Théorème d’équivalence des normes

paspris
paspris
dans Analyse
Bonjour, 

le théorème d’équivalence des normes n’est plus valable si le corps de base n’est pas complet, ceci dit je ne suis pas sûr de voir à quel moment de la démo cette hypothèse est utilisée. Pourriez-vous m’éclairer svp?

Merci 

Réponses

  • AlainLyon
    AlainLyon
    Bonjour, merci d'énoncer ce théorème!
  • paspris
    paspris
    Bonjour, 

    si E est un evn sur R ou C, de dimension finie alors toutes les normes sont équivalentes 
  • bisam
    bisam
    Je pense que le théorème énonce que toutes les normes que l'on peut mettre sur $\mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension finie sont équivalentes lorsque le corps $\mathbb{K}$ est complet.
    En général, on l'énonce essentiellement pour les corps $\R$ ou $\C$.
    Dans ma démonstration, j'utilise le théorème de Bolzano-Weierstrass... qui utilise le fait que $\R$ est complet.

    Pour ce qui est de trouver un contre-exemple lorsque le corps n'est pas complet, je n'ai pas encore d'idée lumineuse.
  • bisam
    bisam
    Modifié (October 2023)
    Pour le contre-exemple, on peut prendre le $\Q$-espace vectoriel $E=\Q[\sqrt{2}]$, qui est de dimension $2$.
    Alors la norme usuelle $N_1:x\mapsto |x|$ et la norme $N_2:x=\alpha+\beta\sqrt{2}\mapsto |\alpha|+|\beta|$ ne sont pas équivalentes car, par exemple, la suite $u:n\mapsto (\sqrt{2}-1)^n$ converge vers $0$ pour la première norme mais ne converge pas pour la seconde.
  • AlainLyon
    AlainLyon
    @bisam Peut-être qu'en utilisant des espaces vectoriels sur des corps de nombres p-adiques ....
  • MrJ
    MrJ
    Modifié (October 2023)
    On peut aussi considérer sur $\Q^2$ les normes $N_1:(x,y)\mapsto |x|+|y|$ et $N_2 : (x,y)\mapsto |x+\sqrt{2} y|$.

    Édit : Ça revient au même que l'exemple de bisam.
  • paspris
    paspris
    Modifié (October 2023)
    Merci beaucoup, j’avais déjà un contre exemple et j’avais aussi l’idée que c’était au moment d’utiliser Bolzano Weierstrass qu’on utilisait l’hypothèse « complet » mais ça ne m’a pas sauté aux yeux. 
  • Poirot
    Poirot
    Bolzano-Weierstrass c'est de la compacité locale plutôt, et c'est la véritable hypothèse qui implique l'équivalence des normes sur les espaces vectoriels de dimension finie.
  • agregagreg2
    agregagreg2
    Modifié (October 2023)
    Vous avez un livre qui traite la question (énoncé plus général et contre-exemple) ? Je ne l'ai vu que pour R ou C.  
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