Espérance d'une intégrale stochastique

fredaulycee2 · October 2023

Bonjour à tous,
j'ai cru comprendre, sous réserve que cette intégrale soit bien définie, que : $$E\Big(\int_0^tf(u,X_u)dB_u\Big)=0,$$

$(B_t)$ désignant un mouvement brownien.

Ce résultat vous semble-t-il correct ?
D'avance merci.
F

noobey · October 2023

Oui ça vient du fait que l'intégrale est limite de sommes du type $\sum g(X_{t_i},t_i)(B_{t_{i+1}} - B_{t_i})$ et que $g(X_{t_i},t_i)$ est idépendant de $(B_{t_{i+1}} - B_{t_i})$

fredaulycee2 · October 2023

Merci Noobey, c'est à peu près le raisonnement que j'avais fait....j'avais juste un doute par rapport au passage à la limite ;-)

fredaulycee2 · October 2023

Re,
le même genre d'argument permet de montrer que :

$\int_0^t f(s)dB_s$ est une variable aléatoire gaussienne,
$(Y_t)_t= (\int_0^t f(s)dB_s)_t$est un processus gaussien,
$(Z_t)_t=(\int_0^t Y_sds)_t$ est un processus gaussien.

Est-ce correct ?
Bonne soirée
F.

Fulgrim · October 2023

Bonjour,

Oui c'est correct, on approxime les intégrales par des combinaisons linéaires de processus gaussiens, donc leur limite est aussi gaussienne.

fredaulycee2 · October 2023

Encore merci ;-)

Espérance d'une intégrale stochastique

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