Opérations sur le signe différence

Bonjour, bon matin à tous le monde.
Je trouve des difficultés pour les opérations qu'on peut appliquer sur le signe différence ≠, par exemple : 
✔️Si a et b deux éléments de R quelconques tel que a≠b , a-t-on (a^r)≠(b^r) , et dans quels cas on peut dire ceci ?
Même chose pour ma≠mb , m+a≠m+b avec m élément de R ?

Généralement ,si a≠b , et f une fonction définie en a et en b , dans quelles cas on peut dire f(a)≠f(b) ?

Réponses

  • Dom
    Dom
    Modifié (August 2023)
    $5^0=8^0$
    remarque : tu n’as pas précisé ton « r ». 

    Dans $\Z/6\Z$ : $0\neq3$ et $2\times 0=2\times 3$. 

    Pour l’addition, en général les termes sont réguliers (aucun exemple ne me vient à l’esprit…). 

    Ce n’est pas simple de travailler avec des $\neq$. 
    Ceci dit, le théorème suivant :
    « si $a=b$, alors $f(a)=f(b)$ »
    s’énonce aussi par contraposée comme suit :
    « si $f(a) \neq f(b)$, alors $a\neq b$ ». 
  • Mar0wwa
    Modifié (August 2023)
    Dom
    Non ,je parle seulement pour les fonctions numériques, rien d'autres que les fonctions numériques.
    [Inutile de reproduire le message précédent. AD]
  • gerard0
    Modifié (August 2023)
    Bonjour.
    Une fausse question
    "Généralement, si a≠b, et f une fonction définie en a et en b, dans quelles cas on peut dire f(a)≠f(b) ?"
    La seule réponse est "quand f(a)≠f(b)".
    Par contre, tu connais un type de fonctions pour lesquelles tu sais que f(a)≠f(b) lorsque a≠b; et ce, quels que soient a et b dans le domaine de f.
    Cordialement.
  • Je trouve souvent des problèmes de signe différence dans la détermination de domaine de définition d'une fonction.
  • Pour étudier un signe, tu peux factoriser et utiliser la règle des signes. Parallèlement, tu peux faire des études de fonctions auxiliaires si besoin.
  • Effectivement, les fractions $\frac P Q$ ne sont définies que si $Q\neq 0$. On est amené à traiter le problème $Q(x)\neq 0$ qui se résout immédiatement si on résout $Q(x)=0$; et réciproquement. Donc rien de particulier avec le signe $\neq$, seulement savoir ce qu'il veut dire.
    Au fait, que signifie-t-il ?
  • Ben314159
    Modifié (August 2023)
    Salut,
    La proposition $\forall a,b\!\in\!\mathbb R,\ a\!\not=\!b\ \Rightarrow\ f(a)\!\not=\!f(b)$ est (par contraposition) la même que $\forall a,b\!\in\!\mathbb R,\ f(a)\!=\!f(b)\ \Rightarrow\ a\!=\!b$.
    Et c'est la définition de l'injectivité de la fonction $f$.
  • @Dom : Pour l'addition dans la droite numérique achevée $\overline{\R}$, l'élément $+\infty$ n'est pas régulier. 
    On a $1\neq 2$ mais $(+\infty)+1 = (+\infty)+2=+\infty$.
  • Oui il y a des problèmes en utilisant le signe $\ne$. Utilise $=$ et prend la négation.
  • Mar0wwa
    Modifié (August 2023)
    Lolo36
    Merci beaucoup.

  • Voilà un petit exemple, dans lequel je me suis bloqué dans chaque ligne. 
  • De la ligne 3 à la ligne 4 , qu'est ce qu'il nous a donné le droit de lever à la puissance 6 , et de même de la ligne 4 à 5 ?
  • L'injectivité des différentes fonctions mises en jeu.
    Par ailleurs, je ne trouve pas que ce soit la manière la plus pertinente de rédiger ce genre de chose quand on débute.
  • Plus tard non plus, au demeurant...
  • gerard0
    Modifié (August 2023)
    Bonjour Mar0wwa.
    Au lieu d'écrire des lignes de "calculs", on fait un raisonnement élémentaire :
    Pour un $x\ge 0$ on veut $\sqrt[3] x-\sqrt x \neq 0$. On résout donc dans $\mathbb R^+$ l'équation $\sqrt[3] x-\sqrt x =0$ (*)
    $\sqrt[3] x=\sqrt x$
    On en déduit (en élevant à la puissance sixième) $x^2=x^3$ qui donne $x=0$ ou $x=1$. Ces deux valeurs positives vérifient bien l'équation, donc sont à rejeter.
    $D_g=\mathbb R^+-\{0,1\} = ]0,1[\cup]1,+\infty[$.
    Rien de difficile.
    Cordialement.
    (*) les "x à rejeter".
  • Mar0wwa
    Modifié (August 2023)
    gerard0
    D'accord merci beaucoup.
    [Inutile de reproduire le message précédent. AD]
  • Une remarque sur le texte de Gérard. 
    Peut-être qu’un correcteur ne donnerait pas tous les points dans le passage « $x^2=x^3$ qui donne $x=0$ ou $x=1$ ». Il n’y a aucune erreur mais peut-être souhaiterait-il départager ceux qui rédigent ce « qui donne » des autres. Selon le niveau où l’on est, certains trouvent bien $1$ et $0$ mais ne savent pas démontrer qu’il n’y a pas d’autres nombres possibles. 
  • gerard0
    Modifié (August 2023)
    Salut Dom.
    J'ai supposé qu'on est en supérieur, où la résolution d'une équation aussi élémentaire ne demande pas d'être détaillée. En lycée, comme on le fait en seconde, j'utiliserais la racine évidente 0 et la division par x²; ou la mise sous la forme $x^3-x^2=0$ et la factorisation évidente.
    Vu ce que fait Mar0wwa, on peut lui laisser faire une partie de la preuve.
    Cordialement.
  • Oui, je suis d’accord. 
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