Suites définies par récurrence

OShine
Modifié (October 2023) dans Analyse
Bonsoir

Un exercice dont je ne dispose pas de corrigé. J'aimerais savoir si ce que j'ai fait est correct afin de passer aux 2 suivants.

1) Etudier la suite récurrente définie par $u_{n+1}= \sqrt{2 u_n +3 }$ en fonction de $u_0$.
2) Etudier la suite récurrente définie par $u_{n+1}= 1+\dfrac{u_n ^2}{4}$ en fonction de $u_0$.
3) Etudier la suite récurrente définie par $u_{n+1}= \dfrac{u_n ^2+ u_n}{2}$ en fonction de $u_0$.

J'ai fait un dessin, il semble que c'est en $3$ qu'on doit faire une disjonction de cas.
Posons $f(x)=\sqrt{2 x +3}$. On a $D_f= [- \dfrac{3}{2},+ \infty[$.
Un intervalle stable est $[3,+\infty[$.
Donc $u_0 \in [- \dfrac{3}{2},+\infty[$.
$f$ établit une bijection strictement croissante de $ [- \dfrac{3}{2},+ \infty[$ sur $[0,+\infty[$.
L'unique point fixe de $f$ est $x=3$.
On remarque que $\forall x \in [- \dfrac{3}{2},3] \ f(x) \geq x$ et $\forall x \geq 3 \ \ f(x) \leq x$.
Premier cas : 
$u_0 \in  [- \dfrac{3}{2},3]$ alors $u_1 \in [0,3]$ et $u_1 \geq u_0$ donc $(u_n)$ est strictement croissante. . On montre par récurrence que $\forall n \in \N \  u_n \leq 3$.
Comme $(u_n)$ est croissante et majorée, elle converge vers $\ell$. Finalement $\ell=3$.
Deuxième cas : 
$u_0 \in  [3,+ \infty[ $ alors $u_1 \in [3,+\infty[$ et $u_1 \leq u_0$ donc $(u_n)$ est strictement décroissante.
Comme $(u_n)$ est décroissante et minorée par $3$, elle converge vers $\ell$. Finalement $\ell=3$.

PS : coquille corrigée suite aux commentaires reçus. 

Réponses

  • Bonsoir
    Non ce n'est pas correct.
    ’’Auparavant le monde était dirigé par des intelligents. C’était cruel. Les intelligents forçaient les imbéciles à apprendre. C’était difficile pour les imbéciles. Aujourd'hui le monde est dirigé par des imbéciles. C’est juste, car les imbéciles sont beaucoup plus nombreux. Aujourd'hui les intelligents apprennent à s’exprimer afin que les imbéciles puissent comprendre. Si un imbécile ne comprend pas c’est un problème d’intelligents. Auparavant souffraient les imbéciles. Aujourd'hui souffrent les intelligents. La souffrance diminue car les intelligents sont de moins en moins nombreux.’’
    Mikhaïl Jvanetski.

  • Sur Geogebra  la limite est bien $3$ même en faisant varier $u_0$ dans $\R$, où se situe l'erreur ? 
    https://www.geogebra.org/m/tfpHzxSx
  • Franchement tu pourrais faire l’effort de te relire.
    ’’Auparavant le monde était dirigé par des intelligents. C’était cruel. Les intelligents forçaient les imbéciles à apprendre. C’était difficile pour les imbéciles. Aujourd'hui le monde est dirigé par des imbéciles. C’est juste, car les imbéciles sont beaucoup plus nombreux. Aujourd'hui les intelligents apprennent à s’exprimer afin que les imbéciles puissent comprendre. Si un imbécile ne comprend pas c’est un problème d’intelligents. Auparavant souffraient les imbéciles. Aujourd'hui souffrent les intelligents. La souffrance diminue car les intelligents sont de moins en moins nombreux.’’
    Mikhaïl Jvanetski.

  • Pour la 2 je n'ai pas réussi.
    Je pose $f(x)=1+\dfrac{x^2}{4}$. Soit $u_0 \in \R$.
    $D_f= \R$.
    $f$ est strictement décroissante sur $]-\infty,0]$ et strictement croissante sur $[0,+\infty[$.
    L'unique point fixe de $f$ est $x=2$.
    $\forall x \in \R \ f(x) \leq x$. 
    Je ne vois pas comment trouver le sous-espace stable judicieux.
    Sur geogebra j'ai vu que le comportement dépendait de $u_0$ mais je ne vois pas comment résoudre l'exercice à cause du $u_0$ qui est variable.
  • biely a dit :
    Franchement tu pourrais faire l’effort de te relire.
    J'ai corrigé 2 coquilles en relisant. Mais cette première question m'a pris du temps j'ai longtemps cherché avant de poster ma réponse.
  • Toute suite est récurrente.
    Vive la France
  • Oshine
    Il en reste et pour la 2) ce n’est pas mieux.
    ’’Auparavant le monde était dirigé par des intelligents. C’était cruel. Les intelligents forçaient les imbéciles à apprendre. C’était difficile pour les imbéciles. Aujourd'hui le monde est dirigé par des imbéciles. C’est juste, car les imbéciles sont beaucoup plus nombreux. Aujourd'hui les intelligents apprennent à s’exprimer afin que les imbéciles puissent comprendre. Si un imbécile ne comprend pas c’est un problème d’intelligents. Auparavant souffraient les imbéciles. Aujourd'hui souffrent les intelligents. La souffrance diminue car les intelligents sont de moins en moins nombreux.’’
    Mikhaïl Jvanetski.

  • Bonjour,
    J'ai une question : comment trouver un intervalle sur lequel f est stable ? (où f est telle que $u_{n+1} = f(u_n)$ ?

  • Bonjour
    bizarres ces "démonstrations" qui ressemblent à une succession de symboles, mais comme manifestement cela n'est pas démontré, ben c'est faux. 
    Dès le collège, on dit, on n'affirme pas, on démontre... 
  • Même en lisant très rapidement on remarque de suite des incohérences du style ’’comme la suite est décroissante et minorée par 3 elle converge vers L. Finalement L=1" ou encore son inégalité dans le mauvais sens du 2).
    ’’Auparavant le monde était dirigé par des intelligents. C’était cruel. Les intelligents forçaient les imbéciles à apprendre. C’était difficile pour les imbéciles. Aujourd'hui le monde est dirigé par des imbéciles. C’est juste, car les imbéciles sont beaucoup plus nombreux. Aujourd'hui les intelligents apprennent à s’exprimer afin que les imbéciles puissent comprendre. Si un imbécile ne comprend pas c’est un problème d’intelligents. Auparavant souffraient les imbéciles. Aujourd'hui souffrent les intelligents. La souffrance diminue car les intelligents sont de moins en moins nombreux.’’
    Mikhaïl Jvanetski.

  • Lol_a
    Modifié (October 2023)
    Je tente ma chance pour le 2). Il y a surement plus simple.
    Pour tout entier positif n on a $u_{n+1} - u_n = \frac{1}{4} (u_n - 2)^2$
    $u_{n+1} - u_n = \frac{1}{4} (u_n - 2)^2$
    Pour $u_0 = 2$, la suite est constante et égale à 2.
    Étudions le cas $u_0 \neq 2$.
    On a pour tout entier positif n, $u_n \neq 2$ et $u_{n+1} - {u_n} > 0$, c'est-à-dire que $u$ est strictement croissante.
    Par ailleurs,
    $f(u_{n+1}) - f(u_n) = \frac{1}{4} (u_{n+1} - 2)^2 $
    $= \frac{1}{4} (1+  \frac{ u_n^2 }{4}- 2)^2 $
    $=  \frac{1}{4} ( \frac{ u_n^2 }{4} - 1)^2$
    $=  \frac{1}{64} (  u_n^2 - 4)^2$
    $=  \frac{1}{64} (( u_n- 2)(u_n+2))²$
    Ainsi,
    $\frac{f(u_{n+1}) - f(u_n)}{u_{n+1} - u_n} =  \frac{1}{16} \frac{(( u_n- 2)(u_n+2))²}{ (u_n - 2)^2}$
    $=  \frac{1}{16} (u_n + 2)^2$
    On en déduit que $| \frac{f(u_{n+1}) - f(u_n)}{u_{n+1} - u_n}| > 1 \Leftrightarrow -6 < u_n $ ou  $u_n> 2$.
    Dans le cas où $u_0> 2$ et comme $u$ est strictement croissante, on en déduit via une récurrence qu'il existe un réel q >1 tel que pour tout entier positif n $u_{n+1} - u{n} > q^n (u_1 - u_0)$. Ainsi $\lim u = +\infty$.
    Pour le cas $u_0 <2$ je bloque. Visiblement, on peut conjecturer qu'il existe un réel $a < 2$ tel que pour tout $a < u_0 < 2$ u converge et pour tout $u_0 < a$ u diverge mais je n'arrive pas à voir comment trouver ce a et je n'ai donc aucune idée de ce qu'il se passe quand $u_0 = a$.
  • Si u(0)<-2 alors u(1)>2 et si -2<u(0)<2 la suite converge vers 2. 
    ’’Auparavant le monde était dirigé par des intelligents. C’était cruel. Les intelligents forçaient les imbéciles à apprendre. C’était difficile pour les imbéciles. Aujourd'hui le monde est dirigé par des imbéciles. C’est juste, car les imbéciles sont beaucoup plus nombreux. Aujourd'hui les intelligents apprennent à s’exprimer afin que les imbéciles puissent comprendre. Si un imbécile ne comprend pas c’est un problème d’intelligents. Auparavant souffraient les imbéciles. Aujourd'hui souffrent les intelligents. La souffrance diminue car les intelligents sont de moins en moins nombreux.’’
    Mikhaïl Jvanetski.

  • Pour la 2), on montre que $u$ croît vers $2$ si $|u_0|\leq 2$ et croît vers $+\infty$ si $|u_0|>2$.
  • Lol_a
    Modifié (October 2023)
    Merci. 
    Pour la première partie on pouvait effectivement chercher pour quels valeurs de $u_n$ on a $u_{n+1} > 2$. Petite question toutefois : qui dit qu'on n'aurait pas pu avoir (éventuellement avec une autre suite) une valeur de $u_0$ telle qu'il faille itérer plusieurs fois avant de trouver un $u_n$ qui nous conviennent ?  
    J'ai le même souci pour la deuxième partie. Par récurrence on montre que pour tout entier n positif : $|u_0| < 2 \Rightarrow u_n < 2$ donc la suite qui est croissante et majorée par 2 donc converge mais ça me soucie qu'on n'ait pas l'inégalité $u_n > -2$.
    Je réfléchis à voix haute.
    J'ai l'impression d'avoir tout dit : u est strictement croissante donc si $u_0 > -2$ nécessairement $u_n > -2$ et le simple fait de résoudre l'équation $u_{n+1} > 2$ me semble suffire pour chacune des deux parties mais je ne dois pas être au top de ma forme car j'ai du mal à me convaincre à 100%.
    Je me pose toujours la question : dans le cas général, comment trouver un intervalle sur lequel $f$ est stable ?
  • JLT
    JLT
    Modifié (October 2023)
    Quitte à remplacer $u_0$ par $|u_0|$ on peut supposer que $u_0\geqslant 0$. Il est évident que $\R^+$ est stable. De plus sur cet intervalle, $f$ est croissante, donc la suite $(u_n)$ est monotone. Soit elle converge vers un point fixe de $f$, soit elle diverge vers $\infty$.
    On calcule que l'unique point fixe de $f$ est $2$.
    Si $0\leqslant u_0\leqslant 2$ alors par croissance de $f$ on montre par récurrence immédiate que $u_n\leqslant 2$ donc la suite converge vers $2$.
    Si $u_0>2$ on a $f(u_0)-f(2)>u_0-2$ car $f'>1$ sur $]1,u_0[$ donc $u_1>u_0$. Par conséquent la suite est croissante et tend nécessairement vers l'infini.
  • Pour la 3), $u$ est stationnaire pour $u_0\in\{-2,-1,0,1\}$.
    Si $u_0<-2$ ou $u_0>1$, $u$ croit vers $+\infty$.
    Si $-2<u_0<-1$ ou $0<u_0<1$, $u$ décroit vers $0$.
    Si $-1<u_0<0$, $u$ croit vers $0$.
  • Lol_a
    Modifié (October 2023)
    Je n'ai rien compris.
    Je cherche toujours une méthode pour résoudre ce type d'exercice.
    Pourquoi u serait stationnaire pour $u_0 = -2$ et $u_0 = -1$ ?

    Pour l'instant, j'ai fait ça :
    Soit f la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par pour tout $x \in \mathbb{R}$, $f(x) = \frac{x² + x}{2}$.
    $f$ admet 2 points fixes qui sont $0$ et $1$.
    $f$ est strictement décroissante sur $]- \infty; - \frac{1}{2}]$ et strictement croissante sur $[- \frac{1}{2}; + \infty[$.

    • Pour $u_0 = 0$ ou $u_0 = 1$ la suite est constante.
    • Pour $u_0>1$, u est positive et croissante donc tend vers $+\infty$ (sinon elle devrait converger vers 0 ou 1 d'où une contradiction).
    • Pour $ 0 < u_0 < 1$, comme $f([0;1]) = [0,1]$ la suite est croissante et majorée donc converge vers 1 (0 impossible parce qu'elle est croissante.
    Je galère sur les autres cas. Je ne sais pas s'il faut se placer sur  $]- \infty; 0]$ directement ou s'il faut considérer les cas -0.5 (valeur ou f change de sens de variation) et/ou -1 (valeur en laquelle $f(x) - x $ s'annule en changeant de signe).
  • gai requin
    Modifié (October 2023)
    Si $u_0=-2$, alors $u_n=1$ pour tout $n\geq 1$.
    Si $u_0=-1$, alors $u_n=0$ pour tout $n\geq 1$.
    D'où la disjonction de cas que j’ai faite où il suffit dans chaque cas d’étudier la monotonie de $u$ pour conclure.
  • Si je reprends la méthode tout à l'heure, je résous les inéquations $u_{n+1} < 0$ et $u_{n+1} < 1$. Je trouve $u_n \in ]-1;0[$ pour la première et $u_n \in ]-2;1[$ pour la deuxième. Ce qui semble indiquer qu'effectivement $-1$ et $-2$ vont être des valeurs "charnières".


    Pour tout $u_0  < -2$, $f$ est décroissante donc $u_1 > f(-2)$ c'est-à-dire $u_1 > 1$ donc on se retrouve dans le cas où u diverge vers $+\infty$.
    Pour tout $-2< u_0  < -1$, on a $ 0 < u_1 < 1$ et la suite converge vers 0.


    Pour résumer :
    • Si $u_0=0$ ou $u_0=1$ la suite est constante.
    • Si $u_0 < -2$ ou $u_0 > 1$ la suite tend vers $+\infty$.
    • Si $-2< u_0  < -1$ alors la suite converge vers 0.
    • Si $0< u_0  < 1$ alors la suite converge vers 1.
    Reste le cas où $-1 < u_0 < 0$..
  • Lol_a
    Modifié (October 2023)
    Merci @gai requin je comprends mieux. Ca marche parce que f(-2) = 1 et f(-1) = 0.
    Entre -1 et 0, u est décroissante et on a pour tout entier $n> 1$, $\ 0 < u_n < 1$ et on en déduit que $u$ converge vers $0$.

    Je me rends compte que j'ai écrit pour le cas  $0 < u_0 < 1$ est faux. $f(x) -x <0$ dans cet intervalle donc effectivement $u$ est bien décroissante dans ce cas là et on a bien si $-1<u_0<1$ (si $-1<u_0<0$ ou $0 <u_0<1$ ) alors la suite est décroissante donc converge vers $0$.
  • $f(x)\geqslant -\frac{1}{8}>-\frac{1}{2}$ donc $(u_n)$ est monotone à partir de $n=1$. Il suffit de connaître le signe de $u_2-u_1=u_1(u_1-1)/2$ pour connaître le sens de variation de $f$.
  • Ton dernier point est faux.
  • OShine
    Modifié (October 2023)
    J'ai rectifié mon 1).

    1) $f(x)=\sqrt{2x+3}$ définie sur $[\dfrac{-3}{2},+\infty[$. $f$ est continue.
    On a $f'(x)=(2x+3)^{-1/2} \geq 0$.
    $\forall x \in [-\dfrac{3}{2},3] \ f(x) \geq x$ et $\forall x \geq 3 \ f(x) \leq x$.
    On a $f(x)= x \iff x=3$. $3$ est l'unique point fixe.
    Premier cas : $u_0 \in  [-\dfrac{3}{2},3]$
    On a donc $u_1 \geq u_0$. Comme $f$ est strictement croissante sur $[\dfrac{-3}{2},+\infty[$, la suite $(u_n)$ est croissante. 
    Montrons qu'elle est majorée par $3$. 
    On a $u_0 \leq 3$. Supposons $ \ u_n \leq 3$. Alors $u_{n+1}=f(u_n) \leq f(3)=3$. Le résultat est démontré par récurrence.
    La suite $(u_n)$ est croissante et majorée par $3$, elle converge.
    La limite de $(u_n)$ vérifie $f(l)=l$, l'unique point fixe étant $3$, on a $l=3$.
    Deuxième cas : $u_0 \in  [3,+\infty[$
    On a donc $u_1 \leq u_0$. Comme $f$ est strictement croissante sur $[3,+\infty[$, la suite $(u_n)$ est décroissante. 
    Montrons que $(u_n)$ est minorée par $3$.
    On a $u_0 \geq 3$. Supposons que $u_n \geq 3$. Par croissance de $f$, on obtient $u_{n+1} \geq f(3)=3$. Le résultat est démontré par récurrence.
    La suite $(u_n)$ est décroissance et minorée donc elle converge.
    La limite de $(u_n)$ vérifie $f(l)=l$, l'unique point fixe étant $3$, on a $l=3$.

    On a montré : $\boxed{\forall u_0 \in [-\dfrac{3}{2},+\infty[ \ \lim\limits_{n \rightarrow +\infty} u_n= 3}$.
  • Merci @JLT. @gai requin je viens d'éditer.
  • OShine a dit :
    On a donc $u_1 \geq u_0$. Comme $f$ est strictement croissante sur $[\dfrac{-3}{2},+\infty[$, la suite $(u_n)$ est croissante. 
    Une question: dans quel cadre tu corriges cet exercice? Dans le cadre d’un exercice pour des lycéens avec seulement les connaissances du lycée?
    ’’Auparavant le monde était dirigé par des intelligents. C’était cruel. Les intelligents forçaient les imbéciles à apprendre. C’était difficile pour les imbéciles. Aujourd'hui le monde est dirigé par des imbéciles. C’est juste, car les imbéciles sont beaucoup plus nombreux. Aujourd'hui les intelligents apprennent à s’exprimer afin que les imbéciles puissent comprendre. Si un imbécile ne comprend pas c’est un problème d’intelligents. Auparavant souffraient les imbéciles. Aujourd'hui souffrent les intelligents. La souffrance diminue car les intelligents sont de moins en moins nombreux.’’
    Mikhaïl Jvanetski.

  • OShine
    Modifié (October 2023)
    Niveau maths sup. Cet exercice est tirée d'une fiche d'exercices de MPSI. 
    C'est une propriété connue des suites récurrentes. Cela se démontre en 2 lignes par récurrence. 
    Soit $u_{n+1}=f(u_n)$ et $f$ croissante. 
    Si $u_1 \geq u_0$, alors $(u_n)$ est croissante. 
    Si $u_1 \leq u_0$ alors $(u_n)$ est décroissante.
    Si $f$ est décroissante, c'est plus compliqué. Il faut considérer $f \circ f$.

  • OShine
    Modifié (October 2023)
    2) On a $f(x)= 1+ \dfrac{x^2}{4}$ continue sur $\R$.
    On a $f'(x)=\dfrac{x}{2}$. 
    $f$ est strictement décroissante sur $]-\infty,0]$ et strictement croissante sur $[0,+\infty[$.
    L'unique point fixe est $x=2$. 
    Premier cas : $u_0 \in [-2,2]$.
    On a $u_1 \in [1,2]$ d'après le tableau de variation. Mais $[1,2]$ est stable par $f$. 
    On a $u_2-u_1=\dfrac{u_1 ^2}{4}-u_1+1 =( \dfrac{u_1}{2}-1)^2 \geq 0$.
    Donc $u_2 \geq u_1$. La suite $(u_n)$ est donc croissante à partir d'un certain rang. 
    Montrons qu'elle est majorée par $2$.
    On a $u_0 \leq 2$. Supposons $u_n \leq 2$. Alors $u_{n+1} \leq f(2)=2$.
    La suite $(u_n)$ est croissante et majorée, elle converge. Mais $l$ vérifie $f(l)=l$ donc $l=2$.
    Deuxième cas : $u_0 \in ]-\infty,-2[ \cup ]2,+ \infty[$.
    On a $u_1 \in [2,+\infty[$ qui est un intervalle stable par $f$. 
    Mais $u_2=f(u_1) \geq u_1$ et comme $f$ est strictement croissante sur $[2,+\infty[$ alors $(u_n)$ est croissante à partir d'un certain rang.
    Montrons que $(u_n)$ diverge vers plus l'infini. 
    si $u_0>2$ ou $u_0<-2$ alors $u_1>2$. Et comme $(u_n)$ est croissante, tous les termes suivants seront strictement supérieurs à $2$.
    Si $(u_n)$ converge vers $2$, alors $\forall \varepsilon>0 \ \exists n \geq n_0 \ u_n \in [2-\varepsilon,2+\varepsilon]$.
    Il suffit de choisir $0<\varepsilon<u_1-2$ pour obtenir une contradiction. 

    Finalement : $\boxed{\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} u_n = \begin{cases}  2 \ \text{si} \  \ |u_0| \leq 2   \\  +\infty \ \text{si} \  \ |u_0|>2  \end{cases}}$
  • OShine
    Modifié (October 2023)
    Le 3 me pose quelques difficultés, j'arrive à conjecturer la réponse grâce au graphique, mais le démontrer est une autre paire de manche.
    $f(x)=\dfrac{x^2+x}{4}$.
    On a $f'(x)=\dfrac{2x+1}{4}$.
    $f$ est strictement décroissante sur $]-\infty,-1/2]$ et strictement croissante sur $[-1/2,+\infty[$. Son minimum vaut $\dfrac{-1}{16}$.
    Les points fixes de $f$ sont : $0$ et $3$.
    On voit que $f(x) \geq x$ sur $]-\infty,0] \cup [3,+\infty[$ et $f(x) \leq x$ sur $[0,3]$.
    Je conjecture que $u_n \longrightarrow 0$ si $u_0 \in ]-\infty,3[$ et $u_n \longrightarrow 3$ si $u_0 \in ]3,+\infty[$.
    Premier cas : $u_0 \in  ]-\infty,3[$.
    Je bloque ici car même en regardant le tableau de variation et $u_1$ je ne vois apparaître d'intervalle stable.
  • Pour trouver les intervalles stables, il faut regarder les points fixes. Ici, on a $0$ et $3$ comme points fixes.On considère donc les intervalles $[0,3]$, $[3,+\infty[$, $]-\infty, 0]$. Pour les deux premiers, pas de problème. Pour le dernier, on sait que $f(-1) = 0$ donc l'intervalle stable est $[-1,0]$ (car $f|_{[-1,0]} \leq 0$ et $f\left(\frac{-1}{2}\right)=\frac{-1}{16}$). Et si $x \in ]-\infty, -1]$, alors $f(x) \in [0, +\infty[$.
  • OShine
    Modifié (October 2023)
    Merci @Bibix ton message m'a bien aidé. Mais je bloque sur le cas $u_0 \in [-1,0]$ car $f$ n'est pas monotone sur cet intervalle. Les autres cas j'ai réussi. 

    On a $f(|0,3])=[f(0),f(3)]=[0,3]$ donc $[0,3]$ est stable par $f$.
    On a $f([3,+\infty[)=[3,+\infty[)$ donc $[3,+\infty[$ est stable par $f$.
    Premier cas : 
    $u_0 \in ]-\infty,-1]$. Alors $u_1 \in [0,+\infty[$ donc on peut se ramener au cas $u_0 \in [0,+\infty[$.
    Deuxième cas : 
    $u_0 \in [-1,0]$.
    On sait que $\forall x \in [-1,0] \ f(x) \geq x$ donc $u_1 \geq u_0$. 
    Mais $f$ n'est pas monotone sur $[-1,0]$ comment faire ?  :/
    Troisième cas : $u_0 \in [0,3[$.
    On a $u_1 \leq u_0$, $f$ étant croissante sur $[0,3[$, la suite $(u_n)$ est décroissante. 
    Elle est majorée par $3$ donc elle converge. Sa limite $\ell$ vérifie $\ell \leq u_0$ avec $u_0<3$.
    Donc $l=0$.
    Quatrième cas : $u_0 \in ]3,+\infty[$.
    On a $u_1 \geq u_0$ et $f$ strictement croissante sur $]3,+\infty[$.
    Si $(u_n)$ converge, elle vérifie $\ell \geq u_0 > 3$ ce qui est absurde, donc $(u_n)$ croissante non bornée donc elle diverge et $\ell=+\infty$.
  • Tu peux montrer que $f(\left[-1, -\frac{1}{2}\right]) = [-\frac{1}{16},0]$.
  • lourrran
    Modifié (October 2023)
    Tu as 2 phrases qui commencent toutes les 2 par 'Comme $f$ est strictement croissante,..." et dans un cas, tu t'en sers pour conclure que la suite $(u)$ est croissante, et dans l'autre, tu t'en sers pour conclure que la suite $(u)$ est décroissante.
    Ca ressemble plus à une arnaque qu'à une démonstration.
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
  • OShine
    Modifié (October 2023)
    @lourrran
    C'est un résultat de cours que j'ai rappelé plus haut et qui se démontre en 1 ligne.
    Quand $f$ est strictement croissante, il suffit de regarder si $u_0 \leq u_1$ ou si $u_0 \geq u_1$ pour savoir la monotonie de $(u_n)$.

    @Bibix
    D'accord merci, le tableau de variation de $f$ donne $f( [-1, \dfrac{-1}{2}]=[f(\dfrac{-1}{2},f(-1)]=[-\dfrac{1}{16},0] \subset [-1/2,0]$.

    Il suffit de traiter le cas $u_0 \in [-1/2,0]$.
    On a alors $u_1 \in [-1/16,0]$. Comme $u_1 \geq u_0$ car $f(x) \geq x$ sur cet intervalle et que $f$ est décroissante sur $[-1/2,0]$, alors $(u_n)$ est strictement croissante.
    L'intervalle $[-1/2,0]$ étant stable par $f$, $(u_n)$ est majorée par $0$ donc elle converge. La seule possibilité est $l=0$.

    Elle est technique la question 3, il y a beaucoup de cas. 
  • Alors rédige proprement : Comme $f$ est strictement croissante et $u_1> u_0$ alors $(u)$ est croissante.
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
  • OShine
    Modifié (October 2023)
    Oui c'est un peu brouillon car j'étais en phase de recherche. 

    3) Finalement dans le cas où $u_{n+1}=\dfrac{u_n ^2 +u_n}{2}$ on trouve : $\boxed{\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} u_n = \begin{cases}  0 \ \text{si} \  \ u_0 \in ]-\infty,3[   \\  3 \ \text{si} \ \ \ u_0=3 \\  +\infty \ \text{si} \  \ u_0 \in ]3,+\infty[  \end{cases}}$.

    PS : coquille corrigée suite à la remarque de @gai requin.
  • Archi faux !
  • OShine
    Modifié (October 2023)
    J'ai vérifié sur geogebra en effet si $u_0 >3$, la suit ne converge pas vers $3$ mais diverge vers $+\infty$.
    Il y à ajouter le cas $x=3$ séparé des autres.
  • Ce n’est pas de l’ordre de la coquille là !
    Les résultats sont ici.
  • gai requin a dit :
    Pour la 3), $u$ est stationnaire pour $u_0\in\{-2,-1,0,1\}$.
    Si $u_0<-2$ ou $u_0>1$, $u$ croit vers $+\infty$.
    Si $-2<u_0<-1$ ou $0<u_0<1$, $u$ décroit vers $0$.
    Si $-1<u_0<0$, $u$ croit vers $0$.
    @gairequin merci. 
    J'ai fait une erreur d'étourderie.
    J'ai pris $f(x)=\dfrac{x^2+x}{4}$ au lieu de $f(x)=\dfrac{x^2+x}{2}$. 
    Je dois tout refaire ! 
    Je vais essayer de démontrer ton résultat. 
  • OShine
    Modifié (October 2023)
    J'ai réussi à m'en sortir avec ton indication @gai requin , sauf erreur.
    Posons $f(x)=\dfrac{x^2+x}{2}$.
    On a $\forall x \in \R \ f'(x)=\dfrac{2x+1}{2}$. On dresse le tableau de variation de $f$ très utile pour la suite.
    Les points fixes de $f$ sont : $0$ et $1$.
    Position de la courbe par rapport à la première bissectrice : 
    • Si $x \in ]-\infty,0]$ alors $f(x) \geq x$.
    • Si $x \in [0,1]$ alors $f(x) \leq x$.
    • Si $x \in [1,+\infty[$ alors $f(x) \geq x$.
    Premier cas : 
    $u_0 \in ]-\infty,2[ \cup ]1,+\infty[$.
    Si $u_0 \in ]-\infty,-2[$, alors $u_1 \in ]1,+\infty[$. Il suffit de traiter le cas $u_0 \in ]1,+\infty[$.
    On a $u_1 \geq u_0$ et $f$ strictement croissante sur $]1,+\infty[$ donc $(u_n)$ est croissante et $\forall n \in \N \ u_n \geq u_0 >1$.
    Toute suite croissante bornée est convergente. 
    Or $(u_n)$ ne peut être convergente parce que $u_0 >1$ et $0,1$ sont les seules limites possibles. 
    $\boxed{\forall u_0 \in  ]-\infty,-2[ \cup ]1,+\infty[ \ (u_n) \ \text{est croissante et} \ \lim\limits_{n \rightarrow +\infty} u_n=+ \infty}$.

    Deuxième cas : 
    $u_0 \in ]-2,-1[ \cup ]0,1[$.
    Si $u_0 \in ]-2,-1[$, alors $u_1 \in ]0,1[$. Il suffit de traiter le cas $u_0 \in ]0,1[$ avec $]0,1[$ stable par $f$. 
    On a $u_1 \leq u_0$ et $f$ strictement croissante sur $]0,1[$ donc $(u_n)$ est croissante et $(u_n)$ est bornée. 
    Donc $(u_n)$ converge et comme $\forall n \in \N \ u_n \leq u_0 < 1$ alors : 
    $\boxed{\forall u_0 \in  ]-2,-1[ \cup ]0,1[ \ (u_n) \ \text{est décroissante et} \ \lim\limits_{n \rightarrow +\infty} u_n=0}$.

    Troisième cas : 
    $u_0 \in ]-1,0[$. Si $u_0 \in ]-1,\dfrac{-1}{2}[$, alors $u_1 \in ]-\dfrac{1}{8},0[ \subset ]-\dfrac{1}{2},0[$. Il suffit de traiter le cas $]-\dfrac{1}{2},0[$ qui est stable par $f$. 
    On a $u_1 \leq u_0$ et $f$ strictement croissante sur $]0,1[$ donc $(u_n)$ est croissante et $(u_n)$ est bornée. 
    Donc $(u_n)$ converge et comme $\forall n \in \N \ -\dfrac{1}{2} < u_n < 0$ alors : 
    $\boxed{\forall u_0 \in  ]-1,0[   \ (u_n) \ \text{est croissante et} \ \lim\limits_{n \rightarrow +\infty} u_n=0}$.

    Quatrième cas : 
    $u_0 \in \{-2,-1,0,1 \}$. 
    • Si $u_0=0$ alors $\forall n \in \N \ u_n=0$.
    • Si $u_0=1$ alors $\forall n \in \N \ u_n=1$.
    • Si $u_0=-1$ alors comme $u_1=0$, on a  $\forall n \in \N^{*} \ u_n=0$.
    • Si $u_0=-2$ alors comme $u_1=0$, on a  $\forall n \in \N^{*} \ u_n=0$.

    $\boxed{\forall u_0 \in \{-2,-1,0,1 \} \ (u_n) \ \text{est stationnaire et }  \begin{cases} \ \lim\limits_{n \rightarrow +\infty} u_n=0 \ \text{si} \ u_0 \in \{0,-1 \}  \\  \lim\limits_{n \rightarrow +\infty} u_n=1 \ \text{si} \ u_0 \in \{1,-2 \} \end{cases}   }$.

  • Vassillia
    Modifié (October 2023)
    Bonjour OShine,
    Je ne l'ai lu que les encadrés et donc si $u_0=0.5$ on est à la fois dans le premier cas, le deuxième et le troisième
    Autrement dit, la suite est à la fois croissante et à la fois décroissante, à la fois de limite 0 et à la fois de limite $+\infty$
    Sérieusement, je te l'ai déjà dit mais abstiens toi d'encadrer, ce ne serait pas plus m
    La philosophie nous enseigne à douter de ce qui nous paraît évident. La propagande, au contraire, nous enseigne à accepter pour évident ce dont il serait raisonnable de douter. (Aldous Huxley)
  • OShine
    Modifié (October 2023)
    Non juste 2 coquilles que j'ai corrigées.
    Les encadrés sont utiles lorsque le message est long, par exemple pour se repérer.
  • Amédé
    Modifié (October 2023)
    @Oshine tu es sûr que c'est $1$ la limite pour la première suite?
    OShine a dit :
    Premier cas : 
    $u_0 \in  [- \dfrac{3}{2},3]$ alors $u_1 \in [0,3]$ et $u_1 \geq u_0$ donc $(u_n)$ est strictement croissante. . On montre par récurrence que $\forall n \in \N \  u_n \leq 3$.
    Comme $(u_n)$ est croissante et majorée, elle converge vers $\ell$. Finalement $\ell=1$.
    Deuxième cas : 
    $u_0 \in  [3,+ \infty[ $ alors $u_1 \in [3,+\infty[$ et $u_1 \leq u_0$ donc $(u_n)$ est strictement décroissante.
    Comme $(u_n)$ est décroissante et minorée par $3$, elle converge vers $\ell$. Finalement $\ell=1$.
  • OShine
    Modifié (October 2023)
    @Amédé merci non c'est faux c'est $3$ encore une coquille. 
    Je viens de corriger. 
    J'avoue que j'ai enchaîné les coquilles. 
  • Rappelons au passage que coquille prend bien un "q".
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