Équation cartésienne de droite

zeste
Modifié (October 2023) dans Géométrie
Bonjour à tous, :)

Soient $\mathcal{R}$ un repère du plan, $a$, $b$ et $c$ des réels tels que $(a,b)\neq (0,0)$, comment montrer que l'équation cartésienne $ax+by+c=0$ $(E)$ décrit dans $\mathcal{R}$ une droite ?

Je ne trouve rien de convaincant.

Réponses

  • Bonjour,

    Tout dépend de quelle définition d'une droite tu adoptes. L'ensemble des points vérifiant ce type d'équation pourrait à mon avis très bien être utilisé comme définition.

    Cela dit, pour essayer de relier cette équation à une définition plus géométrique d'une droite, on pourrait par exemple vérifier que 3 points distincts vérifiant cette équations sont nécessairement alignés.
  • philou22
    Modifié (October 2023)
    Je choisirais 3 points dont les coordonnées vérifient l’équation et je montrerais qu’ils sont alignés en utilisant le déterminant de deux vecteurs.
  • zeste
    Modifié (October 2023)
    Soient $A$, $B$ et $C$ trois points distincts de coordonnées respectives $(x_A,y_A)$, $(x_B,y_B)$, $(x_C,y_C)$ dans $\mathcal{R}$ vérifiant l'équation cartésienne $(E)$, alors
    $\left\{
    \begin{array}{rl}
    ax_A+by_A+c &= 0 \\
    ax_B+by_B+c &= 0\\
    ax_C+by_C+c &= 0
    \end{array}
    \right.$
    Ainsi $\left\{
    \begin{array}{rl}
    a(x_B-x_A)+b(y_B-y_A) &= 0 \\
    a(x_C-x_A)+b(y_C-y_A) &= 0
    \end{array}
    \right.$
    Mais alors, $$-ab(x_B-x_A)(y_C-y_A)=-ab(y_B-y_A)(x_C-x_A).$$
    D'où : $$ab\Big(\underbrace{(x_B-x_A)(y_C-y_A)-(y_B-y_A)(x_C-x_A)}_{\det(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})}\Big)=0.$$
    • Si $ab\neq 0$, alors $\det(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=0$, et donc $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires, ce qui montre que $A$, $B$ et $C$ sont alignés.
    • Si $a=0$, alors par hypothèse $b\neq 0$ d'où $\left\{
      \begin{array}{rl}
      y_B-y_A &= 0 \\
      y_C-y_A&=0
      \end{array}
      \right.$,  ce qui implique $\det(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=0$, et donc que $A$, $B$ et $C$ sont alignés.
    • Si $b=0$, alors $a\neq0$ et de la même façon on montre que $A$, $B$ et $C$ sont alignés.
  • JavierT
    Modifié (October 2023)
    Bonjour
    Il suffit d'écrire une équation paramétrique de cette satanée droite.
    $\left\{
     \begin{array}{rcl}
     x&=&x\\
    y&=&-\frac{a}{b}x-\frac{c}{b}
     \end{array}
     \right.$
     et c'est fini !
    NB : je n'arrive pas à mettre le code LaTeX.
    [Encadre simplement tes expressions mathématiques par des $\$$.  :) AD] 
  • La forme linéaire $(x,y)\mapsto ax+by$ étant surjective, il existe $A$ dans $(E)$.
    On vérifie alors que $(E)$ est la droite passant par $A$ et dirigée par $\vec u(-b,a)$.
  • zeste
    Modifié (October 2023)
    Noveang a dit :
    Cela dit, pour essayer de relier cette équation à une définition plus géométrique d'une droite, on pourrait par exemple vérifier que 3 points distincts vérifiant cette équations sont nécessairement alignés.
    C'est fait : si les coordonnées de 3 points distincts vérifient cette équation alors ils sont alignés. 
    On montre sans trop de difficulté que l'ensemble (notons-le $\mathcal{D}$) des points dont les coordonnées vérifient cette équation est infini, mais alors comment montrer qu'il n'a pas de "trou" ?
    JavierT a dit :
    Bonjour
    Il suffit d'écrire une équation paramétrique de cette satanée droite.
    $\left\{
     \begin{array}{rcl}
     x&=&x\\
    y&=&-\frac{a}{b}x-\frac{c}{b}
     \end{array}
     \right.$
     et c'est fini !
    Je ne crois pas que cela fasse avancer la question : pourquoi cette équation réduite décrit-elle une droite ? 
    gai requin a dit :
    La forme linéaire $(x,y)\mapsto ax+by$ étant surjective, il existe $A$ dans $(E)$.
    On vérifie alors que $(E)$ est la droite passant par $A$ et dirigée par $\vec u(-b,a)$.
    Je ne suis pas sûr de tout saisir, et je cherche une démonstration accessible au niveau seconde.
  • Soc
    Soc
    Modifié (October 2023)
    Il faudrait commencer par la définition que tu veux d'une droite. Au collège il n'y en a pas (c'est axiomatique). Au lycée l'idée est plutôt de redéfinir la géométrie par le calcul, donc prendre pour définition l'ensemble des points vérifiant cette équation (comme proposé par Noveang) me paraît tout à fait raisonnable.
    De toute façon, comme toujours dans l'enseignement des maths, vouloir faire des démonstrations sans point de départ axiomatique c'est voué à être du baratin.
    The fish doesnt think. The Fish doesnt think because the fish knows. Everything. - Goran Bregovic
  • @zeste : Tu montres que $(E)$ contient un point $A$ puis que c'est la droite que j'ai décrite dans mon message précédent.
  • zeste
    Modifié (October 2023)
    L'axiomatisation de la géométrie dans le secondaire est en effet problématique.

    Voilà la définition que j'adopte : Soit $\mathcal{D}$ une partie du plan, on dit que $\mathcal{D}$ est une droite s'il existe un point $A$ et un vecteur non nul $\vec{u}$ tels que $\mathcal{D}=  \{ A + k \vec{u} \mid k \in \R \} = A + \R \vec{u}$.
  • JavierT
    Modifié (October 2023)
    zeste a dit :
    Je ne crois pas que cela fasse avancer la question : pourquoi cette équation réduite décrit-elle une droite ?
    Car si tu appelles le point $A$ de coordonnées $(0,-b/a)$ et $\vec u (1,-a/b)$ alors en vecteur cela équivaut à $\overrightarrow{AM}=x\vec u$ : ceci est bien la définition de vecteurs colinéaires.
    Après, en seconde, ceci passe sans aucune difficulté, ou presque.
  • AlainLyon
    Modifié (October 2023)
    @zeste Montrer qu'il n'y a pas de trou est une question très difficile qui a des liens avec les théorèmes de localité ou non en mécanique quantique. En fait, physiquement, ta feuille de papier est pleine de trous.
    Les mathématiques ne sont pas vraies, elles sont commodes.
    Henri Poincaré
  • zeste
    Modifié (October 2023)
    gai requin a dit :
    @zeste : Tu montres que $(E)$ contient un point $A$ puis que c'est la droite que j'ai décrite dans mon message précédent.
    Notons $\mathcal{D}$ l'ensemble des points du plan dont les coordonnées dans $\mathcal{R}$ vérifient l'équation $(E)$.

    • Si $b\neq 0$, montrons que $\mathcal{D}=A+\R \vec{u}$, où $\text{coord}_\mathcal{R}(A)=(0, -\frac{c}{b})$ et $\text{coord}_\mathcal{B}(\vec{u})=(-b,a)$ (avec $\mathcal{B}$ la base associée à $\mathcal{R}$). Soit $M \in A+\R \vec{u}$, il existe $k \in \R$ tel que $ M=A+k \vec{u}$. Mais alors $\text{coord}_\mathcal{R}(M)=(-kb,ka-\frac{c}{b})$, or $a(-kb)+b(ka-\frac{c}{b})+c=0$, donc $M \in \mathcal{D}$. Ainsi $A+\R \vec{u} \subset \mathcal{D}$. Réciproquement, soit $M  \in \mathcal{D}$ de coordonnées $(x,y)$ dans $\mathcal{R}$, alors $ax+by+c=0$. Mais alors $\text{coord}_\mathcal{R}(M)=(x,-\frac{a}{b}x-\frac{c}{b})=(-kb,ka-\frac{c}{b})=\text{coord}_\mathcal{R}( A+k \vec{u})$ où $k=-\frac{x}{b}$, d'où $M \in A+\R\vec{u} $. Ainsi $\mathcal{D} \subset A+\R\vec{u}$.
    • Si $b=0$, alors par hypothèse $a \neq 0$, et en raisonnant de la même façon, on montre que $\mathcal{D}=A+\R \vec{u}$ où $\text{coord}_\mathcal{R}(A)=(-\frac{c}{a},0)$ et $\vec{u}$ est choisi comme précédemment.
  • Bonjour
    Tu penses vraiment écrire ça pour des élèves de seconde ?  :#
  • nicolas.patrois
    Modifié (October 2023)
    Pour des élèves de seconde, le déterminant marche très bien : en plus, pas besoin de savoir si le vecteur directeur est vertical ou non, ça marche à tous les coups.
    On se donne $M(x;y)$ et $A(x_A;y_A)$ deux points du plan, $\vec u (a;b)$ un vecteur non nul. On se donne la droite d qui passe par A et dirigée par $\vec u$.
    Alors $M\in d$ ssi $\overrightarrow{AM}$ et $\vec u$ sont colinéaires ssi leurs coordonnées sont proportionnelles et à partir de là tu peux sortir le déterminant.
    Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
            -- Schnoebelen, Philippe
  • zeste
    Modifié (October 2023)
    mav1
    Heu, ça dépend lesquels. o:) 
    Plus sérieusement, je cherchais une démonstration accessible au niveau seconde, dans la mesure où cette proposition est le plus souvent admise. nicolas.patrois
    Sauf erreur de ma part, le déterminant intervient de manière efficace pour montrer que toute droite admet une équation cartésienne de la forme de $(E)$, mon problème est la réciproque : montrer que toute équation cartésienne de forme $(E)$ décrit une droite.
    [Inutile de reproduire les messages précédents. AD]
  • AlainLyon a dit :
    @zeste Montrer qu'il n'y a pas de trou est une question très difficile qui a des liens avec les théorèmes de localité ou non en mécanique quantique. En fait, physiquement, ta feuille de papier est pleine de trous.
    N'importe quoi ! (Quelle surprise. )
  • zeste a dit :
    Sauf erreur de ma part, le déterminant intervient de manière efficace pour montrer que toute droite admet une équation cartésienne de la forme de $(E)$, mon problème est la réciproque : montrer que toute équation cartésienne de forme $(E)$ décrit une droite.
    Pourquoi ne pas exhiber une droite qui a pour équation cartésienne l’équation (E) ?
    Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
            -- Schnoebelen, Philippe
  • zeste
    Modifié (October 2023)
    nicolas.patrois
    C'est ce que j'ai essayé de faire ici, suivant que $b$ est nul ou non : 
    zeste a dit :
    Notons $\mathcal{D}$ l'ensemble des points du plan dont les coordonnées dans $\mathcal{R}$ vérifient l'équation $(E)$.
    • Si $b\neq 0$, montrons que $\mathcal{D}=A+\R \vec{u}$, où $\text{coord}_\mathcal{R}(A)=(0, -\frac{c}{b})$ et $\text{coord}_\mathcal{B}(\vec{u})=(-b,a)$ (avec $\mathcal{B}$ la base associée à $\mathcal{R}$). Soit $M \in A+\R \vec{u}$, il existe $k \in \R$ tel que $ M=A+k \vec{u}$. Mais alors $\text{coord}_\mathcal{R}(M)=(-kb,ka-\frac{c}{b})$, or $a(-kb)+b(ka-\frac{c}{b})+c=0$, donc $M \in \mathcal{D}$. Ainsi $A+\R \vec{u} \subset \mathcal{D}$. Réciproquement, soit $M  \in \mathcal{D}$ de coordonnées $(x,y)$ dans $\mathcal{R}$, alors $ax+by+c=0$. Mais alors $\text{coord}_\mathcal{R}(M)=(x,-\frac{a}{b}x-\frac{c}{b})=(-kb,ka-\frac{c}{b})=\text{coord}_\mathcal{R}( A+k \vec{u})$ où $k=-\frac{x}{b}$, d'où $M \in A+\R\vec{u} $. Ainsi $\mathcal{D} \subset A+\R\vec{u}$.
    • Si $b=0$, alors par hypothèse $a \neq 0$, et en raisonnant de la même façon, on montre que $\mathcal{D}=A+\R \vec{u}$ où $\text{coord}_\mathcal{R}(A)=(-\frac{c}{a},0)$ et $\vec{u}$ est choisi comme précédemment.
    [Inutile de reproduire le message précédent. AD]
  • Puisque tu as une équation cartésienne, reprends les coefficients a et b comme ceux d’un vecteur directeur et tu utilises le déterminant pour montrer qu’une certains droite qui passe par A et dont un vecteur directeur a pour coordonnées (−b;a) a la même équation cartésienne (à un facteur non nul près).
    Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
            -- Schnoebelen, Philippe
  • @zeste : bonjour. Pour des Secondes, je trouve ta démonstration quasi-inaccessible. Tu devrais revoir ta copie.
    Le chat ouvrit les yeux, le soleil y entra. Le chat ferma les yeux, le soleil y resta. Voilà pourquoi le soir, quand le chat se réveille, j'aperçois dans le noir deux morceaux de soleil. (Maurice Carême).
  • Pour le côté calculatoire, on peut commencer par dire:
    "3x+2y=4 Si l'on veut que le résultat reste le même, alors quand on augmente x de 2, il faut que y diminue de 3."
    Pour le côté géométrique, pour les "convaincre" de l'alignement on est forcément dans le ressenti, mais on peut revenir sur le principe de la pente (vu en 4e/3e):
    j'avance de 2 je monte de 3, voire de 2k et 3k, j'ai toujours le même angle de pente (avec un arctangente pour ceux qui veulent).
    The fish doesnt think. The Fish doesnt think because the fish knows. Everything. - Goran Bregovic
  • zeste
    Modifié (October 2023)
    Bonjour Thierry Poma
    Effectivement la notation est très lourde (c'est à corriger) et la démonstration est parachutée. Mais je n'ai pas trouvé plus simple.
    Puisque tu as une équation cartésienne, reprends les coefficients a et b comme ceux d’un vecteur directeur et tu utilises le déterminant pour montrer qu’une certains droite qui passe par A et dont un vecteur directeur a pour coordonnées (−b;a) a la même équation cartésienne (à un facteur non nul près).
    D'accord, j'essaie ça tout à l'heure
    Merci pour la suggestion @Soc
  • Avec Thalès. Désolè je n'arrive pas à poster les figures. On construit un certain point $C'$ sur $(AB)$ et on montre qu'il est confondu avec $C$.
  • Une suggestion

    À partir de l'équation
       y = (-a/b)x + (-c/b)
    passage par la différentielle
       dy = (-a/b) dx
    ou encore
       dy/dx = (-a/b) = k (constante)
    par Thalès, des accroissements successifs de longueur dy et dx de même proportion entre des paires de points sur Ox et Oy par rapport à l'origine de l'axe des X et l'axe des Y donne à l'intersection des perpendiculaires en ces points des points alignés.

     Jean-Pol Coulon 
  • gerard0
    Modifié (October 2023)
    la différentielle ... en seconde ?
    Cordialement.
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