Suite définie implicitement avec tangente

OShine
Modifié (October 2023) dans Analyse
Bonjour
J'ai des difficultés avec Q2. J'ai utilisé Géogebra, je pense que $(x_n)$ est croissante et qu'elle converge vers $\pi /2$ mais j'ai des difficultés à le prouver.

1) Montrer que l'équation $x+ \tan(x)=n$ d'inconnue $x \in ]-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}[$ possède une et une seule solution $x_n$, pour tout $n \in \N$.
Posons $f(x)=x+ \tan (x)-n$.
$f$ est dérivable sur $I=]-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}[$ et on a $f'(x)=2+ \tan^2(x) >0$.
$f$ réalise une bijection strictement croissante de $]-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}[$ sur $\R$.
Comme $f$ est continue sur $I$, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe $x_n \in I$ tel que $f(x_n)=0$. $f$ étant bijective, ce $x_n$ est unique.

2) Montrer que $(x_n)$ converge et déterminer sa limite.
Etudions la monotonie de $(x_n)$. 
On a $f(x_{n+1})-f(x_n)= x_{n+1}+\tan (x_{n+1} ) -(n+1) - x_n - \tan (x_n)+ n$
$0=x_{n+1}-x_n+ \tan (x_{n+1})-\tan (x_n)-1$
Donc $x_{n+1}-x_n=1- \dfrac{ \sin (x_{n+1} - x_n)}{\cos (x_{n+1}) \cos (x_n) }$.

Ensuite j'ai essayé plein de formules de trigo, d'étudier le signe, mais sans succès.

Réponses

  • Pour savoir si Un est croissante ou non fais un dessin stp
  • J'ai tracé plusieurs $f_n(x)=\tan (x)+x-n$ sur Géogebra, $(x_n)$ semble clairement croissante.

  • Non trace plutot tan(x)+x  et trouve u1,u2,..
  • Je ne comprends pas le lien entre $x \mapsto \tan (x)+x$ et $x_n$.
    Ici on n'a pas une relation du type $u_{n+1} = f( u_n)$.

  • Si tu as la courbe f(x)=tan(x)+x  tu n'arrives pas à trouver graphiquement u1 ? 
  • OShine
    Modifié (October 2023)
    Si mais c'est dans le cas où $u_{n+1} = \tan (u_n)+u_n$. Il y a des appli Géogebra qui le font.
    Je ne comprends pas le rapport avec l'exercice où $x_n$ vérifie $\tan (x_n)+x_n -n=0$.
  • La lecture graphique de l'équation f(x)=1 est vu en classe de seconde.
    De rien.
  • bd2017
    Modifié (October 2023)
     
  • OShine
    Modifié (October 2023)
    @noobey
    Je ne comprends pas de quoi tu parles ni le rapport avec la question 2.

    @bd2017
    Pourquoi l'auteur de la fiche d'exercice a mis cet exercice juste après celui dont tu cites le lien s'il n'y a rien à faire ? 
    On n'est pas exactement dans le même cas de figure, ici l'intervalle est un ouvert $]-\pi /2, \pi/2[$, dans l'exercice précédent il est du type $[a,b[$.
  • bd2017
    Modifié (October 2023)
    Pas mal ta question :D       Tu es le champion des remarques absurdes.
    Au passage, j'avais demandé ta figure. C'est vrai que  @zeinot n'y tenait pas tant que ça.
    Mais je pense que pour comprendre tes difficultés, cela serait bien de voir comment tu  lis le résultat sur une figure. 
     
  • noobey
    Modifié (October 2023)
    Incroyable, tu n'as pas compris que u1 est la solution de l'équation f(x)=1? Et u2 celle de f(x)=2 ?
  • OShine
    Modifié (October 2023)
    @bd2017
    On ne peut pas importer d'image.
    Pourquoi l'auteur de la fiche d'exercice a mis cet exercice si le précédent donne directement la réponse ? 

    @noobey
    Si je sais faire, et on voit bien que $(x_n)$ est croissante. Mais le prouver est une autre histoire.
  • bd2017
    Modifié (October 2023)
    Tu recopies la démonstration de l'exercice que j'ai donné en lien.  A croire que tu n'as rien compris à cet exercice puisqu'ici c'est le même.  
     
  • C'est exactement la même chose que ce fil que bd a déjà mentionné.
    Il suffit de poser $f(x)=x+\tan x$, de prouver que $f$ est strictement croissante sur l'intervalle $]- \pi/2 ; \pi/2[$ et de remarquer que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $f(x_n)=n$.
    Notre cher Gebrane le 😄 farceur
  • Je me faisais la remarque déjà hier qu'il a l'air très bien ce bouquin. 
    Et ces 2 exercices très ressemblants qui se suivent, c'est très bien, c'est la base de la pédagogie.
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
  • OShine
    Modifié (October 2023)
    D'accord merci.
  • Je fais couramment remarquer à mes élèves qu'ils ont appris à étudier la monotonie des fonctions AVANT d'apprendre à dériver... et ici, utiliser la dérivée est franchement inutile !!!
  • OShine
    Modifié (October 2023)
    @bisam
    Merci pour le conseil. 
    Montrons que $f$ est strictement croissante.
    On a $f(x)=x+\tan (x)$ définie sur $I=]-\pi/2,\pi/2[$.
    Soient $x,y \in I$ tels que $x<y$. Alors $x + \tan (x) < y + \tan(x)$.
    La fonction $\tan$ étant strictement croissante sur $I$, on a $\tan (x) < \tan (y)$.
    Donc $f(x) < f(y)$.
    On a montré $\boxed{\forall (x,y) \in I^2 \ x<y \implies f(x) < f(y)}$.
  • OShine
    Modifié (October 2023)
    @bd2017
    J'ai regardé la fiche d'indication et il est dit : 
    "Représenter $x_n$ sur un dessin, formuler une conjecture, puis exploiter la réciproque de la fonction $x \mapsto x + \tan (x)$."

    Je ne comprends pas trop le rapport avec la fonction réciproque. 
  • gai requin
    Modifié (October 2023)
    Que vaut $ \lim\limits_{x\to +\infty}f^{-1}(x)$ ?
  • Peut-être parce que $f(x_n) = n \iff x_n=...$ ?
    Bon courage aux gens qui t'aident (enfin qui pensent t'aider, comme d'habitude).
  • @gai requin
    J'ai regardé le cours de sup, je ne vois pas de résultat qui permet de déterminer la limite de la fonction réciproque.
    On sait juste que la fonction réciproque est symétrique de la fonction par rapport à la première bissectrice.
    Au sait aussi, que si $f$ est strictement monotone alors $f^{-1}$ aussi et $f$ et $f^{-1}$ ont la même monotonie.
    Sur Géogebra j'ai l'impression que c'est $\pi/2$ mais je ne sais pas le démontrer. 

    @Alexique
    $f(x_n)= n \iff x_n =f^{-1} (n)$. Mais je ne vois pas quoi en faire.
  • Le  baba sur les fonctions réciproques comme par exemple $\exp$ et $\ln$.
    Soit $\varepsilon>0$.
    Pour tout $x>f(\pi/2-\varepsilon)$, on a $f^{-1}(x)>\pi/2-\varepsilon$.
    Donc $\lim\limits_{x\to +\infty}f^{-1}(x)=\pi/2$.
  • OShine
    Modifié (October 2023)
    J'ai rarement voir jamais vu ce genre de raisonnement avec les fonctions réciproques...
    On a pour $x > f( \pi /2 - \varepsilon)$, $f^{-1}(x) - \pi /2 > - \varepsilon$.
    Or $f^{-1} (x) < \pi /2$ donc $f^{-1} (x)- \pi /2 < 0$. 
    Ainsi $|f^{-1} (x)- \pi /2| =\pi /2 - f^{-1} (x)$. 
    Donc on a bien $\boxed{\forall \varepsilon >0 \ \exists A=f(\pi /2 -x) \in \R \ , \forall x \geq A \ |f^{-1} (x)- \pi /2 | < \varepsilon}$.
    Donc $\boxed{x_n =f^{-1} (n) \longrightarrow \dfrac{\pi}{2}}$.
  • Tu fais comment pour montrer que $\lim\limits_{x\to +\infty}\ln x=+\infty$ ? (niveau terminale)
  • OShine
    Modifié (October 2023)
    Question intéressante. 
    Soit $M \in \R$. Il existe $N=e^M \in \R$ tel que $\forall x \in \R^{+*} \ ( x \geq N \implies \ln (x) \geq \ln (e^M)=M)$.
    On a montré que $\boxed{\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \ln x =+ \infty}$.
  • Toujours le défaut de compétence sur les mathématiques du lycée (pas rectifié par le passage en taupe et encore moins par le refus de les étudier en vue du Capes).
  • Perso, si j'étais en terminale, je n'y comprendrai rien.  
     
  • OShine
    Modifié (October 2023)
    Les fonctions réciproques ce n'est pas niveau terminale. 
  • bd2017
    Modifié (October 2023)
    Alors je change ma remarque. Si j'étais en  L1 je n'y  comprendrais rien.
    De plus, il faut réfléchir un tant soit peu. La démonstration demandée est une question de pédagogie. Elle s'inscrit dans un cours élémentaire sur la fonction logarithme. Comment est introduite la fonction logarithme ? 
    Fonction réciproque de la fonction exponentielle, ou bien comme une intégrale ... ($\ln  x=\int_1 ^x  1/u du$ ) ou fonction solution d'une équation fonctionnelle...
    C'est-à-dire que si  j'avais à répondre à la question de @lourrran, je préciseraile contexte dans lequel je vais répondre à la question. Ensuite j'écris quelque chose compréhensible par les élèves...  

    Rem. Tu utilises  toujours les mêmes entourloupes :  "ce n'est pas au programme" ... au lieu de dire "je ne  sais pas faire".
     
  • OShine
    Modifié (October 2023)
    Quel est le souci de ma preuve ? J'utilise la définition de limite vue en sup. 
    Je n'ai pas fait une démo pour les élèves de terminale, de toute façon je n'ai que des collégiens.
  • Je l'ai déjà dit! Quel est le contexte de ta preuve? Il faut  deviner. 
    Ensuite c'est très mal argumenté.
     
  • Mal argumenté ? Ca prend une ligne la preuve. 
    C'est la définition de la limite.
    $\lim_{+ \infty} \ln = + \infty$ si et seulement si : 
    $\forall M \in \R \ , \exists N \in \R \ \ , \forall x \in \R^{+*} \ \ , \ \ (x \geq N \implies \ln (x) \geq M )$.

  • Oui c'est mal argumenté.  Laissons le forum décider....  
     
  • OShine
    Modifié (October 2023)
    J'ai oublié de dire que $\ln$ était strictement croissante pour justifier le $x \geq N \implies \ln (x) \geq \ln (N)$.
  • bd2017
    Modifié (October 2023)
    OShine a dit :
    J'ai oublié de dire que $\ln$ était strictement croissante pour justifier le $x \geq N \implies \ln (n) \geq \ln (N)$.
    Quel b...!
     
  • lourrran
    Modifié (October 2023)
    Du coup, la fonction  $f$ : $f(x) = ln(x)+\sin(x)$, comment on va faire pour étudier sa limite, vu qu'elle n'est pas monotone ?
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
  • @lourrran
    C'est assez simple.
    Soit $x>1$ on a $f(x)= \ln(x) ( 1+ \dfrac{\sin (x) }{ \ln(x) } )$.
    $\dfrac{\sin (x) }{ \ln(x) } \longrightarrow 0 $ car la fonction sin est bornée.
    Donc la limite de $f$ vaut plus l'infini.
  • Ok.
    Après tout, dans ton job, on ne te demande pas de faire des démonstrations, donc il n'y a pas de problème.
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
  • gerard0
    Modifié (October 2023)
    OShine a dit :
    Les fonctions réciproques ce n'est pas niveau terminale. 
    Tu n'en sais rien, tu n'as jamais voulu étudier les mathématiques du lycée (pourtant au programme du Capes).
  • Un extrait du programme de math terminale vu sur internet.
     
  • O'Shine tu écris "Les fonctions réciproques ce n'est pas niveau terminale. "
    c'est faux ça 
  • Je ne pensais pas, j'enseigne au collège je ne connais pas tout ce qui se passe au lycée. 
  • gai requin
    Modifié (October 2023)
    @lourran : Pour tout $x>0$, $\ln x+\sin x\geq\ln x-1$ donc $\lim\limits_{x\to +\infty}\ln x+\sin x=+\infty$ par comparaison.
    Faux problème !
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