Limites/changement de variables

Mar0wwa
Modifié (July 2023) dans Analyse
Bonjour pour tout le monde, s'il vous plaît j'ai des petits problèmes concernant le calcul des limites par changement de variable,
Prenons par exemple la limite de x^2 quand x tend vers -1+ , c'est-à-dire à droite de -1, est-ce que la valeur de cette limite (l'image) est 1+ ou 1- ?
De manière générale, étant donné un x [qui] tend vers a+ ou a-, et f une fonction définie en a, comment savoir que l'image de cette limite est par valeurs supérieures ou inférieures ??

Réponses

  • Abdoumahmoudy
    Modifié (July 2023)
    .
  • gerard0
    Modifié (July 2023)
    Bonjour Mar0wwa.
    Comment savoir ? Comme d'habitude en rédigeant une preuve. Très souvent, l'étude de la fonction suffit ; par exemple pour $x\mapsto x^2$ en -1, on sait que la fonction est décroissante au voisinage de -1, ce qui règle la question, non ? Il y a de nombreux cas où c'est le calcul de la limite lui-même qui donne la réponse, par exemple si un DL de la fonction est utilisé ; toujours pour le même exemple, au voisinage de -1, $x^2 = (x+1)^2-2(x+1)+1^2 = 1-2(x+1) +o((x+1))$ montre que le complément à 1 de $x^2$ en -1 est du même signe que $-(x+1)$ sur un voisinage de -1. Enfin, il n'y a pas nécessairement de "valeurs supérieures ou inférieures"; vois le cas de $x\mapsto x\sin(\frac 1 x)$ en 0.
    Cordialement.
  • gebrane
    Modifié (July 2023)
    Pour comprendre ton souci
     Peux-tu calculer $\ \lim\limits_{x\to -1^+}\frac 1{x^2 -1}\ $ et $\ \lim\limits_{x\to -1^-}\frac 1{x^2 -1}$.
    vous ne comprenez pas les choses, vous vous y habituez.


  • gerard0
    Modifié (July 2023)
    Je reviens sur le sujet.
    "j'ai des petits problèmes concernant le calcul des limites par changement de variable" et le titre ne correspondent pas du tout à l'exemple, où il n'y a aucun changement de variable. J'ai répondu à l'exemple et à sa question, sans tenir compte de ce qui précédait.
    Où est le problème dans les changements de variable ?
    Cordialement.
  • Mar0wwa
    Modifié (July 2023)
    Bonjour gerard0, je n'ai aucun problème concernant les changements de variables, le seul problème que j'ai 😅, c'est dans la valeur d'une limite, c'est comment savoir si cette limite est par valeurs supérieures ou inférieures.

    Une fonction f tend vers b, lorsque x tend vers un certain nombre a, ma question c'est comment savoir si ce b est b- ou b+.
    Merci d'avance 😅😅
    [Inutile de recopier le dernier message. AD]
  • gerard0
    Modifié (July 2023)
    OK, j'oublie ton titre qui n'a aucun rapport avec la question (*), et je remarque que même la question est mal posée. Il n'y a aucune raison que ce soit b+ ou b-. En général, ce n'est ni l'un ni l'autre. Par exemple $\dfrac{\sin(x)}x$ tend vers 0 à l'infini, mais ni 0+, ni 0-.
    Et j'ai déjà répondu à ta question pour le cas où la limite est effectivement b+ ou b-. Il n'y a pas de méthode systématique, et d'ailleurs, le plus souvent, ça n'a pas d'importance.
    Cordialement.
    (*) drôle d'idée ce titre !
  • gebrane
    Modifié (July 2023)
    Bonjour
    Je te propose ce raisonnement à lire attentivement et me dire s'il est faux ou juste. Cela permettrait de comprendre ton problème. On veut calculer la limite en $0^+$ et $0^-$ de $x\mapsto \frac{1}{\ln(1+x)}$.

    Je raisonne comme ceci.
    Si $x>0$, alors $1+x>1$, et donc $\lim_{x\to 0^+} (1+x) = 1^+$, ce qui donne $\lim_{x\to 0^+} \frac{1}{\ln(1+x)} = \frac{1}{\ln(1^+)} = \frac{1}{0^+} = +\infty$.
    Si $x<0$, alors $1+x<1$, et donc $\lim_{x\to 0^-} (1+x) = 1^-$, ce qui donne $\lim_{x\to 0^-} \frac{1}{\ln(1+x)} = \frac{1}{\ln(1^-)} = \frac{1}{0^-} = -\infty$.
    Vrai ou faux   :mrgreen:
    vous ne comprenez pas les choses, vous vous y habituez.


  • gerard0
    Modifié (July 2023)
    Heu ...Gebrane,
    tu ne réponds pas à la question de Mar0wwa, il ne s'agit pas de limites en a- et a+, mais de limite en a. Égale à b. Et de savoir si c'est b- ou b+.
    Cordialement.
  • gebrane
    Modifié (July 2023)
     Bizarre, mon message ne contient en tête aucun @gerard0.
    Bon!. Qui te dit que je répondais à sa question , puisque je ne comprends pas son problème.
    Avec cet exemple, j'essayais de comprendre.
     Maintenant @gerard0.
    Puisque tu es si intelligent, donne-moi la définition mathématique de \[\lim_{x \to a^*} f(x) = b^+\]
    Dis-moi si le raisonnement que j'ai donné est vrai ou faux.
    vous ne comprenez pas les choses, vous vous y habituez.


  • Tu as un drôle de comportement ! Il faut que tu t'adresses à quelqu'un pour qu'il te parle ? Tu te prends pour un monarque ?
    On est sur un forum, je parle à qui je veux.
    Ton exercice ne m'intéresse pas, il n'a rien à voir avec le sujet, et c'est le fil de Mar0wwa. Je lui ai répondu 3 fois, en répondant à son problème qui est clairement exprimé. Pour comprendre le problème de Mar0wwa, il suffit de lire, et tu as lu, vu la fin de ton message. Je ne sais pas qui est $a*$, mais la définition est classique. Elle dit que f tend vers b en a et que localement, on a $f(x)\ge b$. Comme je ne suis pas ton élève, j'en ai même passé l'âge, je n'en dirai rien de plus. Seulement que ton comportement de pion ne me plaît pas.
  • gebrane
    Modifié (July 2023)
    la suite de l'histoire ici
    Gebrane essaya d'éviter l'étranger, son regard inquiétant le hantant comme une ombre menaçante. Il se promettait de rester loin de cet homme mystérieux nommé Gérard. Pourtant, malgré ses résolutions, de l’éviter Gebrane sentait que quelque chose n'allait pas. L'etanger le poursuit de partout  comme une force indomptable qui grandissait i. Il remarqua que les villageois  du village fuyaient sa présence et que les plantes flétrissaient en son passage.

    résumé de l'histoire, peux- tu me laisser tranquille  gerard
    vous ne comprenez pas les choses, vous vous y habituez.


  • jc-marseille
    Modifié (July 2023)
    Allons, Allons messieurs... du calme.

    Laissons Gebrane s'exprimer, c'est un garçon intelligent et plein d'humour - humour noir par moments certes... mais pardonnons ses péchés -
    Gebrane, c'est la classe ! Quand il s'exprime comme ci-dessus, il me rappelle certains passages de Boris Vian. Ce garçon a de l'avenir. En plus il est fort en maths comme toi Gerard. Ce forum est unique, les cours, exercices, rien de pareil sur les ondes anglo-saxonnes ou autres. La classe à la Française, en tout cas en mathématiques !
    Cordialement.
  • gebrane
    Modifié (July 2023)
    Ce que tu ne sais pas j'aime Marseille est que
    Gérard était l'un de mes meilleurs compagnons sur le forum. Il était sympa avec moi et il a même partagé ses cours, que j'utiliserai l'année prochaine pour faire des statistiques. Le jour où tout a basculé, c'est quand il m'a profondément blessé avec des mots que je n'aurais jamais imaginés, et cela s'est produit lors d'une discussion purement mathématique. Depuis cet incident, j'ai préféré m'éloigner de lui.
    vous ne comprenez pas les choses, vous vous y habituez.


  • Voilà, c'est la vie d'un forum. On ne sait pas comment est ressenti ce qu'on écrit, on pense éclairer une situation et c'est pris comme une agression. 
    II faut s'y faire, mais ça donne des situations idiotes. 
    Je ne retire rien de ce que j'ai écrit dans cette discussion. 

    Cordialement. 
  • jc-marseille
    Modifié (July 2023)
    Bon on se prend un pastis/jack daniel virtuel et on reprend ce pourquoi on est tous là... des discussions brillantes sur ce qu'il y a de plus pur en ce bas monde... des débats pertinents, des éclaircissements, en bref la beauté du sujet.
    Cordialement.
  • Oui. Chacun prend un verre de ce qu’il veut.  
    Sur un forum, comme dans tous les écrits, il faut se méfier de ses propres susceptibilités. 
    Allez, hop ! 
  • Mar0wwa
    Modifié (August 2023)
    gerard0 a dit :
    OK, j'oublie ton titre qui n'a aucun rapport avec la question (*), et je remarque que même la question est mal posée. Il n'y a aucune raison que ce soit b+ ou b-. En général, ce n'est ni l'un ni l'autre. Par exemple $\dfrac{\sin(x)}x$ tend vers 0 à l'infini, mais ni 0+, ni 0-.
    Et j'ai déjà répondu à ta question pour le cas où la limite est effectivement b+ ou b-. Il n'y a pas de méthode systématique, et d'ailleurs, le plus souvent, ça n'a pas d'importance.
    Cordialement.
    (*) drôle d'idée ce titre !
    Ok, étant donné la limite de x tend vers -oo, de 1/(sin(x)/x), dans ce cas, on est obligé de savoir si le dénominateur tend vers 0- ou 0+ pour dire si la fonction en général tend vers -00 ou +00.
  • Homo Topi
    Modifié (August 2023)
    Dom
    Certains considèrent que se comporter en adulte, c'est juste d'accepter et de continuer malgré quelque chose qui s'est mal passé. Certains autres considèrent que se comporter en adulte, c'est d'être ouvert à la critique, l'écoute, la discussion et le compromis, pour rétablir quelque chose qui est allé trop loin. On vit avec ses regrets ou sans...
    [Inutile de recopier l'avant dernier message. AD]
  • gerard0
    Modifié (August 2023)
    Bonsoir mar0wwa.
    Je ne comprends pas ce que tu racontes.
    Ok, étant donné la limite de x tend vers -oo, de 1/(sin(x)/x), dans ce cas, on est obligé de savoir si le dénominateur tend vers 0- ou 0+ pour dire si la fonction en général tend vers -00 ou +00.

    On ne va pas dire que $\frac 1 {\frac{\sin(x)}x} = \frac x{\sin(x)}$ tend vers $-\infty$ ou $+\infty$ en $-\infty$,  vu que ce serait faux. Cette fonction n'a tout simplement pas de limite en $-\infty$. Ce qui est d'ailleurs le cas de presque toutes les fonctions, celle dont on demande des limites dans les exercices étant des fonctions très particulières, généralement très simples. Et ayant en général des limites.
    Cordialement.

  • Mar0wwa
    Modifié (August 2023)
    gerard0
    Merci beaucoup beaucoup.
    Une autre petite question s'il vous plaît @ger@gerard0 , comment savoir si une fonction n'a pas de limite dans un voisinage ? Quels sont les critères qu'on doit vérifier ?
    [Inutile de reproduire le message précédent. AD]
  • gerard0
    Modifié (August 2023)
    Bonjour.
    Si tu connais la définition de $\lim\limits_{x\to a} f(x) = b$, tu sais comment faire : Montrer que cette définition est fausse. Il n'y a pas de critère global, seulement des propriétés, généralement évidentes. Par exemple, pour ta fonction, montrer que pour certaines valeurs de x, aussi négatives que l'on veut, elle prend des valeurs supérieures à M>0, et pour d'autres des valeurs inférieures à -M.
    Cordialement.
    NB. Tu étudies les maths tout seul ?
  • Mar0wwa
    Modifié (August 2023)
    gerard0
    Merci beaucoup.
    Oui tout seul.
    [Inutile de reproduire le message précédent. AD]
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