Points fixes et convergence d'une suite

OShine
Modifié (October 2023) dans Analyse
Bonjour
Toujours un exercice non corrigé de la fiche d'exercices que je suis en train de traiter sur les suites. 
Je ne suis pas sûr de moi pour Q1 et Q2.c.

On notre $f : x \mapsto \sqrt{2-x}$ sur $]-\infty,2]$.
1) Pour quelles valeurs de $u_0$ peut-on définir une suite $(u_n)_{n \in _N}$ par la relation $u_{n+1}=f(u_n)$ ? On suppose désormais que $u_0$ a une telle valeur.
$f$ est dérivable sur $]-\infty,2[$ et $\boxed{f'(x)=\dfrac{-1}{2 \sqrt{2-x}} \leq 0}$.
$f$ établit une bijection strictement croissante de $]-\infty,2]$ sur $[0,+\infty[$.
On a $f([0,2])=[0,2]$ on peut donc prendre $u_0 \in [0,2]$.

2.a) Déterminer les points fixes de $f$ et montrer qu'ils sont points fixes de $f \circ f$. 
$f(x)=x \iff \begin{cases} \sqrt{2-x}=x \\ x \geq 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x^2+x-2=0 \\ x \geq 0 \end{cases} \iff x=1$.
Le point fixe de $f$ est unique, c'est $1$.
On a $f \circ f(x)= \sqrt{ 2 - \sqrt{2-x}}$ donc $f \circ f(1)=\sqrt{2 - \sqrt{2-1}}=\sqrt{2-1}= \sqrt{1}=1$.
$1$ est bien un point fixe de $f \circ f$.

2.b) Montrer que les points fixes de $f \circ f$ sont racines d'un polynôme $P$ de degré $4$.
On a $f \circ f(x)=x \iff  \sqrt{ 2 - \sqrt{2-x}}=x \iff \begin{cases} x^4-4x^2+x+2=0 \\ x \geq 0  \\ 2-x^2 \geq 0 \end{cases} $.
Donc $\boxed{P(x)=x^4-4x^2+x+2}$.

2.c) Vérifier que $P$ admet $-2$ comme racine et en déduire les points fixe de $f \circ f$.
On a $P(-2)=16-16=0$ ainsi $-2$ est racine de $P$. 
Un calcul rapide donne la factorisation : $\boxed{P(x)=(x+2)(x-1)(x^2-x-1)}$.
Comme $-2 <0$ il n'est pas point fixe.
$\dfrac{1- \sqrt{5}}{2} <0 $ donc $\dfrac{1- \sqrt{5}}{2} $ n'est pas un point fixe.
On a $2-(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2})^2 <0$ donc $\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$ n'est pas un point fixe. 
L'unique point fixe de $f \circ f$ est $1$.

3) Montrer que $(u_n)_{n \in \N}$ converge et préciser sa limite. 

Réponses

  • Si $u_0 = -1$ la suite est définie ou non?
  • bd2017
    Modifié (October 2023)
    Bonjour
    Q1 est faux comme remarqué par  @llorteLEG
    Q2 a. La réponse est peut être bonne mais je ne suis pas convaincu du raisonnement et des équivalences (d'autant plus que Q1 est faux
    Q2 b idem  les équivalences me laissent perplexe. 
    Q2 c  idem 
    Bref, je trouve encore que c'est un travail qui laisse à désirer. Par exemple justifier  "qu'un nombre n'est pas un point fixe parce qu'il est négatif "  c'est un peu fort....  
     
  • Alexique
    Modifié (October 2023)
    Personne ne t'a fait la remarque en 3 topics similaires donc je vais la faire une bonne fois pour toute.
    A quoi cela sert-il de dériver pour trouver les variations des fonctions que tu considères ? Tu as vraiment besoin de dériver pour prouver que $f(x)=\sqrt{2-x}$ est décroissante sérieux ?

    Cette pause du forum imposée ne t'a pas permis d'avoir les idées plus claires sur pourquoi tu fais les choses décidément et c'est bien dommage.

    Edit : ok, la monotonie te permet facilement de déterminer les intervalles stables mais bon, tu ne le fais pas ou pas bien ou pas explicitement...

  • Thierry Poma
    Modifié (October 2023)
    @OShine : bonjour. D'une part, tu m'interdis de prendre $u_0=-\pi$, qui appartient bien à l'ensemble de définition $D_f$ de $f$, d'autre part,\[p\in{}D_f\text{ et }p\geqslant0\text{ et }f(p)=p\]te permettra d'établir la liste des points fixes de $f$. S'il te plait, cesse de raisonner par équivalence ; je ne le fais que très rarement.
    Enfin, occupe-toi prioritairement de tes élèves, s'il te plait.
    Le chat ouvrit les yeux, le soleil y entra. Le chat ferma les yeux, le soleil y resta. Voilà pourquoi le soir, quand le chat se réveille, j'aperçois dans le noir deux morceaux de soleil. (Maurice Carême).
  • Q.1 est fausse. Par exemple $u_0=-2$ convient. Il faut raisonner et non appliquer des recettes. Déterminer un ensemble solution d'un problème nécessite la plupart du temps un raisonnement par double inclusion. L'énoncé demande pourtant explicitement un tel raisonnement, où est-il ?
  • OShine
    Modifié (October 2023)
    @Thierry Poma
    Quel rapport avec mes élèves ? Les maths que je pratique ici sont sur mon temps libre et non sur mon temps de travail.

    Le tableur de variation est utile pour déterminer les intervalles stables. On voit plus facilement. Mais sinon je sais faire sans aussi.

    Q1) Montrons que $(u_n)$ est bien définie si et seulement si $-2 \leq u_0 \leq 2$.
    • Si $u_0 \in [-2,2]$ alors $f(u_0)=u_1 \in [f(2),f(-2)]=[0,2] \subset [-2,2]$. Donc $[-2,2]$ est stable par $f$. Donc la suite $(u_n)$ est bien définie.
    • Si $u_0 < -2$, alors $f(u_0)$ n'est pas défini. Le cas $u_0>2$ est impossible car tout nombre strictement supérieur à $2$ n'appartient au domaine de définition de $f$. Par contraposée, si $(u_n)$ est bien définie alors $u_0 \in [-2,2]$. 
    Pour la suite, je vais refaire le raisonnement sans passer par l'équivalence.
  • OShine
    Modifié (October 2023)
    J'ai rectifié le raisonnement de Q2.a en raisonnant par analyse synthèse. 

    Q2.a) Analyse : 

    Soit $x$ un point fixe de $f$. Alors $x \in ]-\infty,2]$ et $f(x)=x$. Donc $\sqrt{2-x}=x$.
    Donc $2-x=x^2$ soit $x^2+x-2=0$. 
    Ainsi, $x \in \{-2,1 \} $.
    Synthèse : 
    • Si $x=-2$ alors $x<0$ donc $-2$ n'est pas solution. En effet, $\sqrt{2-x} \geq 0$.
    • Si $x=1$, on a bien $1 \geq 0$ et $\sqrt{2-1}=1$. 
    On a bien montré que l'unique point fixe de $f$ est $1$.
    On a bien $f \circ f(1)= f( f(1) )= f(1)=1$.
    Le point fixe de $f$ est bien un point fixe de $f \circ f$.
  • Si $u_0 < -2$ alors $f(u_0)$ est bien défini .... 
  • Oui c'est erreur de ma part merci.

    Si $u_0 < -2$ alors $-u_0> 2$ et $2-u_0 >0$ donc $f(u_0) \in [0,\sqrt{2}]$. Je ne vois pas comment montrer que la suite n'est pas définie dans le cas $u_0<-2$  :'(
  • Voyons!   au moins sur un exemple  $u_0=-3$,.... tu calcules $u_1$ puis $u_2$....
     
  • OShine
    Modifié (October 2023)
    @bd2017 bien vu.
    Si $u_0=-3$ alors $u_1=\sqrt{5}$ et $u_2$ n'est pas défini car $2- \sqrt{5} < 0$ et $x \mapsto \sqrt{x}$ est définie sur $\R^{+}$.

    Si $u_0<-2$ alors $-u_0>2$ et donc $2-u_0 > 4$ donc $u_1 > 2$ et il est donc impossible de définir $u_2$.
  • OShine
    Modifié (October 2023)
    Q2.b) Soit $x$ un point fixe de $f \circ f$.
    Alors $f \circ f(x)=x$ donc $\sqrt{2-\sqrt{2-x}}=x$.
    Donc $2- \sqrt{2-x}=x^2$. Ainsi $\sqrt{2-x}=2-x^2$.
    On met de nouveau au carré, ce qui donne : $2-x=(x^2-2)^2$.
    On développe et on réduit : $x^4-4x^2+x+2=0$.
    On a montré que : 
    $\boxed{\text{Les points fixes de} f \ \text{sont racines du polynôme} \ P(x)=x^4-4x^2+x+2}$.

    Q2.c) $P(-2)=(-2)^4-4 \times (-2)^2+(-2)+2=16-16+0=0$.
    Donc $-2$ est racine de $P$.
    On a donc $P(x)=(x+2)(x^3+ax^2+bx+1)$.
    Puis on trouve $a=-2$ et $b=0$.
    Ainsi $P(x)=(x+2)(x^3-2x^2+1)$
    Mais $x^3-2x^2+1=(x-1)(x^2+x-1)$.
    Donc $P(x)=(x+2)(x-1)(x^2-x-1)$
    Finalement $\boxed{P(x)=(x+2)(x-1)(x- \dfrac{1+ \sqrt{5}}{2}) (x-\dfrac{1-\sqrt{5}}{2})}$

    Synthèse : 
    • On a déjà vu que $1$ est un point fixe de $f \circ f$.
    • $f \circ f(2)=f( f(2))=f(0)=\sqrt{2} \ne 2$ donc $2$ n'est pas un point fixe.
    Il me semble compliqué de calculer $f \circ f (\dfrac{1+ \sqrt{5}}{2})$ .... Il n'y a pas une astuce que j'ai loupée ? 
  • OShine a dit :
    @Chalk
    A l'agreg il y a des candidats qui sont admissibles et qui ne savent pas dériver une fonction simple.
    Chacun ses lacunes, moi je suis très à l'aise en calcul et je fais des erreurs sur la logique.

    https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/comment/2436618/#Comment_2436618
  • J'aurais aimé voir l'ensemble de définition de $F=f_{\circ}f$ ainsi que le signe de cette fonction. Il reste à étudier sur cet ensemble le signe de $F(x)-x$ qui est aussi celui de $F(x)^2-x^2$.
  • Je me dis qu'on consulte les fils d'OShine un peu comme on regarde parfois les mauvais films d'horreur (on pouffe devant certaines scènes ridicules en terme de jeu d'acteur ou de mise en scène, l'obscénité de certaines scènes sanglantes nous fait encore écarquiller les yeux mais avec lassitude, on se dit que ça ne vaut vraiment pas le coup de regarder et qu'on cessera à l'avenir de perdre son temps, et puis, inlassablement, on y revient juste parce qu'on est des humains imparfaits)
  • Et la saison 2023-2024 semble prometteuse, on devrait avoir des films d'horreur bien ridicules.

    @OShine :
    Ta première réponse était d'ailleurs rédigée de telle façon que forcément, c'était faux (ou incomplet) :  on peut prendre $u_0 \in [0, 2]$

    Oui, on peut prendre $u_0 \in [0, 2]$, et on peut aussi prendre $u_0 \in [-2, 0[$

    Même si tu avais donné les bonnes valeurs (on peut prendre $u_0 \in [-2, 2]$), la formulation 'on peut prendre' ne répond pas complètement à la question.

    J'espère que quand tes élèves font une erreur de ce type, tu les reprends, sinon ils ne progresseront pas.  Mais malheureusement, je sais que non.
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
  • bisam
    Modifié (October 2023)
    Pour les points fixes de $f\circ f$, c'est $(f\circ f)(-2)$ qu'il faut calculer.
    Par ailleurs : \[\begin{align} (f\circ f)\left( \frac{1+\sqrt{5}}{2}\right) &= f\left(\sqrt{\frac{3-\sqrt{5}}{2}}\right)\\ &= f\left(\sqrt{\frac{5+1-2\sqrt{5}}{4}}\right)\\ &=f\left(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right)\\ &= \sqrt{\frac{5-\sqrt{5}}{2}}\\ &= \sqrt{\frac{10-2\sqrt{5}}{4}}\\ &< \sqrt{\frac{6+2\sqrt{5}}{4}}\\ &= \frac{1+\sqrt{5}}{2} \end{align}\]
    Là, on en est revenu à des calculs de niveau collège (même si aucun élève de collège actuel n'oserait faire de tels calculs...) !!
  • OShine
    Modifié (October 2023)
    rakam a dit :
    J'aurais aimé voir l'ensemble de définition de $F=f_{\circ}f$ ainsi que le signe de cette fonction. Il reste à étudier sur cet ensemble le signe de $F(x)-x$ qui est aussi celui de $F(x)^2-x^2$.
    Pour l'ensemble de définition je suis ok, mais pour le reste je ne comprends pas le rapport avec l'exercice.
    L'énoncé donne une méthode et tu sembles vouloir en suivre une autre...

    On a $D_F= \{ x \in ]-\infty,2]  \ | \ 2- \sqrt{2-x} \geq 0 \} = \{ x \in ]-\infty,2]  \ | \ \ \ 2  \geq \sqrt{2-x} \} =\{ x \in ]-\infty,2]  \ | \ \ \ x \geq -2 \}$.

    Donc : $\boxed{D_F = [-2,2]}$.
  • OShine
    Modifié (October 2023)
    bisam
    Je ne comprends pas l'égalité : $$  f\left(\sqrt{\frac{5+1-2\sqrt{5}}{4}}\right)=f\left(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right)$$
  • Tu enseignes bien au collège...et tu ne leur a jamais montré ce genre de choses ?
  • bd2017
    Modifié (October 2023)
    Je ne comprends pas l'égalité : $$  f\left(\sqrt{\frac{5+1-2\sqrt{5}}{4}}\right)=f\left(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right)$$ 
       
    $5+1-2\sqrt{5}$ ça ressemble à $a^2+b^2- 2 a b.$  Mais si on ne sait pas cela  on évite de dire qu'on est très à l'aise en calcul.

     
  • Lol_a
    Modifié (October 2023)
    @mav1 Maintenant au collège la racine carrée n'est plus qu'une touche sur la calculatrice. Les identités remarquables ont été sorties du programme il y a quelques années, je ne sais pas si elles sont revenues. Bref, on aimerait pouvoir leur montrer ce genre de choses mais on n'a pas le temps et ce n'est plus du tout à leur porté (j'ai eu des secondes une fois qui paniquaient dès qu'ils voyaient une lettre et qui ne comprenait toujours pas comment résoudre 2x - 3 = 5, on a d'autres priorités).

    Etait-on vraiment obligé de faire le calcul pour montrer que $f \circ f \left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right) = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$ ? Même question pour  $f \circ f(1)$.

    J'ai un soucis avec la dernière question. Pour moi si $u_0 =  \frac{1+\sqrt{5}}{2}$ ou si $u_0 =  \frac{1-\sqrt{5}}{2}$ par exemple la suite ne converge pas.
  • Alexique
    Modifié (October 2023)
    bd2017 a dit :
    Je ne comprends pas l'égalité : $$  f\left(\sqrt{\frac{5+1-2\sqrt{5}}{4}}\right)=f\left(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right)$$ 
       
    $5+1-2\sqrt{5}$ ça ressemble à $a^2+b^2- 2 a b.$  Mais si on ne sait pas cela  on évite de dire qu'on est très à l'aise en calcul.

    Et de toute façon, vérifier que $\sqrt{5+1-2\sqrt{5}} =\sqrt{5}-1$, ça nécessite de savoir élever au carré et développer. Donc pas d'excuse pour Oshine.
  • bd2017
    Modifié (October 2023)
    Lol_a a dit :

    J'ai un soucis avec la dernière question. Pour moi si $u_0 =  \frac{1+\sqrt{5}}{2}$ ou si $u_0 =  \frac{1-\sqrt{5}}{2}$ par exemple la suite ne converge pas.
    La suite converge quelque soit $u_0\in[-2,2]$ pour la simple raison qu'a partir du rang  $n=1$ on a $u_n\in I=[0,\sqrt{2}]$     et  $\sup_{x\in I} |f'x)|=   \dfrac{1}{2 \sqrt{2-\sqrt{2}}} <1$ 
    La convergence ayant lieu vers l'unique point fixe $l=1$ de $f$
    Tu as dû faire une erreur de raisonnement.
    Remarque.  L'étude des points fixes de $f\circ f$ ne sert pas pour la convergence. Pour moi, l'exercice est mal fagoté.
     
  • Effectivement, on voit assez bien le point attracteur dès lors qu'on fait un petit dessin. C'est manifestement un énoncé un peu (trop) calculatoire au sein d'une feuille d'exercices pré-inégalité des accroissements finis.
  • Lol_a
    Modifié (October 2023)
    Manifestement oui, surtout que j'utilise effectivement l'étude des points fixes de $f\circ f$. Si $u_0 =\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ (on a bien $u_0\in[-2,2]$) alors $u_2= f\circ f ( u_0) = u_0$ puisque $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ est une point fixe de $f\circ f$, non ?
    Par récurrence, on montrerait alors que pour tout entier $k \geq 0$ on a $u_{2k} = u_0$ et qu'on a, par ailleurs, pour tout entier $k \geq 0$ $u_{2k +1} = f(u_{2k}) =f (u_0) \neq u_0$ car $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ n'est pas un point fixe de f. Où est l'erreur ?

    Edit : Je viens de faire le calcul avec une calculatrice et je n'ai pas $f\circ f ( \frac{1+\sqrt{5}}{2}) = \frac{1+\sqrt{5}}{2} $.
  • OShine
    Modifié (October 2023)
    @Lol_a tu vas trop vite et tu écris des choses fausses, cet exercice demande de prendre le temps de faire les calculs. 
    Sur Géogebra on voit bien que $f \circ f$ n'a qu'un point fixe $1$.

    @bd2017
    @Alexique
    @bisam
    Merci j'ai compris.

    La méthode de @bisam est brillante !
    De même : 
    $f \circ f( \dfrac{1- \sqrt{5}}{2} ) =f( \sqrt{ \dfrac{3+ \sqrt{5}}{2}} )=\sqrt{ \dfrac{ \sqrt{5}-1}{2} } \\
    =\sqrt{ \dfrac{ 2\sqrt{5}-2}{4} } > \sqrt{ \dfrac{6 -2 \sqrt{5}}{4}  } =\dfrac{1- \sqrt{5}}{2}$

    Donc $\boxed{f \circ f( \dfrac{1- \sqrt{5}}{2} ) \ne \dfrac{1- \sqrt{5}}{2}}$.
    L'unique point fixe de $f \circ f$ est $1$.

    @JLapin
    C'est une feuille d'exercices sur les suites...
  • bd2017
    Modifié (October 2023)
    Lol_a a dit :
    puisque $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ est une point fixe de $f\circ f$, non ?
    Non  pas du tout. D'ailleurs c'est montré ci-dessus par @Bisam
     
  • @OShine Et c'est toi qui dit ça ? Balaye un peu devant ta porte, retourne bosser les notions du collège et ne me cite plus jamais à l'avenir, merci.

    @bd2017 Merci, c'est l'info que j'avais zappé.
  • OShine
    Modifié (October 2023)
    C'est moi qui a ouvert le fil. Mais je ne lirai plus tes messages à l'avenir, ça évitera de faire fermer ce fil pour rien. 

  • bd2017
    Modifié (October 2023)
    OShine a dit : 
    La méthode de @bisam est brillante !
    De même : 
    $f \circ f( \dfrac{1- \sqrt{5}}{2} ) =f( \sqrt{ \dfrac{3+ \sqrt{5}}{2}} )=\sqrt{ \dfrac{ \sqrt{5}-1}{2} } \\
    =\sqrt{ \dfrac{ 2\sqrt{5}-2}{4} } > \sqrt{ \dfrac{6 -2 \sqrt{5}}{4}  } =\dfrac{1- \sqrt{5}}{2}$
    Par contre la méthode que tu viens d'utiliser brille comme une nuit sans lune. 
    On voit mal  à quoi sert ton calcul , qui de plus est faux. En effet $1- \dfrac{\sqrt{5}}{2}<0$  et  $f$  est à valeurs positives,  donc  $1- \dfrac{\sqrt{5}}{2}$  et $f(f(1- \dfrac{\sqrt{5}}{2})$ sont évidemment différents. 

    Il te reste donc  à appliquer tes conseils !  
    OShine a dit :
    @Lol_a tu vas trop vite et tu écris des choses fausses, cet exercice demande de prendre le temps de faire les calculs. 
     
  • OShine
    Modifié (October 2023)
    @bd2017 bien vu, étrange cet exercice dont la dernière question n'utilise pas tout ce qui a été fait avant.

    Soit $u_0 \in [-2,2]$. 
    On a $\forall n \geq 2 \ u_n \in I=[0,\sqrt{2}]$.
    Puis $\boxed{M=\max_{t \in I} |f'(t)|= \dfrac{1}{2 \sqrt{2-\sqrt{2}}}}$.
    Montrons que $M<1$.
    On a $M<1 \iff \sqrt{2-\sqrt{2}}> \dfrac{1}{2} \iff 2- \sqrt{2} > \dfrac{1}{4} \iff (1- \dfrac{\sqrt{5}}{2})^2+ \dfrac{1}{2} > \dfrac{1}{4} \iff  (1- \dfrac{\sqrt{5}}{2})^2>0$.
    Donc $\boxed{M<1}$.
    L'application $f : t \mapsto \sqrt{2-t}$ est une fonction continue sur $I$ et dérivable sur $I$. D'après l'inégalité des accroissements finis, $f$ est M-lipschitzienne et donc : $\forall n \geq 2 \ | f(u_n) -f(1) | \leq M | u_n -1|$.
    : $\forall n \geq 2 \ | u_{n+1}-1| \leq M | u_n -1|$
    Montrons par récurrence que $\forall n \geq 2 \ |u_n-1| \leq M^{n-2} |u_2 -1 |$.
    • Au rang $n=2$, on a $|u_2-1| \leq M^{2-2} |u_2 -1|$.
    • Supposons la propriété vraie au rang $n \geq 2$. On a $|u_{n+1}-1|=|f(u_n)-f(1)| \leq M |u_n -1| \leq M \times M^{n-2} |u_2-1| \leq M^{n-1} |u_2 -1 |$.
    La propriété est démontrée par récurrence. 
    Finalement, en utilisant le théorème d'encadrement : $\boxed{\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} u_n =1}$.

  • noobey
    Modifié (October 2023)
    Hello Oshine arrête avec les équivalences par pitié tu ne sais pas comment ça marche et tu te trompes tout le temps

    On utilise rarement des équivalences en maths.


    Quand je vois que tu écris $x > -1/4 \iff x > 0$  ça me donne des boutons.
  • bd2017
    Modifié (October 2023)
    Bonjour  @Oshine.  J'ai dû mal à comprendre ta démonstration de l'inégalité  $M<1.$  
    Que vient faire le nombre $\sqrt{5}$ dans la démonstration? 
    De plus c'est un exercice pour collégien. En tant qu'enseignant, il serait bien que tu fasses une démonstration correcte (pas d'équivalence fausse s-t-p)  avec une rédaction type, une rédaction présentable à tes élèves.
    Maintenant concernant la démonstration de la convergence.  La démonstration que tu fais c'est en fait la démonstration du théorème du point fixe  (de Banach?). C'est bien de savoir le faire mais à ton niveau, il te suffit de vérifier qu'on a les hypothèses   (dont la plus importantes est que f soit contractante).
     
  • JeanN
    Modifié (October 2023)
    OShine a dit :
    @bd2017 bien vu, étrange cet exercice dont la dernière question n'utilise pas tout ce qui a été fait avant.
    Je t'ai déjà expliqué que la feuille d'exos que tu consultes est distribuée aux élèves plusieurs mois AVANT le cours sur le théorème des accroissements finis.
  • @bd2017 c'est normal elle est fausse :(

    @noobey ok je vais éviter.

    @JeanN d'accord merci je vais essayer de traiter la dernière question avec la méthode classique des sous-suites $(u_{2n})$ et $(u_{2n+1})$.
    Je verrai ça dimanche soir, je pars en we.
  • bd2017
    Modifié (October 2023)
    @JeanN cela ne change rien à la démonstration d' @Oshine si on ne peut pas utiliser le T.A.F,  on adapte c'est tout. 
    On a $\forall x\in I, |\sqrt{2-x}-1|=\dfrac{|1-x|}{\sqrt{2-x}+1}\leq \dfrac{|1-x|}{\sqrt{2-\sqrt{2}}+1}.$ 
    Ainsi, avec $M= \dfrac{1}{\sqrt{2-\sqrt{2}}+1}<1$  on  a |$u_{n+1}-1|\leq  M|u_n-1|,\forall  n\geq 1.$
    On peut se passer  du T.A.F et de $f\circ f$  pour montrer la CV vers 1.
     
  • OShine
    Modifié (October 2023)
    @bd2017
    On a plutôt $2- \sqrt{2} > \dfrac{1}{2} \implies 2(2 - \sqrt{2} ) >1 \implies M<1$.

    J'ai trouvé une autre solution pour la dernière question, sauf erreur.
    La méthode suivante ne serait pas plus adaptée à l'énoncé ? 
    Q3) On a $f(x)=\sqrt{2-x}$. 
    Posons $\varphi(x)=f \circ f(x)$ définie sur $[-2,2]$. Donc $u_{2n+2}=\varphi(u_{2n})$ et $u_{2n+3}=\varphi(u_{2n+1})$.
    On a montré que $\varphi$ possède un unique point fixe $1$.
    $\varphi$ est strictement croissante sur $[-2,2]$, elle établit une bijection de $[-2,2]$ sur $[0,\sqrt{2}]$.
    $I=[0,\sqrt{2}]$ est un intervalle stable par $\varphi$.
    Comme $\varphi$ est croissante, donc $(u_{2n})$ et $(u_{2n+1})$ sont monotones, mais elles sont bornées donc convergentes d'après le théorème de la limite monotone. 
    Supposons $u_{2n} \longrightarrow \ell_1 $ et $u_{2n+1} \longrightarrow \ell_2$ .
    $\varphi$ est continue sur $I$ comme composée de fonctions continues.
    $\varphi$ possédant un unique point fixe, on en déduit $\ell_1=\ell_2=1$.
    Donc la suite $(u_n)$ converge vers $1$.
  • Tu pourrais aussi bien écrire : $36>25 \implies \sqrt{5} < \pi $
    C'est tout aussi vrai (ou tout aussi faux) que ce que tu écris dans ta 1ère ligne.
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
  • bd2017
    Modifié (October 2023)
    @Oshine je comprends rien à ta remarque  (première ligne).
    D'autre part, utiliser $f\circ f$ pour démontrer que la suite $(u_n)$ converge vers $1$ complique la démonstration.  Mais dans ce cas, il faut  préciser un peu mieux ta démonstration. En particulier, d'après moi, je trouve que l'affirmation  $(u_{2n} )$ est monotone n'est pas justifiée ou justifiée trop rapidement . 
     
  • Je démontre que $M<1$.
    Si $u_{n+1} =f(u_n)$ avec $f$ croissante alors $(u_n)$ est monotone.  C'est un résultat de cours qui se démontre en 2 lignes.
    Ici $u_{2(n+1)}=f \circ f (u_n)$ et $f \circ f$  croissante comme composée de deux applications décroissantes. 
  • Regarde les cours et/ou les corrigés que tu as sous la main.
    Regarde comment les symboles $\implies$ sont utilisés.

    Est-ce que tu trouves des endroits où on a ce symbole, avec de part et d'autre uniquement des nombres 'fixes'.

    Quand on a une inconnue, ou un paramètre, ok, ça fait sens $2 a>1 \implies a> \frac 12$  ; $a$ est une inconnue, on cherche des infos sur $a$ ... tout va bien.

    Mais $2 \times \pi > 1 \implies \pi > \frac 12$ ... il n'y a que toi qui écris des trucs comme ça. Tu ne trouveras rien de ce genre dans aucun bouquin.

    En tout cas pas dans les bouquins que je lisais quand j'étais étudiant.
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
  • bd2017
    Modifié (October 2023)
    Ok, je viens de comprendre.  Tu veux justifier que $M= \dfrac{1}{2 \sqrt{2-\sqrt{2}}}<1$  
    Concernant la monotonie de $(u_{2n})$ je suis d'accord.  J'avais un doute.... 
     
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