Un curieux triangle isocèle

Bonjour,

J'arrive au même résultat en calcul barycentrique:
$A$ est le centre du cercle inscrit dans le triangle $DEF$, et, en appelant $a,b,c$ les longueurs de ses côtés, on a $AB^2=AC^2=\dfrac{bc(b-a+c)}{a+b+c}$.

Cordialement,
Rescassol

Bonjour,

En barycentriques:

% Jean-Louis Ayme - 10 Octobre 2023 - Un curieux triangle isocèle

clc, clear all, close all

syms a b c real % Longueurs des côtés du triangle ABC

Sa=(b^2+c^2-a^2)/2; % Notations de Conway
Sb=(c^2+a^2-b^2)/2;
Sc=(a^2+b^2-c^2)/2;

%-----------------------------------------------------------------------

A=[1; 0; 0]; % Sommets du triangle ABC
B=[0; 1; 0];
C=[0; 0; 1];

%-----------------------------------------------------------------------

syms x y z real

% Centre du cercle circonscrit et carré de son rayon

O = [a^2*Sa; b^2*Sb; c^2*Sc];

U=[a^2; -b*(b+c); -c*(b+c)]; % Milieux d'arcs
V=[-a*(c+a); b^2; -c*(c+a)];
W=[-a*(a+b); -b*(a+b); c^2];

E=[0; y; z];
NulE=Factor(Distance2(V,E,a,b,c)-Distance2(V,A,a,b,c));  % VE=VA
% On trouve c*yE = (a-c)*zE donc:
E=[0; a-c; c]; F=[0; b; a-b];

L=AxeRadicalBary(V,Distance2(V,A,a,b,c),W,Distance2(W,A,a,b,c),a,b,c);
L=[0, -c, b]; % D vérifie b*z=c*y donc:
D=[x; b; c];
NulD=Factor(Distance2(V,D,a,b,c)-Distance2(V,A,a,b,c));
% x = a, donc D est le centre du cercle inscrit dans ABC
D=[a; b; c];

DE2=Factor(Distance2(D,E,a,b,c)); 
DF2=Factor(Distance2(D,F,a,b,c)); 
% On trouve DE2=DF2=b*c*(b-a+c)/(a+b+c) et DEF est D-isocèle

CF2=Factor(Distance2(C,F,a,b,c)); % CF2=b^2 donc ACF est C-isocèle
BE2=Factor(Distance2(B,E,a,b,c)); % BE2=c^2 donc ABE est B-isocèle

Rescassol

PS: J'ai modifié les notations car j'aime bien que le triangle de départ s'appelle $ABC$.
J'ai donc interverti $ABC$ et $DEF$.