Sous-espace vectoriel engendré

Bonjour

Étant données une partie $A$ d'un espace vectoriel $E$ sur un corps commutatif $\mathbb{K}$, et $(V_i)_{i\in I}$ une famille de sous-espaces vectoriels de $E$ contenant $A$, je cherche à montrer que ${\rm Vect}(A) = \bigcap_{i\in I} V_i$.

Pour plus de simplicité, je pose $V:=\bigcap_{i\in I} V_i$. L'inclusion directe est simple : $(V_i)_{i\in I}$ est par hypothèse une famille de sous-espaces vectoriels de $E$ contenant $A$, et l'intersection d'une famille de sous-espaces vectoriels est encore un sous-espace vectoriel donc $V$ est un sous-espace vectoriel de $E$ et $V$ contient bien $A$. Or ${\rm Vect}(A)$ est le plus petit sous-espace vectoriel de $E $ contenant $A$ donc ${\rm Vect}(A)\subset V$. Je suis bloqué pour montrer l'inclusion réciproque...

Merci pour le temps que vous m'accorderez.