Couple de suites récurrentes second cas

OShine
Modifié (October 2023) dans Analyse
Bonjour,
Je n'ai pas réussi à avancer dans cet exercice. Je ne vois pas l'idée.
J'ai fait des calculs mais je n'aboutis à rien. 
Soient $(u_n)_{n \in \N}$ et $(v_n)_{n \in \N}$ deux suites pour lesquelles $u_0>0$ et $v_0>0$ et pour tout $n \in \N$ : 
$u_{n+1}=\dfrac{u_n+v_n}{2}$ et $v_{n+1}=\dfrac{2 u_n v_n}{u_n +v_n}$.
Montrer que les suites $(u_n)_{n \in \N}$ et $(v_n)_{n \in \N}$ sont convergentes de même limite que l'on précisera. 

Réponses

  • Bonjour,
    Tu peux commencer par calculer $\frac{1}{v_{n+1}}$.
  • OShine
    Modifié (October 2023)
    Joli ! 
    On a $\dfrac{1}{v_{n+1}}=\dfrac{u_{n+1}}{u_n v_n}$. Donc $u_n v_n= u_{n+1} v_{n+1}$.
    La suite $(u_n v_n)$ est constante, donc $\boxed{\forall n  \in \N, \ u_n v_n =u_0 v_0}$.

    Je vais essayer de poursuivre avec ça.
  • On a donc $v_{n+1}= \dfrac{2 u_0 v_0}{u_n+ v_n}$

    Mais je n'arrive pas à poursuivre avec ce résultat. Je ne sais pas quoi faire ensuite.
  • Bibix
    Modifié (October 2023)
    Tu peux calculer $u_{n+1} - \frac{1}{v_{n+1}}$.
  • lourrran
    Modifié (October 2023)
    Faisons un essai à partir d'un exemple
    $u_0=1, v_0=10$
    $u_1=5.5, v_1=20/11=1.8$ environ
    $u_2=3.65, v_2=20/11=2.8$ environ
    $u_2=3.4, v_2=20/11=3$ environ

    On a l'air de tourner autour d'un nombre un peu plus grand que 3. Peut-être $\pi$, mais on se demande vraiment pourquoi $\pi$ apparaîtrait ici ! 
    Peut-être $\sqrt{10}$ ?

    Oh, oui, en effet, on me dit que les 2 suites doivent être convergentes, de même limite, et je sais qu'à chaque étape, le produit vaut $u_0 \times v_0 $ !
    Donc je peux déjà reformuler la question : montrer que les 2 suites sont convergentes et ont toutes les 2 pour limite $\sqrt{u_0 v_0}$
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
  • bd2017
    Modifié (October 2023)
    Pour faire l'exercice, on peut aussi calculer  $v_n$ en fonction de $u_n$  (puisque qu'on sait que le produit est constant, i.e $v_n=\dfrac{u_0v_0}{u_n}$) .  On remplace  on a donc  $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$  pour retomber sur une situation standard (c'est à direon a  $u_{n+1}=f(u_n)$ +   point fixe). 
     
  • bisam
    Modifié (October 2023)
    Il est très simple de prouver que les deux suites sont adjacentes... Cela n'utilise rien d'autre que des techniques de niveau première !
    Ah si, peut-être une récurrence triviale...
  • Bibix a dit :
    Tu peux calculer $u_{n+1} - \frac{1}{v_{n+1}}$.
    Ca ne donne rien...
  • OShine
    Modifié (October 2023)
    @bd2017
    Oui c'est possible.

    @bisam
    @lourrran
    Je voulais démontrer qu'elles étaient adjacentes mais je n'ai réussi que la monotonie.
    On a : 
    • $u_{n+1}-u_n=\dfrac{v_n-u_n}{2}$.
    • $v_{n+1}-v_n=\dfrac{v_n (u_n -v_n)}{u_n+v_n}$ 
    Il est évident que $\forall n \in \N \ u_n>0 \ \ v_n >0 \  u_n+v_n>0$.
    Montrons que $\forall n \in  \N^{*} \ v_n \leq u_n$, l'inégalité n'étant pas forcément vraie au rang $n=0$.
    On a $v_1 \leq u_1 \iff 4u_0 v_0 \leq (u_0+v_0)^2 \iff (u_0 -v_0)^2 \geq 0$.
    Donc $v_1 \leq u_1$.
    L'hérédité se traite de la même façon. 

    Ainsi $u_{n+1}-u_n \leq 0$ et $v_{n+1}-v_n \geq 0$.
    La suite $(u_n)$ est décroissante alors que la suite $(v_n)$ est croissante.

    Je ne vois pas comment démontrer que $u_n -v_n \longrightarrow 0$...
    J'ai calculé $v_{n+1}-u_{n+1}=\dfrac{ 2u_n v_n -u_n ^2-v_n ^2}{2(u_n +v_n)}$ mais que faire de cette expression ? 
  • Une suite croissante majorée est...
  • Déjà le signe de cette expression me paraît évident...
    ’’Auparavant le monde était dirigé par des intelligents. C’était cruel. Les intelligents forçaient les imbéciles à apprendre. C’était difficile pour les imbéciles. Aujourd'hui le monde est dirigé par des imbéciles. C’est juste, car les imbéciles sont beaucoup plus nombreux. Aujourd'hui les intelligents apprennent à s’exprimer afin que les imbéciles puissent comprendre. Si un imbécile ne comprend pas c’est un problème d’intelligents. Auparavant souffraient les imbéciles. Aujourd'hui souffrent les intelligents. La souffrance diminue car les intelligents sont de moins en moins nombreux.’’
    Mikhaïl Jvanetski.

  • Une suite croissante et majorée converge en vertu du théorème de la limite monotone. 

    Ca me semble étrange, car quand on veut montrer que deux suites sont adjacentes, on montre que $u_n - v_n \longrightarrow 0$ mais ici on ne connaît ni $u_n$ ni $v_n$...

    $(u_n)$ est décroissante et minorée par $0$ donc elle converge.
    Pour $(v_n)$ je ne vois pas par quoi elle est majorée...
  • En dessinant les premiers termes des deux suites sur un axe, ça doit sauter aux yeux.
  • 1. Tu connais la limite, tu as tous les éléments pour dire quelle est cette limite.
    2. Tu as calculé $u_{n+1}-u_n$, mais dans ce calcul, tu as laissé des $v_n$. Ce serait quand même plus parlant si tu remplaçais ce $v_n$ par sa valeur ( à savoir $\frac {u_0 \times v_0}{u_n}$ ; comme ça, tu as une relation de récurrence avec uniquement la suite $(u_n)$
    3. Pour alléger les notations, tu peux introduire une constante $K=u_0 \times v_0$ , voire $l=\sqrt{u_0 \times v_0} $
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
  • OShine
    Modifié (October 2023)
    @lourran
    Oui mais @bisam dit que c'est très facile à de montrer que les suites sont adjacentes, sauf que je ne trouve pas la limite de $(u_n-v_n)$.
    J'ai calculé $u_{n+1}-u_n$ pour trouver la monotonie, et ça j'ai réussi. Je ne comprends pas pourquoi tu veux chercher une relation de récurrence avec uniquement la suite $(u_n)$. Quel est l'objectif ? 

    @JLT
    J'ai montré que $\forall n \geq 1 ,\ v_n \leq u_n$. Et $u_n \leq v_{n-1} \leq \cdots \leq u_1$.
    Soit $u_0=1$ et $v_0=3$. On a : 
    • $u_1=2$ et $v_1=1,5$
    • $u_2=7/4=1,75$ et $v_2=12/7 \approx 1,7$
    Il me semble que c'est $v_n \leq u_1$ mais par récurrence je n'ai pas réussi à le montrer. 
    On a bien $v_1 \leq u_1$.
    Supposons $v_n \leq u_1$. Alors $v_{n+1} \leq \dfrac{2 u_n u_1}{u_n+v_n}$.
    Or, $u_n+v_n \geq u_n+ 0 =u_n$.
    Donc, $v_{n+1} \leq 2u_1$ c'est ici que j'ai un problème...
  • bd2017
    Modifié (October 2023)
    Une façon directe de faire l'exercice et pour éviter des calculs inutiles, c'est  de  remarquer  qu'au couple $(u_n,v_n)$  on faire correspondre $(u_{n+1}, v_{n+1}) $  qui est le couple   (MA,MH)= (moyenne arithmétique, moyenne harmonique de $u_n$ et  $v_n$).  Donc  à partir du rang  $n=1$  on  a :     $$v_n < v_{n+1}<  u_{n+1} < u_n$$   (j'ai mis  une inégalité stricte car je suppose que $u_0\neq v_0$ ), tout ceci d'après l'inégalité bien connue MH<MA. 
    Ainsi  les deux suites  convergent. 
    De  plus, la moyenne géométrique $MG=\sqrt{u_n v_n}=\sqrt{u_0v_0} $  étant constante  et  puisqu'il  il est aussi bien connu que    $MH<MG<MA$),   on a alors $$\lim v_n \leq \sqrt{u_0 v_0 }\leq \lim u_n .$$
    Il n'est pas difficile de finir en montrant que les deux limites sont égales.    
     
  • OShine
    Modifié (October 2023)
    @bd2017
    Je doute que ce soit la méthode attendue ici. D'ailleurs je ne connais pas ce résultat. 
     D'ailleurs il y a une indication dans la fiche : 
    "Etudier la monotonie des deux suites ainsi que leur position relative".
    La monotonie j'ai réussi, ainsi que la position relative. 
    Il me reste juste à montrer que $(v_n)$ est majorée.
    Il me semble que $(v_n)$ est majorée par $u_1$.
    Effet, j'ai montré que $\forall n \geq 1 \ v_n \leq u_n \leq \cdots \leq u_1$ . 

    Donc $(u_n)$ et $(v_n)$ convergent vers une limite $\ell$. 
    Comme $u_{n+1}=\dfrac{ u_n +v_n}{2}$ alors $2 u_{n+1} -u_n= v_n$.
    Soit $u_n \longrightarrow l$ et $v_n \longrightarrow l'$ on en déduit que $2l -l=l'$ soit $l=l'$.
    Puis $l=\dfrac{2 u_0 v_0}{2l}$ donc $l^2=u_0 v_0$.
    Enfin $\boxed{l=\sqrt{u_0 v_0}}$.
  • bd2017
    Modifié (October 2023)
    C'est bien, reste scolaire et enfantin dans tes remarques. 
    Quand on fait face à un problème de mathématiques, on ne cherche pas à deviner comment aurait fait l'auteur pour le résoudre mais  tout simplement à le résoudre.  
    En particulier on ne travaille  pas avec un corrigé et on ne s'interdit pas d'utiliser  des connaissance de collège tels que différentes moyennes de 2 nombres.
    Je suis effaré par tes remarques absolument idiotes. D'autant plus qu'ici je réponds à la monotonie et les postions relatives de $u_n$ et $v_n$.
     
  • $v_n\le u_n\le u_1$
  • OShine
    Modifié (October 2023)
    @bd2017
    L'auteur ne donne pas de corrigé, juste des indications très succinctes à certains exercices. 
    Je ne critique pas ta solution, mais comme je ne maîtrise pas les MH, MG et MA, je préfère faire avec des outils plus élémentaires.

    @JLT
    Ok merci c'est ce que je soupçonnais.
  • Il y a aussi la possibilité d'écrire que pour tout $n\in\N$, $|u_{n+1}-v_{n+1}|=\frac{(u_n-v_n)^2}{2(u_n+v_n)}\leq\frac{1}{2}|u_n-v_n|$ et donc par récurrence $|u_n-v_n|\leq \frac{|u_0-v_0|}{2^n}$, ce qui permet de conclure que $u_n-v_n$ tend vers $0$.
  • mav1
    Modifié (October 2023)
    Bonjour
    Rien qu'à la lecture de l'énoncé, bien sûr on peut se tromper, mais on se dit "y-a peut-être bien des suites adjacentes dans l'air"...rien qu'à la lecture je dis bien...
    suites adjacentes, programme de terminale...on y démontre l'imbrication des termes, etc...on y démontre tout
    donc on reprend un vrai cours de terminale, et on le bosse, pour enfin voir si c'est ça, en assimiler les démonstrations (pas les lire seulement, hein...)  et comprendre le sujet proposé.
  • Si on sait utiliser un tableur, on peut aussi tâtonner un peu et très rapidement. Certes, dans la vraie vie, l'étudiant sensé résoudre cet exercice n'a pas accès à un tableur, mais il n'a pas accès non plus à un aéropage d'agrégés pour l'aider via un forum.
    Et un prof de maths de 35 ans sait forcément utiliser un tableur.
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
  • bd2017
    Modifié (October 2023)
    Je suis désolé de te contredire @Oshine.   
    On  sait que si   $a<b$,  on a  $a<MH<MA< b$   où MA c'est la moyenne arithmétique de a et b   et MH  la moyenne harmonique.  
    Donc  si $b=u_n, a=v_n$, alors   $MA=u_{n+1} $ et $MH=v_{n+1}.$ 
    Ce qui donne  $v_n< v_{n+1} < u_{n+1} < u_n.$  C'est exactement l'indication donnée par ton livre. 
    Pourquoi rejeter cette méthode? C'est  exactement celle que tu cherches, c'est à dire rester dans l'indication du livre. Si ces inégalités ne te sont pas connues, il suffit de les vérifier. "Ta méthode élémentaire",  c'est ce que je  t'ai indiqué, sauf qu'il aurait fallu que je n'employe pas le gros mot "moyenne."
    Maintenant, je trouve enfantin de ne chercher qu'une seule voie. J'avais proposé une autre solution qui passe par l'élimination de $v_n.$
    Concernant les remarques de @lourran je suis d'accord avec lui. Quand on n'a pas d'idée, on se débrouille, il n'y a pas de honte à utiliser un tableur  pour voir que $v_n< v_{n+1} < u_{n+1} < u_n.$  Mais même si on te fournit des idées, ça ne va pas, parce que soit "ce n'est pas au programme" ou "ce n'est pas la réponse attendue"... Je suis effaré.... de voir que tu en restes toujours à ce stade très primaire  de la pensée.
     
  • bisam a dit :
    Il y a aussi la possibilité d'écrire que pour tout $n\in\N$, $|u_{n+1}-v_{n+1}|=\frac{(u_n-v_n)^2}{2(u_n+v_n)}\leq\frac{1}{2}|u_n-v_n|$ et donc par récurrence $|u_n-v_n|\leq \frac{|u_0-v_0|}{2^n}$, ce qui permet de conclure que $u_n-v_n$ tend vers $0$.
    Merci, joli ! 
  • bd2017 a dit :
    Une façon directe de faire l'exercice et pour éviter des calculs inutiles, c'est  de  remarquer  qu'au couple $(u_n,v_n)$  on faire correspondre $(u_{n+1}, v_{n+1}) $  qui est le couple   (MA,MH)= (moyenne arithmétique, moyenne harmonique de $u_n$ et  $v_n$).  Donc  à partir du rang  $n=1$  on  a :     $$v_n < v_{n+1}<  u_{n+1} < u_n$$   (j'ai mis  une inégalité stricte car je suppose que $u_0\neq v_0$ ), tout ceci d'après l'inégalité bien connue MH<MA. 
    Ainsi  les deux suites  convergent. 
    De  plus, la moyenne géométrique $MG=\sqrt{u_n v_n}=\sqrt{u_0v_0} $  étant constante  et  puisqu'il  il est aussi bien connu que    $MH<MG<MA$),   on a alors $$\lim v_n \leq \sqrt{u_0 v_0 }\leq \lim u_n .$$
    Il n'est pas difficile de finir en montrant que les deux limites sont égales.    
    Je ne comprends pas à quoi sert le $$\lim v_n \leq \sqrt{u_0 v_0 }\leq \lim u_n .$$ ni comment en déduire la limite.

    L'inégalité $$v_n < v_{n+1}<  u_{n+1} < u_n$$  permet de montrer que les 2 suites convergent et ensuite on fait comme j'ai fait plus haut pour trouver les limites.
    Je ne comprends pas l'intérêt de cette méthode ni comment trouver la limite avec cette méthode.
  • @mav1
    On ne fait quasiment plus de démo rigoureuse en terminale, il faut surtout étudier un livre de sup pour voir des vrais démos.

    @lourrran
    Oui c'est vrai sur tableur c'est plus simple.
  • bd2017
    Modifié (October 2023)
    OShine a dit :
    Je ne comprends pas à quoi sert le $$\lim v_n \leq \sqrt{u_0 v_0 }\leq \lim u_n .$$ ni comment en déduire la limite.
    Pour dire cela, surtout après avoir obtenu la solution, il vaut mieux revenir à des exercices de 6ème.

    Tu as raison cela ne sert à rien de voir que $u_n$ est une moyenne géométrique, que $v_n$  est une moyenne harmonique, de savoir que la moyenne géométrique est coincée entre la moyenne harmonique et la moyenne arithmétique. Moins on en sait, plus on est aveugle, mieux ça va.  D'ailleurs on ne fait plus de démonstration rigoureuse en terminale, plus rien ne sert à rien.  On paye des profs qui ne savent rien  car il n'y a plus rien à enseigner.
     
  • OShine
    Modifié (October 2023)
    On obtient alors $\ell_1 \leq \sqrt{u_0 v_0} \leq \ell_2$ où $u_n \longrightarrow \ell_2$ et  $v_n \longrightarrow \ell_1$.
    Ton inégalité ne permet pas de conclure.

    La preuve de @bisam me semble être la plus simple et rapide pour résoudre l'exercice.

  • Et tu écris cela alors que tu as toi-même démontré $u_0 v_0 = u_n v_n$... j'ai bien fait de ne pas te donner les réponses.
  • Bibix a dit :
    Et tu écris cela alors que tu as toi-même démontré $u_0 v_0 = u_n v_n$... j'ai bien fait de ne pas te donner les réponses.
    Oui ça je l'ai en tête mais je ne vois pas en quoi cela permet d'en déduire la limite à partir de $\lim u_n \leq \sqrt{u_0 v_0} \leq \lim v_n$.
  • > "On ne fait quasiment plus de démo rigoureuse en terminale, il faut surtout étudier un livre de sup pour voir des vrais démos."
    j'ai un peu envie de dire "qu'est-ce que tu en sais"...
    et puis que je sache, tu ne fais pas tes études de terminale à l'heure actuelle, donc...tu as vu, et on trouve toujours quelques bouquins corrects de lycée sur les programmes antérieurs qui traitent tout ça très bien
  • Il y a toujours des bons bouquins qui restent rigoureux c'est sûr.

    @bd2017 j'attends toujours ta preuve de la limite car je ne vois pas. 
  • JLapin
    Modifié (October 2023)
    @OShine
    Tu peux passer à la limite dans la première relation de récurrence.
    C'est une astuce qu'on trouve dans certains bouquins de sup.
  • Lol_a
    Modifié (October 2023)
    Les différentes types moyennes ce n'était pas tombé aux écrits du CAPES en 2020 ?
  • @JLapin
    C'est ce que j'ai fait pour résoudre l'exercice mais je ne vois toujours pas le rapport avec la solution de @bd2017 et l'inégalité $\lim u_n \leq \sqrt{u_0 v_0} \leq \lim v_n$.
  • "Ma solution"  c'est exactement ce que tu as fait....!
     
  • JLapin
    Modifié (October 2023)
    Voici une nouvelle astuce (tu devrais les noter dans un cahier avant de passer l'agreg interne).
    Si tu as deux réels $A$ et $B$ qui vérifient $A\leq B\leq A$, alors tu peux en déduire $A=B$. Je te laisse trouver la page de ton manuel de référence qui parle de ce résultat assez spectaculaire.
  • @JLapin
    Le problème est que dans la démo de @bd2017 je ne vois pas de démo comme quoi $\lim u_n = \lim v_n$.

  • JLapin
    Modifié (October 2023)
    JLapin a dit :
    @OShine. Tu peux passer à la limite dans la première relation de récurrence.
    C'est une astuce qu'on trouve dans certains bouquins de sup.
    C'est le début d'une boucle...
  • bd2017
    Modifié (October 2023)
    Voici une suite à l'exercice.  Soit $u_0,v_0,w_0>0$ et 3  suites définies par 
    $$u_n=\dfrac{u_n+v_n+w_n}{3} , \quad v_n =\dfrac{3 u_n v_n w_n}{u_nv _n+ v_n w_n+ w_n u_n},\quad   w_n =(u_n v_n w_n)^{1/3}. $$ 
    Peux-t-on donner une expression explicite de leur limite ? 
     
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