Suite définie par récurrence avec fonction logarithme

OShine
Modifié (October 2023) dans Analyse
Bonjour,

Je ne comprends pas comment on en déduit que $\ell=1$.
Je ne vois pas comment traiter le cas $u_0 \in ]0,1[$ qui n'est pas traité dans cet exercice.

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Réponses

  • Prends $u_0=1/e$ et essaye de calculer $u_2$ juste pour voir.
  • Pour $u_0=\dfrac{1}{e}$ je trouve $u_1=0$ puis $u_2$ n'est pas défini....

    On a $f( ]0,1])=]-\infty,1]$. Mais comment on est sûr qu'il n'y a aucun intervalle stable dans $]0,1]$ ? 

    Pour la limite, $(u_n)$ est minorée par $1$ donc $\forall n \in \mathbf{N} \ u_n \geq 1$ donc par passage à la limite $\ell \geq 1$.
    Mais je ne vois pas comment ils en déduisent que $\ell=1$.

  • C'est précisé à la fin de la correction pour $\ell=1$.
  • OShine
    Modifié (September 2023)
    Oui j'ai vu mais je ne vois pas. 
    Je ne comprends pas comment on passe de $\forall x >1 \ f(x) < x$ à $\ell=1$.


  • @OShine : le réel $l$ ne vérifie t-il pas $f(l)=l$ ? Par ailleurs, n'a-t-on pas $x\ne1\Rightarrow{}f(x)\ne{}x$ ? Comment conclure ?
    Le chat ouvrit les yeux, le soleil y entra. Le chat ferma les yeux, le soleil y resta. Voilà pourquoi le soir, quand le chat se réveille, j'aperçois dans le noir deux morceaux de soleil. (Maurice Carême).
  • @Thierry Poma
    Merci tu m'as débloqué.
    Par contraposée, on a $f(x)=x \implies x \leq 1$.
    Donc $f(\ell)=\ell \implies \ell \leq 1$. Donc $1 \leq \ell \leq 1$.
    Finalement $\ell=1$.
  • @Oshine : Tu n'as pas besoin de démontrer qu'il n'y a pas d'intervalle stable pour étudier ce qui se passe si $u_0\in\left]0,1\right[$.
    Tu peux te contenter de faire l'hypothèse que ta suite $u$ est bien définie et que tous ses termes restent dans cet intervalle.
    Tu en déduis avec le signe de $f(x)-x$ que la suite est décroissante, et puisque tu as fait l'hypothèse qu'elle est minorée par $0$, elle converge vers une limite $\ell \leq u_0< 1$
    Enfin, sa limite est un point fixe de $f$ puisque $f$ est continue donc elle converge vers $1$, ce qui est absurde !

    Par conséquent, ton hypothèse est fausse : dans tous les cas, si $u_0<1$, la suite n'est pas bien définie.
  • Bonjour @bisam .
    Merci je ne savais pas que ce raisonnement était possible. 

  • rakam
    Modifié (October 2023)
    C'est non seulement possible mais recommandé.
  • Héhéhé
    Modifié (October 2023)
    C'est quand même assez mal rédigée cette correction de la question 4. Pour pouvoir passer à la limite et obtenir $\ell = f(\ell)$, il faut a priori s'assurer d'une part que $\ell > 0$ (ce qui n'est pas dit dans la correction à ce stade) pour pouvoir parler de $f(\ell)$ et d'autre part invoquer la continuité de la fonction $f$ en $\ell$ pour justifier le passage à la limite.

    Un étudiant m'écrit cela, je ne mets pas tous les points.
  • OShine
    Modifié (October 2023)
    @rakam
    Ok ça marche.
    La correction de Q4 est maladroite. 
    On peut faire plus rapidement en utilisant l'unicité de la limite et l'égalité $f(\ell)=\ell$.

    @Héhéhé
    En effet, j'ai ce théorème voir dunod tout en un mpsi : 
    Théorème : 
    Soit $f : I \longrightarrow I$ une fonction et $(u_n)$ une suite vérifiant $u_0 \in I$ et pour tout entier naturel $n$, la relation $u_{n+1}=f(u_n)$. Si : 
    • la suite $(u_n)$ est convergente,
    • sa limite $\ell$ appartient à $I$,
    • la fonction $f$ est continue en $\ell$, 
    Alors $\ell$ est un point fixe de $f$, ie $f(\ell)=\ell$.

  • mav1
    Modifié (October 2023)
    Bonjour,
    Et ça, c'était un théorème qu'on voyait et appliquait à tout va en terminale (tu as du le voir à ton époque en tout cas)
  • Hum je suis assez contre ces théorèmes "boites à outil" qui ne sont en fait qu'utiliser à la suite des "vrais" théorèmes. Ca va aussi vite de rédiger la démonstration que d'écrire le théorème et de vérifier les hypothèses !

    Ca me rappelle le fameux "théorème" d'intégration par parties généralisée (pour les intégrales généralisées) qui est un simple passage à la limite sur une IPP sur un segment dont l'application est plus longue à écrire que de refaire le passage à la limite directement...

    Surcharge cognitive inutile pour les étudiants !
  • rakam
    Modifié (October 2023)
    OShine Concernant le "théorème du dunod" : tu ne peux pas l'appliquer puisque tu ne sais pas que $\ell\in I$ (ton $I$ n'est pas fermé et la limite d'une suite de $I$ peut être un point adhérent qui n'est pas dans $I$).
    Héhéhé avait donc raison de souligner que la solution n'était pas correcte.
    Je suggère à OShine de finir correctement la preuve.
  • OShine
    Modifié (October 2023)
    @rakam oui je refais l'exo moi-même pas besoin de ce corrigé. Ici je prends $I=[1,+\infty[$.

    Soit $u_0 \geq 1$.
    Posons $f(x)=1+ \ln x$. $f$ établit une bijection strictement croissante de $]0,+\infty[$ sur $\R$.
    $\forall x \in ]0,+\infty[$ on a $f(x) \leq x$.
    On a $f([1,+\infty[) =[1,+\infty[$ donc l'intervalle $[1,+\infty[$ est stable par $f$.
    On a $f$ strictement croissante et $u_1 \leq u_0$ donc la suite $(u_n)$ est décroissante et minorée par $1$, donc elle converge.
    De plus, on a $\ell \geq 1$.
    $f$ est continue sur $[1,+\infty[$, par caractérisation séquentielle de la limite :
    $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} u_{n+1}=\ell= f(\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} u_n)=f(\ell)$.
    On a montré que $f(\ell)=\ell$.
    Or $f(1)=1$ et par unicité de la limite, $\ell=1$.

    Est-ce correct ? 
  • bd2017
    Modifié (October 2023)
    Non ce n'est pas correct.  La fin  est triste. Il serait temps de te mettre à raisonner.
     
  • Je ne comprends pas trop la remarque de @rakam car $[1,+\infty[$ est un fermé.

    J'ai démontré que $f(\ell)=\ell$ mais je pense que mon erreur est de conclure que $\ell=1$. Je ne sais pas résoudre $f(x)=1+\ln(x)=x$. 

  • JavierT
    Modifié (October 2023)
    OShine a dit :
    Je ne sais pas résoudre $f(x)=1+\ln(x)=x$. 
    Oulala, ceci est très compliqué c'est vrai. Il faut au moins être en Terminale Spé maths. Comme te le dit Thierry, occupe toi donc de tes collégiens que de faire ceci. Ce sera nettement plus profitable pour eux, non ?
  • OShine
    Modifié (October 2023)
    En effet, ce n'était pas bien dur.
    Posons $\varphi(x)=1+ \ln x -x$ définie sur $]0,+\infty[$ et continue sur ce même intervalle.
    Montrons que l'équation $\varphi(x)=0$ possède une unique solution.
    On a $\varphi'(x)=\dfrac{1}{x}-1=\dfrac{1-x}{x}$.
    Un tableau de variation donne que $\varphi$ possède un maximum en $1$ qui vaut $\varphi(1)=0$. 
    De plus $\varphi$ est strictement croissante sur $]0,1]$ et strictement décroissante sur $[1,+\infty[$.
    L'équation $\varphi(x)=0$ possède une unique solution $x=1$, d'où le résultat.

  • Il me semblait clair que ma remarque concernait l'étude de $I=]0,1]$ non stable par $f$ et je ne vois toujours pas de réponse correcte.
  • Plutôt $I=]0,1[$ non ? Il me semble que @bisam a déjà donné une solution. Que faire de plus ?

    L'exercice et son corrigé ne considéraient que le cas $u_0 \geq 1$.... C'est moi qui ai posé la question du cas $u_0 \in ]0,1[$...

  • Tu devrais lire les réponses.
    Héhéhé a déjà signalé que la réponse de bisam était incomplète et tu t'es contenté de dire "Je savais pas que la démonstration par l'absurde tait possible".+
    J'insiste pour avoir une vraie démonstration !
  • @rakam
    Héhéhé parlait de la correction du livre et pas celle de Bisam, je ne comprends pas quelle démonstration tu attends...
    Quelle est la question ? 
  • Cesse de tourner en rond !
    Je veux une démonstration (plus complète que celle de bisam) du fait qu'il n'y a pas de partie stable dans $]01[$.
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