Majoration d'une probabilité

AlphaNico · July 2023

Bonjour
Je sèche depuis un moment sur une question d'apparence très facile...

On considère trois évènements A, B et C d'un espace probabilité qui vérifient :
$$ P(A)=P(B)=P(C)=p \text{ , } P(A \cap B \cap C)=0 $$
Par ailleurs, on suppose que A, B et C sont deux à deux indépendants.
Il s'agit de trouver une majoration de $p$ et il me semble que $p$ est majoré par $1/2$.
Mon intuition est-elle bonne et comment le démontrer ?
Merci par avance pour votre aide,
$\alpha$-Nico

Heuristique · July 2023

Tu peux déjà montrer $p \leqslant \frac{2}{3}$ en passant au complémentaire (et sans utiliser l'hypothèse d'indépendance).

AlphaNico · July 2023

Bonjour Heuristique
Merci pour ta réponse !
J'avais déjà obtenu cette majoration, mais celle demandée est meilleure...

raoul.S · July 2023

Tu peux l'obtenir en constatant que $P( A\cup B\cup C)\geq P(A\cup B )$ et en développant.

PS. je développe un peu : $P( A\cup B\cup C )=P(A)+P(B)+P(C)-P( A\cap B )-P( A\cap C )-P( B\cap C )=3p-3p^2$ et $P( A\cup B ) =...= 2p-p^2$.

AlphaNico · July 2023

Merci raoul.S !

C'est d'une telle simplicité, mais j'étais passé à côté...

Izolg · July 2023

Au passage la borne $1/2$ est bien optimale. Prenons $X=Ber(1/2)$, $Y=Ber(1/2)$ avec $X$ et $Y$ indépendantes, et posons $Z=X+Y [2]$ (modulo $2$), alors on vérifie que $X,Y,Z$ sont indépendantes 2 à 2.

On peut poser $A:= \{X=0\}$, $B:=\{Y=0\}$ et $C:=\{Z=1\}$, on a bien $A,B,C$ deux à deux indépendants de proba $1/2$ et l'intersection de ces trois évènements est vide.

Majoration d'une probabilité

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