Complétude du complété

topopot
topopot
dans Analyse
Bonjour,

Dans la preuve de l'existence du complété d'un espace métrique, il y a un morceau qui me gêne.

Je rappelle les différentes étapes que j'ai comprises jusqu'à l'endroit où je bloque.

Soit $(E,d)$ un espace métrique. 

On note $\mathcal C$ l'ensemble des suites de Cauchy de $(E,d)$.
  1. L'application $\delta:(u,v)\in\mathcal C^2\mapsto \lim\limits_{n\to+\infty}d(u_n,v_n)\in\mathbb R$ est bien définie mais n'est pas nécessairement une distance sur $E$.
  2. La relation $\sim$ définie sur $\mathcal C$ par $u\sim v\iff\delta (u,v)=0$ est une relation d'équivalence. On note $\boxed {\hat{E}:=\mathcal C/\sim}$ et pour tout $u\in\mathcal C$, on note $\boxed{\hat{u}}$ la classe d'équivalence de $u$ modulo $\sim$.
  3. L'application $D:(\hat{u},\hat{v})\in E^2\mapsto\delta(u,v)\in\mathbb R$ est bien définie et est une distance sur $\hat{E}$.
  4. L'application $j:a\in E\mapsto \widehat{(a)_{n\in\mathbb N}}\in\hat{E}$ est isométrique et d'image dense.
  5. $(\hat{E},D)$ est complet.
    Ici je bloque, le cours que je lis dit que c'est évident par densité mais j'ai l'impression qu'il y a quand même un truc à démontrer formellement.

Réponses

  • Izolg
    Izolg
    Modifié (July 2023)
    Si $(u^n)_{n\geq 0}$ une suite d'élément de $\hat{E}$ qui est de Cauchy. Le but est essentiellement de trouver un bon candidat pour la limite.
    Par densité, il existe pour chaque $n$ fixé, un élément $a_n\in E$ tel que $\delta(j(a_n), u^n)<2^{-n}$.
    Notre candidat est alors la classe de la suite $(a_n)_{n\geq 0}$.
    Déjà on vérifie que $(a_n)_{n\geq 0}$ est de Cauchy.
    Soit $\varepsilon>0$, puisque $(u^n)_{n\geq 0}$ est de Cauchy, on a $N\geq 0$ tel que pour $n,m\geq N$ on ait $\delta(u^n, u^m)<\varepsilon$. Mais alors pour $n,m\geq N$ on a $d(a_n,a_m) = \delta(j(a_n), j(a_m)) \leq \delta(j(a_n), u^n)+\delta(u^n, u^m)+\delta(u^m, j(a_m)) \leq 2^{-N+1}+\varepsilon$.

    Ensuite en notant $a$ la classe de $(a_n)_{n\geq 0}$ par ta relation $\sim$ on vérifie que $\delta(u^n,a) \xrightarrow[n\to \infty]{} 0$.

    En effet, puisque $(a_n)_{n\geq 0}$ est une suite de Cauchy on a $\lim_{m\to \infty}d(a_n,a_m)\xrightarrow[n\to\infty]{}0$ ce qui se traduit comme $\delta(j(a_n),a)\xrightarrow[n\to \infty]{}0$. Mais puisque $\delta(j(a_n),u^n)<2^{-n}$ on a également $\delta(u^n, a)\xrightarrow[n\to \infty]{}0.$
  • Homo Topi
    Homo Topi
    Je te conseille un peu de lecture. L'idée ici est de faire un copier-coller de la construction et la complétude de $\R$ (en tant que complété de $\Q$), qu'il est bon d'avoir vu une fois.
  • topopot
    topopot
    Merci @Izolg

    Je me rends compte qu'il me manque un seul truc que tu utilises, bien que ce soit intuitif mais est-ce qu'on a bien l'équivalence suivante pour toute suite $(x_n)_{n\in\mathbb N}$ d'un espace métrique $(X,d)$ :
    • $(x_n)_{n\in\mathbb N}$ est de Cauchy i.e. $(\forall\epsilon\in\mathbb R_+^*\quad\exists N\in\mathbb N\quad\forall p,q\geqslant N\quad d(x_p,x_q)\leqslant\epsilon)$
    • $\lim\limits_{p\to+\infty}\left(\lim\limits_{q\to+\infty}d(x_p,x_q)\right)=0$
    En effet, en essayant de le montrer formellement, j'ai l'impression que c'est moins évident que ça en a l'air. 

    Pour le sens bas vers le haut c'est bon, mais pour le sens haut vers le bas, qu'est-ce qui nous permet de dire qu'à $p$ fixé, le terme $\lim\limits_{q\to+\infty}d(x_p,x_q)$ existe ?
  • Izolg
    Izolg
    Modifié (July 2023)
    L'existence de cette limite c'est grosso modo le même problème que la bonne définition de $\delta$, si $p$ est fixé on vérifie que $(d(x_p,x_q))_{q\geq 0}$ est une suite de Cauchy car $(x_n)_{n\geq 0}$ est de Cauchy. Or une suite de Cauchy réelle est convergente, mais bien évidemment la limite dépendra de $p$.
    Après, notons $\ell_p = \lim_{q\to\infty}d(x_p,x_q)$, il faut montrer que $\ell_p\xrightarrow[p\to\infty]{}0$.
    Soit $\varepsilon >0$, on a $N$ tel que si $p,q\geq N$, alors $d(x_p,x_q)<\varepsilon$. Donc pour $p\geq N$ on a $\ell_p\leq \varepsilon$. Si on regarde cela droit dans les yeux on a bien montré que $\ell_p\to 0$.
  • topopot
    topopot
    Merci c'est tout bon ! :smile:


  • topopot
    topopot
    J'ai une question sur ce thème. 

    Outre le fait intéressant d'étudier cette notion "pour elle-même", est-ce que vous connaissez des applications de cette notion où le fait de passer dans "le" complété est utile ? 
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