Équation diophantienne $x^2+y^2+z^2=k(xy+yz+zx)$

uvdose
Modifié (October 2023) dans Arithmétique
Bonjour,

Je m'intéresse, lorsque $k$ est un entier strictement positif fixé, à l'équation diophantienne
$(\mathscr{E}_k) \;:\;\; x^2+y^2+z^2=k(xy+yz+xz)\,,$
où $x$, $y$ et $z$ sont des entiers strictement positifs.
On dira qu'une solution $(x,y,z)$ de $(\mathscr{E}_k)$ est primitive lorsque $x$, $y$ et $z$ sont premiers entre eux dans leur ensemble et $x\leq y\leq z$.

Il est assez facile de voir que $(\mathscr{E}_1)$ possède $(1,1,1)$ pour unique solution primitive, et sauf erreur, que les solutions primitives de  $(\mathscr{E}_2)$ sont les $(a^2,b^2,(a+b)^2)$, où $a$ et $b$ sont deux entiers strictement positifs premiers entre eux tels que $a\leq b$.

En remarquant que si $(x,y,z)$ est une solution primitive de $(\mathscr{E}_k)$, alors $(y,z,ky+kz-x)$ aussi , on parvient également à prouver que si $k\in\{5;10;14\}$, alors $(\mathscr{E}_k)$ possède une infinité de solutions primitives.

Je m'interroge quant à une réciproque : si $(\mathscr{E}_k)$ possède une solution, a-t-on nécessairement $k\in\{1;2;5;10;14\}$ ?

Merci d'avance pour votre aide.

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