Limite d'une suite avec un max

OShine
Modifié (October 2023) dans Analyse
Bonjour
Je ne comprends pas la question 2.

Soient $(u_n)_{n \in \N}$ et $(v_n)_{n \in \N}$ deux suites réelles convergentes. Etudier $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} \max \{ u_n,v_n \}$
1) au moyen d'une expression simple de $\max \{ x,y \}$ en fonction de $x$, $y$ et $x-y$ pour tout $x,y \in \R$.
2) en revenant à la définition de la limite.

1) On a $\forall x,y \in \R \ \max \{x,y \}= \dfrac{x+y+ |x-y| }{2}$.
Si $u_n \longrightarrow a$ et $v_n \longrightarrow b$ alors $\boxed{\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} \max \{ u_n,v_n \} = \dfrac{a+b+ |a-b|}{2} }$.
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Réponses

  • math78
    Modifié (October 2023)
    Bonjour
    $ \lim_{x \rightarrow +\infty}$ est $\ell$ signifie que :
    pour tout $ \epsilon$ > 0 il existe $N > 0$ tel que $n > N \Rightarrow |u_n - \ell| <  \epsilon$,
    donc par exemple dans le cas $a < b$ prenons $ \epsilon < (a + b)/2$,
    alors il existe $N_1$ tel que $n > N_1 \Rightarrow |u_n- a| <  \epsilon$,
    et il existe $N_2$ tel que $n > N_2 \Rightarrow |v_n - b| <  \epsilon$.
    Par conséquent pour $n > M = \max (N_1, N_2)$ on a $u_n < (a + b)/2 < $v_n$,
    et donc pour $n > M$ on a $w_n = v_n$.

    [En $\LaTeX$, ce sont les expressions mathématiques au complet que l'on encadre, par des $\$$, pas seulement quelques termes. ;) AD]
  • bd2017
    Modifié (October 2023)
    L'exercice dit qu'il faut utiliser  la définition de la limite. C'est tout. 
    Supposons que $b<a$   (si $b>a$ le cas est symétrique et le cas $a=b$ est facile).  
    Soit $\epsilon>0$   et $\epsilon< \dfrac{a-b}{2}.$ 
    Par définition de la limite, il existe $n_\epsilon \in \N$ tel que:
    $$\forall n\geq    n_\epsilon,  |a - u_n|< \epsilon \mbox  { et }   |b - v_n|< \epsilon $$
    Mais  $\forall n\geq   n_\epsilon$ on a  $u_n >v_n$  (i.e $\max (u_n,v_n)=u_n$) et donc $\max(a,b)- \max(u_n,v_n)=a-u_n$
    Ainsi   
    $$\forall n\geq    n_\epsilon, |\max(a,b)- \max(u_n,v_n)|< \epsilon .$$
    Cela veut dire que $\max(u_n,v_n)$ converge vers $\max(a,b).$ cqfd.

    Edit: Je n'avais pas vu la réponse de @math78 quand j'ai répondu. Mais je pense qu'il a voulu prendre $\epsilon$ comme moi et non pas $<$ à 
    $(a+b)/2 $.
     
  • OShine
    Modifié (October 2023)
    math78 a dit :
    ...
    par conséquent pour n > M = max (N1, N2) on a $u_n$ < (a + b)/2 < $v_n$
    et donc pour n > M on a $w_n$ = $v_n$
    Bonsoir,
    Merci mais je ne comprends pas les deux dernières lignes.
  • @bd2017
    Merci j'étudie ta preuve, pour l'instant je ne comprends pas tout, je vais réfléchir un peu.
  • bd2017
    Modifié (October 2023)
    Ma preuve c'est le même que @math18 !!  à part son que $\epsilon$ est faux. 
     
  • J'ai réussi à comprendre ta preuve en réécrivant.

    Soit $\varepsilon >0$.
    Comme $u_n \longrightarrow a$ et $v_n \longrightarrow b$ alors : 
    • $\exists n_0 \in \N \ n \geq n_0 \ \implies |u_n-a| \leq \varepsilon$.
    • $\exists n_1 \in \N \ n \geq n_1 \ \implies |v_n-b| \leq \varepsilon$.
    • $\exists n_2 \in \N \ n \geq n_2 \ \implies v_n \geq u_n$.
    Soit $b>a$ et soit $0 < \varepsilon < \dfrac{b-a}{2}$.
    Soit $N=\max  \{ n_0,n_1,n_2 \}$.
    Pour $n \geq N$, on a $| \max(u_n,v_n)-\max(a,b)| =|v_n -b| \leq \varepsilon$.

    On a montré : $\boxed{\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \max \{ u_n,v_n \} = \max \{a,b \}}$.
  • math78
    Modifié (October 2023)
    J'ai oublié  $ w_n =\max {u_n,v_n} $
    je suis d'accord ma démo est la même que celle de bd2017.
    Je pense qu'il faut traiter les cas a< b et b >a.
  • et aussi a=b
  • bd2017
    Modifié (October 2023)
    Les cas a>b et b>a sont symétriques.  Quand on a étudié un des 2 cas, il est absolument inutile d'étudier le second. 
    @Oshine tel que rédigé, ta démonstration est incorrecte.
     
  • OShine
    Modifié (October 2023)
    Le cas $a=b$ est trivial et les deux autres sont symétriques. 

    Ma démonstration a un problème, elle n'utilise pas le fait que $\varepsilon < \dfrac{b-a}{2}$ !
    Je ne comprends pas où on utilise cette hypothèse dans la preuve. 

  • OShine
    Modifié (October 2023)
    math78 a dit :
    J'ai oublié  $ w_n =\max {u_n,v_n} $
    je suis d'accord ma démo est la même que celle de bd2017.
    Je pense qu'il faut traiter les cas a< b et b >a.
    Je n'ai pas compris ta réponse et surtout la dernière ligne.

    Je ne vois pas où tu montres que $\max (u_n,v_n) \longrightarrow \max (a,b)$.
  • bd2017
    Modifié (October 2023)
    @Oshine
    Ne dis pas "ma démonstration est incorrecte" car ce n'est pas  "ta démonstration". C'est une démonstration que je t'ai donnée et que tu essaies de refaire.
    Tu ne comprends pas ma démonstration car tu n'as pas les bases nécessaires pour calculer (inégalités, valeur absolue,...).
    C'est un comble puisque tu es censé l'enseigner.
    Ensuite en mathématiques, il est bon de s'assurer que ce qu'on écrit doit être juste. 
    Relis toi et trouve la faille dans ce que tu as écrit.
     
  • AlainLyon
    Modifié (October 2023)
    OShine a dit :
    Bonjour
    Je ne comprends pas la question 2.

    Soient $(u_n)_{n \in \N}$ et $(v_n)_{n \in \N}$ deux suites réelles convergentes. Etudier $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} \max \{ u_n,v_n \}$
    1) au moyen d'une expression simple de $\max \{ x,y \}$ en fonction de $x$, $y$ et $x-y$ pour tout $x,y \in \R$.
    2) en revenant à la définition de la limite.

    1) On a $\forall x,y \in \R \ \max \{x,y \}= \dfrac{x+y+ |x-y| }{2}$.
    Si $u_n \longrightarrow a$ et $v_n \longrightarrow b$ alors $\boxed{\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} \max \{ u_n,v_n \} = \dfrac{a+b+ |a-b|}{2} }$.

    Je dirai même plus $\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\max\{u_n,v_n\}=\max\{a,b\}$!
    Les mathématiques ne sont pas vraies, elles sont commodes.
    Henri Poincaré
  • Quelqu'un a une preuve compréhensible ?
    Je ne comprends pas les solutions données.
  • bd2017
    Modifié (October 2023)
    Fais ton travail ! Relis chacune de tes lignes et vois si elle justifiée. Faut tout de même pas pousser. Il n'y a qu'une seule démonstration ici, c'est de revenir à la définition. Tu n'auras pas d'autre démonstration. Ton attitude est inadmissible. Fais un minimum d'effort. Ce que tu ne comprends pas c'est ce que tu es censé enseigner en collège :  les inégalités.
     
  • AlainLyon
    Modifié (October 2023)
    @Oshine A mon époque préhistorique sans internet ni smartphone ni réseaux sociaux on pouvait utiliser la continuité au lycée en terminale S pour trouver la limite de $\max\{u_n,v_n\}$. Mais les temps ont changé, par exemple dans les Bacs technologiques on ne sait pas ce que cela veut dire continuité alors je pose la question que personne ne pose : qui sont tes élèves ?(quelle-s classe-s)?
    Les mathématiques ne sont pas vraies, elles sont commodes.
    Henri Poincaré
  • gerard0
    Modifié (October 2023)
    @AlainLyon, personne ne pose cette question car il a suffisamment dit qu'il enseigne en collège. Pas de fonctions continues en collège (et de moins en moins en lycée !).
    Cordialement.
  • @OShine, la preuve de bd2017 ici est pourtant limpide.
    Regarde ceci :
    $$\forall n\geq    n_\epsilon,  |a - u_n|< \epsilon \mbox  { et }   |b - v_n|< \epsilon $$
    Et traduis cela par des inégalités. Tu devrais (grâce au fait que $\epsilon < \dfrac{a-b}{2}$) arriver assez vite à ceci : $\forall n\geq   n_\epsilon$ on a  $u_n >v_n$ permettant de conclure ensuite.
    Les maths ne sont pas que de la lecture passive, il faut prendre une feuille et un stylo et t'approprier le raisonnement !
    Notre cher Gebrane le 😄 farceur
  • @gerard0 Pas de limites de suites non plus au collège!
    Les mathématiques ne sont pas vraies, elles sont commodes.
    Henri Poincaré
  • Oui, et même pas de suites !
  • OShine a dit :
    J'ai réussi à comprendre ta preuve en réécrivant.

    Soit $\varepsilon >0$.
    Comme $u_n \longrightarrow a$ et $v_n \longrightarrow b$ alors : 
    • $\exists n_0 \in \N \ n \geq n_0 \ \implies |u_n-a| \leq \varepsilon$.
    • $\exists n_1 \in \N \ n \geq n_1 \ \implies |v_n-b| \leq \varepsilon$.
    • $\exists n_2 \in \N \ n \geq n_2 \ \implies v_n \geq u_n$.
    Soit $b>a$ et soit $0 < \varepsilon < \dfrac{b-a}{2}$.
    Soit $N=\max  \{ n_0,n_1,n_2 \}$.
    Pour $n \geq N$, on a $| \max(u_n,v_n)-\max(a,b)| =|v_n -b| \leq \varepsilon$.

    On a montré : $\boxed{\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \max \{ u_n,v_n \} = \max \{a,b \}}$.
    Je ne comprends pas où se trouve l'erreur dans mon raisonnement.
    Je n'ai pas utilisé le fait que $\varepsilon < \dfrac{b-a}{2}$
  • @NicoLeProf
    Le problème est que je ne comprends pas à quoi sert l'hypothèse $\varepsilon < \dfrac{b-a}{2}$.

    On a $u_n \longrightarrow a$ et $v_n \longrightarrow b$ et comme $b >a$ alors $v_n \geq u_n$ à partir d'un certain rang.
  • OShine
    Modifié (October 2023)
    Si $\lim v_n > \lim u_n$ alors $v_n \geq u_n$ à partir d'un certain rang.
    Je ne comprends pas l'intérêt de prendre un epsilon plus petit.
  • bd2017
    Modifié (October 2023)
    OShine a dit :
    Soit $b>a$ et soit $0 < \varepsilon < \dfrac{b-a}{2}$.
    N'importe qui de censé, voyant ceci à la place dans "ta démonstration" (c'est-à-dire à la 4ème ligne)  se dit qu'il n'y a pas de démonstration.
    Parfois je me demande si tu le fais exprès.
     
  • Chalk
    Modifié (October 2023)
    Toujours autant d'erreurs logiques 3 ans après. Il ne faut pas confondre "Soit b > a" et "Supposons b > a". Par ailleurs, $v_n$ n'a aucune raison d'être supérieur à $u_n$ au moment où tu l'écris, ce que tu saurais si tu avais essayé de le démontrer au lieu de l'affirmer. Comme d'hab quoi, tu affirmes tout au hasard sans jamais savoir démontrer la moindre ligne que tu affirmes.

    Du coup non, évidemment que tu n'as pas réussi à comprendre la preuve.
  • OShine
    Modifié (October 2023)
    Il n'y a pas de différence entre "soit $b>a$" et "supposons $b>a$".

    @bd2017
    Je ne comprends pas le problème que tu relèves. Je ne vois rien qui pose problème.

    Je ne comprends pas à quoi ça sert de prendre $\varepsilon$ petit.
    On sait que si $u_n \longrightarrow a$ et $v_n \longrightarrow b$ avec $b>a$ alors $v_n \geq u_n$ à partir d'un certain rang.
    En effet, $v_n -u_n \longrightarrow b-a>0$ donc $(v_n -u_n)$ est positive à partir d'un certain rang.

    A quoi sert le $\varepsilon < \dfrac{b-a}{2}$ si j'obtiens $v_n \geq u_n$ sans l'utiliser ? 

    @Chalk j'utilise le résultat suivant.
    Corollaire tout en un dunod mpsi page 406 : 
    Si $u$ est une suite convergeant vers une limite $\ell >0$, alors il existe un réel $m>0$ tel que la suite $u$ soit minorée par $m$ à partir d'un certain rang.
  • Chalk
    Modifié (October 2023)
    Il n'y a pas de différence entre "soit b>a" et "supposons b>a".
    Merci de ne pas essayer de m'apprendre les maths alors que tu n'as pas le niveau collège ...

    Du coup reste dans tes symboles Latex qui te donnent l'illusion de comprendre, je quitte cette conversation aussi vite que j'y suis entré.

    Edit à ton rajout de fin : je sais très bien ce que tu essayes d'utiliser, ça ne résout en rien les problèmes logiques que je t'ai pointés et que tu veux faire semblant d'ignorer.
  • Ok.

    @NicoLeProf
    Je trouve $0 \leq u_n -v_n \leq 2(a-b)$ en travaillant les inégalités mais ça se voit plus facilement sur un dessin.

  • AlainLyon
    Modifié (October 2023)
    [Inutile de recopier l’antépénultième message. AD]
    @OShine A mon avis certains  élèves de lycée comprendront ce que tu écris mais sûrement pas des élèves de collège!
    Les mathématiques ne sont pas vraies, elles sont commodes.
    Henri Poincaré
  • JLapin
    Modifié (October 2023)
    OShine a dit : 
    @Chalk j'utilise le résultat suivant.
    Corollaire tout en un dunod mpsi page 406 : 
    Si $u$ est une suite convergeant vers une limite $\ell >0$, alors il existe un réel $m>0$ tel que la suite $u$ soit minorée par $m$ à partir d'un certain rang.
    Tu n'as pas le droit d'utiliser ce résultat. L'énoncé demande une preuve en revenant à la définition de la convergence et de la limite, pas en utilisant des théorèmes qui viennent après celle-ci.
    C'est faisable en théorie mais pas par toi car tu as de très lourdes lacunes en logique élémentaire, dans la rédaction de preuves et dans les manipulations de quantificateurs.
  • OShine
    Modifié (October 2023)
    Je crois que j'ai compris mon erreur...
    Si $\varepsilon$ n'est pas plus petit que $(b-a)/2$, il se peut que certaines éléments de $u_n$ et de $v_n$ se côtoient. 
    On est dans une bande où on n'a pas forcément $v_n \geq u_n$.

    Mon erreur est que je faisais varier $\varepsilon$ alors qu'il est fixé. 
  • OShine
    Modifié (October 2023)
    La preuve de @bd2017 rédigée à ma façon.
    Supposons $b<a$. 
    Soit $0 < \varepsilon < \dfrac{a-b}{2}$.
    • $u_n \longrightarrow a$ donc $\exists n_0 \in \N \ n \geq n_0 \implies |u_n-a| \leq \varepsilon$
    • $v_n \longrightarrow b$ donc $\exists n_1 \in \N \ n \geq n_1 \implies |v_n-b| \leq \varepsilon$
    On a $\forall n \geq \max(n_0,n_1)$ : $\dfrac{b-a}{2} < u_n -a < \dfrac{a-b}{2}$ et $\dfrac{b-a}{2} < v_n -b < \dfrac{a-b}{2}$.
    On en déduit que $\forall n \geq \max(n_0,n_1) \ 0 < u_n -v_n < 2(a-b)$ et donc $u_n -v_n >0$.
    Donc $\forall n \in \N \ n \geq \max(n_0,n_1) \implies u_n \geq v_n$.
    Pour tout $n  \geq \max(n_0,n_1)$, on a $|\max(u_n ,v_n) - \max(a,b)| =|u_n - a| \leq \varepsilon$.

    On a montré que : $\boxed{\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} \max(u_n,v_n) = \max( \lim\limits_{n \rightarrow +\infty} u_n, \lim\limits_{n \rightarrow +\infty} v_n) = \max(a,b)}$.
  • bd2017
    Modifié (October 2023)
    Oui.  Que devient l'exercice  si on a trois suites  $(u_n)$, $(v_n)$ et $(w_n)$ convergentes respectivement vers $a,b,c$   pour la suite  $z_n=\max (\min(u_n,v_n), \min (v_n,w_n)) $ ? 
    C'est-à-dire la suite $(z_n)$  est-elle convergente ? Si oui vers quoi ? Preuve.
     
  • Ton exercice me faisait peur mais je l'ai résolu à l'aide d'un dessin. 
    Je mets ma solution quand j'ai du temps.
  • bd2017
    Modifié (October 2023)
    Oui justement c'est avec un dessin qu'on doit faire l'exercice.
     
  • JLT
    JLT
    Modifié (October 2023)
    Pour l'exo initial, voici une variante. Supposons par exemple $a<b$.
    Soit $\epsilon>0$. Il existe $n_0$ et $n_1$ tels que $\forall n\geqslant n_0$, $|u_n-a|<\epsilon$ et $\forall n\geqslant n_1$, $|v_n-b|<\epsilon$. Soit $w_n=\max(u_n,v_n)$ alors pour tout $n\geqslant\max(n_0,n_1)$ on a $w_n\geqslant v_n>b-\epsilon$. D'autre part $u_n<a+\epsilon<b+\epsilon$ et $v_n<b+\epsilon$ donc en passant au max on a $w_n< b+\epsilon$ et finalement $|w_n-b|<\epsilon$.
  • JLapin
    Modifié (October 2023)
    OShine a dit :
    La preuve de @bd2017 rédigée à ma façon.
    Supposons $b<a$. 
    Soit $0 < \varepsilon < \dfrac{a-b}{2}$.
    Objection : la définition de la convergence commence par $\forall \varepsilon>0$, pas par $\forall \varepsilon \in ]0,(a-b)/2[$.
  • @JLapin : Tu exagères un poil ;)
  • Si c'était quelqu'un d'autre qui donnait cette réponse, je serais d'accord avec toi :)
  • OShine
    Modifié (October 2023)
    @JLapin
    Cette question m'a longtemps torturé, mais si c'est vrai pour tout $\varepsilon < a$ avec $a>0$ c'est aussi vrai pour tout $\varepsilon >0$.
  • Si quoi est vrai ? Et c'est quoi le $a>0$ dont tu parles ?
  • Tu t'attaques à des trucs compliqués, avec des lettres. C'est plus simple avec des chiffres.
    Par exemple, en remplaçant $a$ par $1$, tu dis donc "si c'est vrai pour tout $\varepsilon <1$ c'est aussi vrai pour tout $\varepsilon > 0$. 
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
  • bd2017 a dit :
    Oui.  Que devient l'exercice  si on a trois suites  $(u_n)$, $(v_n)$ et $(w_n)$ convergentes respectivement vers $a,b,c$   pour la suite  $z_n=\max (\min(u_n,v_n), \min (v_n,w_n)) $ ? 
    C'est-à-dire la suite $(z_n)$  est-elle convergente ? Si oui vers quoi ? Preuve.
    Supposons que $a<b<c$.
    Soit $0 < \varepsilon < \min( \dfrac{b-a}{2}, \dfrac{c-b}{2})$.
    • $\exists n_0 \in \N \ n \geq n_0 \implies |u_n-a| \leq \varepsilon$.
    • $\exists n_1 \in \N \ n \geq n_0 \implies |v_n-b| \leq \varepsilon$.
    • $\exists n_2 \in \N \ n \geq n_2 \implies |w_n-c| \leq \varepsilon$.
    Pour tout $n \geq \max(n_0,n_1,n_2)$ on a $z_n=\max( u_n,v_n)=v_n$.
    Donc pour tout $n \geq \max(n_0,n_1,n_2)$ on a $|z_n- \max ( \min(a,b),\min(b,c))|=|z_n- \max(a,b)|=|z_n-b| \leq \varepsilon$.

    Ainsi $\boxed{z_n \longrightarrow  \max ( \min(a,b),\min(b,c))}$.

  • OShine
    Modifié (October 2023)
    JLapin a dit :
    Objection : la définition de la convergence commence par $\forall \varepsilon>0$, pas par $\forall \varepsilon \in ]0,(a-b)/2[$.
    Supposons que $\forall 0<\varepsilon< \dfrac{a-b}{2} ,\ \exists n_0 \in \N ,\ n \geq n_0 \implies |u_n-\ell| \leq \varepsilon$.
    Alors il existe un certain rang à partir duquel tous les termes de la suite sont dans la bande $I_{\varepsilon}=[\ell-\varepsilon,\ell+\varepsilon]$.
    Soit $\varepsilon' \geq \dfrac{a-b}{2}$.
    Comme $I_{\varepsilon} \subset I_{\varepsilon '}$, à partir d'un certain rang tous les termes de la suite sont dans $I_{\varepsilon '}$.
  • JLT
    JLT
    Modifié (October 2023)
    Supposons que $\forall 0<\varepsilon< \dfrac{a-b}{2} \ \exists n_0 \in \N \ n \geq n_0 \implies |u_n-\ell| \leq \varepsilon$.
    Alors il existe un certain rang à partir duquel tous les termes de la suite sont dans la bande $I_{\varepsilon}=[\ell-\varepsilon,\ell+\varepsilon]$.
    Soit $\varepsilon' \geq \dfrac{a-b}{2}$.
    Comme $I_{\varepsilon} \subset I_{\varepsilon '}$, à partir d'un certain rang tous les termes de la suite sont dans $I_{\varepsilon '}$.
    C'est horriblement mal rédigé.
  • Bonjour
    De même  pour mon exercice je ne suis pas convaincu de la démonstration. La réponse est bonne bien entendu mais pas les justifications.
    De toute façon je pense que  l'utilisation unique "des $\epsilon$"  pour démontrer la chose est  à proscrire car il suffit d'utiliser l'exercice précédent pour avoir la réponse avec une justification simple.
     
  • OShine
    Modifié (October 2023)
    @bd2017 oui j'aurais dû utiliser l'exercice précédent.
    @JLT
    Je donne une rédaction plus précise. 
    Supposons que $\forall 0<\varepsilon< (a-b)/2 \ \exists n_0 \in \N \ n \geq n_0 \implies |u_n-a| \leq \varepsilon$.
    Posons $\alpha=(a-b)/2$.
    Soit $n \geq n_0$. Alors $ a- \varepsilon \leq u_n \leq a+ \varepsilon$. Mais $\varepsilon < \alpha $ donc $\boxed{a- \alpha \leq u_n \leq a+ \alpha}$.
    Soit $\varepsilon \geq \alpha$. 
    La relation encadrée donne $\alpha- \varepsilon \leq u_n \leq \alpha+\varepsilon$.
    On a montré que  $\boxed{\forall 0<\varepsilon  \ \exists n_0 \in \N \ n \geq n_0 \implies |u_n-a| \leq \varepsilon}$.
  • gai requin
    Modifié (October 2023)
    Par hypothèse, pour tout $\varepsilon>0$, il existe $n_0\in\mathbb N$ tel que, pour tout $n\geq n_0$,$$|u_n-\ell|\leq\min(\varepsilon,(a-b)/4)\leq\varepsilon.$$
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