Suite extraite

Bethebesteveryday
Modifié (October 2023) dans Analyse
Bonjour.
Je pose $(x_n)$ une suite sur un corps , et $(x_{\phi(n)})$ sa suite extraite.
S'il vous plait , pourquoi dans la définition des suites extraites on exige que la fonction phi soit croissante ?
Merci beaucoup.

Réponses

  • gerard0
    Modifié (October 2023)
    Bonjour.
    "sa suite extraite" ?? Il n'y en a qu'une seule possible ?
    "pourquoi [...] on exige que la fonction phi soit croissante ?" croissante ne suffit pas.
    Soit $u$ une suite, que penser de la "suite extraite" $(u_0)_n$ ? (*)
    Et la raison est simplement l'usage que l'on va faire de cette notion, dans toutes les questions de "ce qui se passe à la fin" : limites, convergence, équivalents, etc.
    Cordialement.
    (*) $\phi : n\mapsto 0$, fonction croissante
  • lourrran
    Modifié (October 2023)
    Imaginons l'exercice suivant :
    $(u_n)$ est une suite, et $(v_n)$ est la suite définie par 
    pour tout entier $k$ : 
    $v_{2k} = u_{3k+1}$ 
    $v_{2k+1}=u_{3k}$
    La suite $(v)$ est parfaitement définie, c'est une suite extraite  tirée de la suite $(u)$, mais ma fonction "$\phi$" n'est pas croissante.

    On peut parfaitement faire des exercices de ce type (Montrer que si $u$ converge vers $\ell$, alors $v$ converge aussi vers $\ell$ par exemple).
    Mais c'est chiant.
    Comme les profs de maths sont gentils, ils se limitent aux cas où la suite extraite prend des termes d'indices croissants.

    Et du coup, on a décidé que l'expression 'suite extraite', c'était réservée aux cas où on pioche des termes d'indices croissants. C'est juste une convention de langage.
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
  • JLapin
    Modifié (October 2023)
    S'il vous plait, pourquoi dans la définition des suites extraites on exige que la fonction phi soit croissante 
    Déjà, c'est la stricte croissance qui est imposée. Ensuite, la question "pourquoi cette définition est ce qu'elle est" n'a généralement pas vraiment d'autre réponse que "parce que ça semble une notion utile et pratique".
  • fredaulycee2
    Modifié (October 2023)
    Bonsoir à tous,
    pour une suite $(U_n)$, l'ensemble des indices est rangé par ordre strictement croissant. Si on sélectionne des termes dans cette suite, il est naturel que ceux-cii soient également rangés par ordre strictement croissant des indices... il est donc naturel d'exiger que cette fameuse fonction $\phi$ soit strictement croissante... cette notion est donc naturelle, utile et pratique ;-)
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