Dénombrement urne

marc0075 · June 2023

Soit une urne comprenant 50 boules toutes identiques à 100% totalement indifférenciables

Y a-t-il un sens que de calculer le nombre de façons d'en choisir 5 ? Est-ce réellement le coefficient binomial C(50,5 ) ou tout simplement une seule façon de choisir étant donnée l'indifférenciation ?

lourrran · June 2023

Quand on me parle de boules indifférenciables, systématiquement, je tique.
Pour moi, tout ce que ça veut dire, c'est que la personne qui tire les boules en plongeant sa main dans l'urne ne peut pas 'identifier' les boules au toucher, et choisir telle ou telle boule plutôt que telle autre.
Systématiquement, quand on parle de boules indifférenciables, je dis qu'on a ajouté un petit signe distinctif sur chaque boule, et que les boules sont toutes 'uniques'.
Et on peut commencer les calculs.
Par exemple avec 30 boules blanches et 20 rouges, je dis qu'on a 50 boules B1, ... B30, R1, ... R20 ; et on peut jouer.

Dans l'énoncé que tu proposes, les 2 réponses que tu proposes sont sensées.

Soc · June 2023

C'est juste une question de point de vue. Imaginons par exemple que tu mettes 3 rouges et 2 jaunes dans l'urne, puis que tu en pioches une et que tu observes le résultat. Tu peux alors considérer qu'il n'y a que 2 résultats possibles (rouge ou jaune), ou qu'il y en a 5 (5boules). Il n'y a pas une façon de voir plus juste que l'autre. En revanche si tu veux calculer la probabilité d'obtenir une boule jaune, tu devras choisir la seconde option pour avoir des issues équiprobables sur lesquelles te baser dans les calculs.

C'est la même chose dans ton exemple. Tu peux choisir de dire que tu distingues chaque boule et tu as alors bien C(50,5) résultats possibles, ou bien que tu ne les distingues pas et alors il n'y en a qu'un. Le mot "indifférenciables" ne doit pas t'empêcher de les numéroter et de les distinguer si tu en as envie.

Y a-t-il un contexte à ce questionnement?

philou22 · June 2023

Tu peux considérer que les boules sont numérotées de 1 à 50 et un tirage possible est par exemple {2;45;12;8;13}. Il y a effectivement $C_{50}^{5}=2118760$ parties à 5 éléments d'un ensemble à 50 éléments.

lourrran · June 2023

Pédagogiquement, j'éviterais de donner comme exemple {2;45;12;8;13}. Comme les 5 nombres ne sont pas en ordre croissant, ça nous incite à penser que {2;45;12;8;13} ou {2;8;12;13;45}, ce sont 2 résultats différents. Non, c'est un seul et même résultat.
Ou alors, si pour telle ou telle raison, on choisit de considérer que ce sont 2 résultats différents, alors le comptage $C_{50}^5$ n'est plus adapté.

La 2ème phrase rectifie le tir, on parle de parties à 5 éléments. Dans une partie à n éléments, l'ordre des éléments n'intervient pas .... ok.

nico34600 · October 2023

Bonjour tout le monde,
je me permets d'intervenir dans cette discussion afin de ne pas en ouvrir une nouvelle qui ferait redondance.

Dans le même ordre d'idée que la question posée par marc0075 j'ai un souci sur un calcul de dénombrement.

L'énoncé de base de l'exercice est le suivant.
Une urne contient 5 boules rouges, 4 noires, 3 vertes. On tire quatre boules dans cette urne simultanément
1. Quel est le nombre de tirages possibles ?

Classiquement, toutes les corrections proposent de faire le calcul avec une combinaison de 4 éléments pris parmi 12 et ça me dérange. En calculant de la sorte il me semble que l'on compte plusieurs fois le même tirage.
Afin de m'en convaincre j'ai simplifié l'énoncé avec 2 boules rouges, 2 boules noires, 2 boules vertes et un tirage simultané de 3 boules.
J'ai listé les tirages possibles (qui sont des ensembles puisqu'il n'y a pas d'ordre) :{R,R,N} {R,R,V} {V,V,N} {V,V,R} {N,N,R} {N,N,V} {V,N,R} il y en a 7 (sauf oubli de ma part).
Si on calcule avec la combinaison de 3 parmi 6 on en trouve 20.

Une des 2 réponses est fausse, laquelle ?

Personnellement je n'arrive pas à accepter le calcul avec la combinaison, mais je n'arrive pas à formaliser par un calcul la réponse 7, ce qui fait que je serais incapable de répondre à l'énoncé initial.

Je remercie d'avance quiconque pourra m'éclairer.

lourrran · October 2023

Si on considère que les boules sont (R1, R2, V1, V2, N1, N2), et que le tirage (R1,R2,N1) est différent du tirage (R1,R2,N2) , alors on a un tirage de 3 boules parmi 6, donc 20 possibilités.
À partir du moment où on parles de boules Rouges, Vertes et Noires, je pense que l'autre interprétation est plus cohérente, et donc ton résultat (7 tirages possibles) est plus cohérent.

Soc · October 2023

Les deux sont justes. Cependant la version 7 tirages ne te permet pas de calculer les probabilités car ils ne sont pas équiprobables, tandis que la version 20 tirages te donne des tirages équiprobables, ce qui te permet de calculer les probabilités, y compris de tes 7 tirages.

gerard0 · October 2023

Bonjour Nico34600.
Cet énoncé n'a pas de sens : "1. Quel est le nombre de tirages possibles ?" n'a pas de réponse ! En effet, le mot "tirage" n'est pas un mot mathématique, il n'a pas de définition mathématique. La bonne question serait "1) définir un univers des événements" accompagné de "2) Vérifier qu'on sait calculer les probabilités élémentaires" pour renvoyer l'élève (ou étudiant) à la recherche d'un univers d'événements élémentaires équiprobables.

En fait, on est ici dans la pédagogie très classique aujourd'hui du découpage en petit morceaux, qui ne favorise pas la prise d'autonomie de l'élève. C'est le rôle du prof d'apprendre aux élèves à chercher en même temps un univers et une loi de probabilité adaptés à la situation. Cette façon de faire aboutit à des questions idiotes, comme celle de ton énoncé. Et prend les élèves pour des idiots (d'ailleurs, ils finissent par se comporter ainsi !).

Cordialement.

PetitLutinMalicieux · October 2023

Bonjour Nico34600

Il ne faux pas confondre tirage et type de tirage. Au poker (No limit Texas hold'em), il y a 1326 mains de départ, mais seulement 169 types de mains. ARs (As-Roi assortis) recouvre A♠R♠, A♡R♡, A♢R♢, A♣R♣. Comme l'a souligné Soc, les mains sont équiprobables, mais pas les types de mains. Il y a 4 as-roi assortis, 6 paires d'as et 12 as-roi dépareillés. Le tout est de savoir ce que tu comptes vraiment. Dans ta première urne tu comptes les tirages de boules individuelles, alors que dans ta deuxième urne, tu comptes les types de tirages. Et comme ces types de tirage regroupent plusieurs tirages de boules individuelles, tu ne trouves pas le même nombre.

lourrran · October 2023

Et pour en remettre une couche, dans tous ces exercices où on nous dit qu'on a $r$ boules rouges et $b$ boules bleues, il faut toujours considérer que les boules sont différenciables. Il y a $r+ b$ boules $R_1, R_2$ .. $R_r$ et $B_1, B_2$ ... $B_b$
Même si on nous dit que les boules de même couleur sont indifférenciables.

Et ici, dans ton exemple, on a 20 tirages possibles, et ces 20 tirages peuvent être regroupés en 7 groupes ; les 6 premiers groupes n'ont que 2 tirages (par exemple le groupe RRV correspond aux tirages $(R_1, R_2, V_1)$ et $(R_1,R_2, V_2)$, alors qu'il y a 8 tirages qui donnent RVB (de $(R_1, V_1, B_1)$ ... jusqu'à $(R_2, V_2,B_2)$)
$20=6 \times 2+1 \times 8$ ... on a bien nos 20 tirages, et nos 7 groupes.

nico34600 · October 2023

Merci beaucoup à tous pour ces réponses.

@gerard0: dans l'exercice à aucun moment il n'est question de calculer des probabilités, même dans les questions suivantes (que je n'ai pas notées) il ne s'agit que de dénombrement. Si "tirage" n'a aucun sens mathématique est-ce que la reformulation : "soit l'expérience aléatoire consistant à prélever 3 boules simultanément de l'urne, donner toutes les issues possibles" convient mieux ? Et dans ce cas combien y a-t-il d 'issues différentes ?

@lourran et PetitLutinmalicieux : il y a des énoncés avec des boules numérotées, ce qui lève toute ambiguïté, mais lorsqu'il n'y a pas de numéro (une boule rouge est équivalente à une autre boule rouge, elles ne sont plus individuelles, c'est une observation physique que je ne peux nier) sous quel objet mathématique se présente les issues ? Si on compte 20 issues ce ne sont plus des ensembles et si on en compte 7 on ne peut plus calculer de probabilités... Se peut-il que le résultat diffère suivant qu'il s agit de calculer des probabilités ou de faire uniquement du dénombrement ? Avez-vous un calcul qui permette de trouver 7 issues ?

lourrran · October 2023

Si tu as 2 boules rouges, il y a une boule R1 et une boule R2.

S'il y a 6 boules, et qu'on fait des tirages de 3 boules, on a 20 résultats possibles. Ca, c'est indiscutable.

Ensuite, le type qui a rédigé l'exercice, il a bien vu que les boules étaient de couleurs différentes, mais il n'a pas vu qu'elles avaient toutes un petit numéro gravé discrètement. Il nous dit donc qu'il y a 2 rouges, 2 vertes et 2 bleues. Des fois, il dit même que les boules sont indiscernables au toucher, mais en fait, nous on sait qu'il y a un petit numéro gravé sur chaque boule.
Et il nous demande combien il y a de tirages possibles.
Là, c'est de la compréhension de texte, et pas des maths. Si l'énoncé parle de la couleur des boules, il est très probable que la réponse attendue, c'est 7, et pas 20.

Comment on le trouve, ce nombre 7 ?
Comme tu as fait. On recense les différentes combinaisons possibles RRR n'est pas possible, mais RRV ou RRB sont possibles ,,, etc etc. Il n'y a pas de formule magique

Enfin, comme tu as l'air intéressé, fais l'expérience.

Tu prépares un tableau avec 7 colonnes (CCT CCP TTC TTP PPC PPT CTP)
Tu prends 6 cartes à jouer (2 coeur, 2 trèfles et 2 piques), tu tires 3 cartes, et tu notes le résultat (en faisant un petit baton dans la colonne correspondante)
Et tu répètes l'opération une centaine de fois. Normalement, tu devrais constater que CTP sort beaucoup plus souvent que les autres.

gerard0 · October 2023

Non Nico34600, ton énoncé n'est pas meilleur. On ne sait pas ici ce qu'est une issue. Pour des exercices de dénombrement, il faut que les objets à dénombrer soient parfaitement définis.
II vaut mieux éviter les dénombrements issus des probas, pour apprendre, puis avoir en tête les différentes options quand on fera des probas.

Cordialement.

nico34600 · October 2023

@gerard0: si je précise "soit une urne contenant 2 boules rouges, 2 boules noires, 2 boules vertes indiscernables, soit l'expérience aléatoire consistant à prélever 3 boules simultanément de l'urne et noter les couleurs obtenues, donner toutes les issues possibles" est ce que c'est suffisamment précis pour décider s'il y en a 20 ou 7? et si non que faudrait il rajouter?

@lourran: déjà au lycée je n'aimais pas le type qui faisait les énoncés de dénombrement, je ne savais jamais quand est-ce que je devais sentir le numéro gravé, j'ai un mauvais sens du toucher. Donc il n'y a pas de formule du genre un mélange d'arrangement, de permutations et de combinaisons pour trouver 7 ? On est obligé de lister à la main ? Je ne suis pas bon en programmation mais c'est vrai que j'avais pensé à faire l'expérience pour voir vers quelle valeur de probabilité on tendrait pour CTP, 8/20 ou 1/7 (sans doute 8/20) mais encore une fois il s'agissait d'un énoncé de dénombrement et pas de calcul de probabilités.

D'ailleurs est-ce que je me trompe en pensant que pour le dénombrement les issues sont des ensembles de 3 éléments alors que pour les probabilités on utiliserait des 3 uplets ?

lourrran · October 2023

L'expérience que je te proposais, pas besoin de programmation. Tu prends un jeu de carte et une feuille de papier pour noter les résultats, et en 15 minutes, tu auras une assez bonne estimation des proportions.

Tu veux des formules avec des $C_n^p$ et des $A_n^p$ , soit.
Quand je dis qu'il y a 2 façons d'arriver à RRV, c'est en tirant (R1,R2,V1) ou (R1,R2,V2), en fait, on utilise ces $C_n^p$

Il y a $C_2^2=1$ façon de choisir 2 boules rouges parmi un ensemble de 2 boules rouges, et il y a $C_2^1=2$ façons de choisir 1 boule verte parmi 2 boules vertes.
Il y a donc $C_2^2 \times C_2^1=2$ façons d'arriver à RRV.

Ici c'est des tout petits nombres, donc on ne voit pas qu'on passe par ces formules.

Si tu as une urne avec 30 boules rouges et 20 boules vertes, combien y-a-t-il de tirages du type RRRRRRRVVV ... là, on n'y coupe pas, on passe par les formules.

Et pour ta dernière question, NON.
Qu'on fasse du dénombrement, ou des probabilités, c'est kif-kif.
On se débrouille (en disant que les boules sont toutes différenciables) on se débrouille pour avoir un univers où tous les éléments qu'on compte sont équiprobables. Ce mot équiprobable est essentiel. Et systématiquement, pas de souci, on peut facilement décomposer l'univers en événements équiprobables.
On a 20 façons de choisir 3 boules parmi 6 ; on a 2 façons d'arriver à RRV ; Tous les triplets qu'on manipule sont équiprobables, donc on a une probabilité 2/20 d'arriver à RRV.

A partir du moment où on prend soin de manipuler des évènements équiprobables, probabiliser ou dénombrer, c'est pareil.

PetitLutinMalicieux · October 2023

"il y a des énoncés avec des boules numérotées, ce qui lève toute ambiguïté, mais lorsqu'il n'y a pas de numéro (une boule rouge est équivalente à une autre boule rouge, elles ne sont plus individuelles"

-> ça, c'est faux. Ce n'est pas parce que tu n'as pas le nom des boules qu'elles sont une seule et même entité. Elles gardent leur identité. On n'est pas très loin de la phrase raciste "Les asiatiques, c'est tous les mêmes. Je les appelle tous Tchang". Ben non. Les identités et les prénoms sont différents, même s'ils ont des caractéristiques communes. Toutes tes boules sont indiscernables et pourtant elles gardent leur identité. Il y a déjà eu une discussion sur ce forum pour le mot très discutable de "indiscernable".

"Avez-vous un calcul qui permette de trouver 7 issues ?"

-> Oui. Mais là encore, attention. C'est un jeu dangereux, car on finit par confondre les individus et les types d'individu. Voici
On choisit 3 éléments parmi 3, indépendamment de l'ordre (RNV et VNR sont le même tirage) et avec répétition (on peut tirer RRV). C'est donc une combinaison avec répétition. La quantité est donc $\displaystyle \Gamma_3^3 = C_{3+3-1}^3=C_5^3=\frac{5\times 4}{2}=10$.

Tu vas me dire que cela ne fait pas 7. Mais on retire VVV RRR NNN impossibles

Le compte est bon.

gerard0 · October 2023

En fait il n'y a que 2 issues : boules de deux couleurs, boules de 3 couleurs.
Ceci pour illustrer le fait que parler de "tirages" ou des "issues" sans préciser ce qu'ils sont est dangereux. C'est aussi le cas en probas; j'ai le souvenir d'un sujet de bac C qui avait ce problème d'événement mal précisé.
Cordialement.

Soc · October 2023

C'est celui qui observe l'expérience qui choisit comment il définit ses issues, et il y a très souvent plusieurs choix tout à fait cohérents, et seul un énoncé très explicite peut permettre de contraindre tout le monde à choisir les mêmes issues.

En revanche, encore une fois, quand on veut utiliser ces issues pour calculer les probabilités, les choix sont beaucoup plus contraints car on veut que ces issues soient équiprobables. Cependant, il est parfois encore possible qu'il reste différents choix (comme de tenir compte ou pas de l'ordre).

nico34600 · October 2023

Merci beaucoup d'avoir pris le temps de répondre à mes questions, je pense avoir clarifié mes pensées.

@ Soc : je suis d'accord, je pense que l'on peut dénombrer sans systématiquement penser à calculer des probabilités et que l'énoncé proposé allait dans ce sens, je ne vois pas pourquoi j'aurais dû rajouter des contraintes non spécifiées par le rédacteur.

@gerard0 : pourtant j'ai écrit "noter les couleurs obtenues" pas "noter le nombre de couleurs obtenue" donc il n'y avait pas que 2 issues

.

@lourran : je comprends tout à fait ton point de vue, mais nul part dans l'énoncé il est question de calculer des probabilités donc pourquoi "forcer" pour trouver des issues équiprobables ?

@ PetitLutinMalicieux : voilà c'est le calcul que je cherchais, comme un idiot je calculais des combinaisons avec répétitions de 3 parmi 6, du coup même en enlevant les 3 groupes impossibles je n'arrivais pas à 7, alors que bien évidemment on choisit 3 couleurs parmi 3 et pas 3 boules parmi 6 puisqu'elles ne sont pas "individualisées". Tu n'apprécies pas ce terme mais comment l'exprimer autrement ? J'irai lire la discussion sur le sujet (si je la trouve) mais je pense que le calcul que tu as fait montre que la notion d'indiscernable est valable.

Encore merci à tous, j'ai bien fait de m'inscrire !

gerard0 · October 2023

@nico34600. J'ai utilisé ton énoncé, mais je ne l'interprète pas comme toi. J'ai bien noté les couleurs, mais évidemment, quand une couleur est apparue, si elle revient je ne la note pas à nouveau, elle est déjà notée. Ensuite, j'ai deux options : compter le nombre de couleurs (ça donne deux issues), ou compter les différentes notations obtenues (sans ordre, puisqu'on a pris les boules simultanément) : RNV, RN,RV,NV. J'ai maintenant 4 issues.
Il ne faut jamais croire que, parce qu'on sait parfaitement ce que veut dire ce qu'on a écrit, tout le monde le comprendra.
Cordialement.

nico34600 · October 2023

@gerard0 au temps pour moi, c’est tout à fait exact, tu as raison j’aurais dû être plus précis.

Cordialement

gerard0 · October 2023

Et c'est toujours difficile. voilà pourquoi je choisissais soigneusement les exercices de dénombrement quand j'enseignais; et j'étais toujours prêt à accepter une autre interprétation.

Cordialement.

Dénombrement urne

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