $(T>n+1) \cap (T>n)=(T>n+1)$ ;-)
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