Représentation d'un groupe

OShine
OShine
Modifié (July 2023) dans Algèbre
Bonjour
Je n'arrive pas à faire Q16.
Soit $g \in G$. On a $\delta_a \star \delta_b (g)=\displaystyle\sum_{x \in G} \delta_a (x) \delta_b( x^{-1} g)=\delta_b(a^{-1} g)$.
Je n'arrive pas à montrer que $\delta_b(a^{-1} g)= \delta_{ab} (g)$.

Réponses

  • llorteLEG
    llorteLEG
    Modifié (July 2023)
    Serieusement?

    $d_b(a^{-1}g)=1$ si $g=...$
  • OShine
    OShine
    Modifié (July 2023)
    Ok merci en effet c'était évident.

    $\delta_b (a^{-1} g)=1 \iff a^{-1} g=b \iff a a^{-1} g= ab \iff g=ab$.
    Donc $\delta_{b} (a^{-1} g)= \delta_{ab}(g)$.

    On a bien montré : $\boxed{\forall (a,b) \in G^2 \ \delta_{a} \star \delta_b = \delta_{ab}}$.

  • OShine
    OShine
    La 17 permet de consolider mes connaissances sur les changements de variables dans les sommes théoriques avec des bijections. 

    Q17)     Montrons que $\delta_e$ est l'unité.
    Montrons que $\delta_a \star \delta_e= \delta_a$.
    On a : $\delta_a \star \delta_e  (g)= \displaystyle\sum_{x \in G} \delta_a(x) \delta_e (x^{-1} g)$.
    L'application $\phi : G \longrightarrow G$ définie par $\phi(x)=x^{-1}g$ est une bijection.
    En effet, l'équation $\phi(x)=y$ soit $x^{-1}g=y$ donne $g^{-1}x=y$ soit $x=gy$ et possède une unique solution. 
    On a alors $\phi^{-1} (y)=gy$. 
    Ainsi, $\delta_a \star \delta_e  (g)= \displaystyle\sum_{x \in G} \delta_a(x) \delta_e (\phi(x))$.
    $\delta_a \star \delta_e  (g)= \displaystyle\sum_{y \in G} \delta_a(gy) \delta_e (y)$.
    Donc : $\delta_a \star \delta_e  (g)= \delta_a (ge)= \delta_a (g)$.

    On a montré que : $\boxed{\delta_a \star \delta_e= \delta_a}$.






  • NicoLeProf
    NicoLeProf
    Modifié (July 2023)
    Mais what? Si tu veux démontrer que $\delta_a \star \delta_e= \delta_a$, tu as juste une ligne à écrire en utilisant la question 16 ... Et il faudrait le vérifier dans l'autre sens aussi (toujours grâce à la question 16). Ensuite, le travail n'est pas totalement fini, il faudrait vérifier que pour tout fonction $f$ de $\C[G]$, $f \star \delta_e=\delta_e \star f=f$ (ce qui est facile car $(\delta_g)_{g \in G}$ est la base canonique de $\C[G]$) .

    Lorsque notre cher Gebrane, le 😄 farceur, intervient dans une question d'algèbre, c'est une véritable joie pour les lecteurs.


  • OShine
    OShine
    Ok merci je recommence. 
  • OShine
    OShine
    Modifié (July 2023)
    Q17) Soit $f \in \C[G]$. Il existe une unique famille de complexes $(\lambda_g)_{g \in G}$ tel que $f=\displaystyle\sum_{g \in G} \delta_g \lambda_g$.
    On a déjà $\forall a \in G \ \delta_a \star \delta_e =\delta_{ae}=\delta_a$ et $\forall a \in G \ \delta_e \star \delta_a =\delta_{ea}=\delta_a$.
    Soit $h \in G$.
    $f \star \delta_e (h)= \displaystyle\sum_{x \in G}  \displaystyle\sum_{g \in G} \lambda_g \delta_g(x) \delta_e (x^{-1} h)$
    $f \star \delta_e (h) = \displaystyle\sum_{g \in G}  \lambda_g  \displaystyle\sum_{x \in G}  \delta_g(x) \delta_e (x^{-1} h)$
    Mais $\displaystyle\sum_{x \in G}  \delta_g(x) \delta_e (x^{-1} h)= \delta_g \star \delta_e (h)=\delta_g (h)$.
    Donc : $f \star \delta_e (h) = \displaystyle\sum_{g \in G}  \lambda_g \delta_g (h) $
    On a montré que $f \star \delta_e =f$. Le raisonnement est analogue pour montrer : $\delta_e \star f=f$.

  • OShine
    OShine
    Il y a un truc que je ne comprends pas dans l'algèbre $\C[G]$, quelles sont les lois ? 
    Une $K$ algèbre $E$ est définie par $(E,+,\times, .)$. Mais ici $\times$ c'est $\star$ ou $\circ$ ?
  • NicoLeProf
    NicoLeProf
    Modifié (July 2023)
    OShine a dit :
    https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/comment/2440113/#Comment_2440113
    Ok, ou tu peux écrire directement : $f \star \delta_e=(\displaystyle\sum_{g \in G}  \lambda_g \delta_g) \star \delta_e$ .
    Puis, tu peux utiliser la phrase de l'énoncé : "$f \star f'$ est clairement linéaire en $f$ et en $f'$" (d'ailleurs la notation $f'$ de l'énoncé est dangereuse et pas judicieuse !) .
    Donc $f \star \delta_e=\displaystyle\sum_{g \in G}  \lambda_g (\delta_g \star \delta_e)=\displaystyle\sum_{g \in G}  \lambda_g \delta_{ge}=f$ .
    OShine a dit :
    Une $K$ algèbre $E$ est définie par $(E,+,\times, .)$. Mais ici $\times$ c'est $\star$ ou $\circ$ ?
    Attention !!! Reprends la définition d'une $\mathbb{K}$-algèbre et d'un $\mathbb{K}$-espace vectoriel !
    Une $\mathbb{K}$ algèbre est d'abord un $\mathbb{K}$-espace vectoriel $(E,+,.)$ (où il faut se rappeler que $+$ est une loi interne : on peut additionner des vecteurs entre eux et $.$ est une loi externe à gauche : on peut multiplier des vecteurs par des scalaires) .
    A ce $\mathbb{K}$-espace vectoriel, on rajoute une loi interne notée $\times$ ici $\star$ du coup permettant de multiplier des éléments de notre $\mathbb{K}$-algèbre entre eux donc plus intéressante et plus complexe qu'une simple multiplication par des scalaires !
    D'ailleurs, ici, la composition habituelle de fonctions n'est pas bien définie, comment composer $\delta_g$ ne serait-ce qu'avec elle-même ou $\delta_e$?
    Lorsque notre cher Gebrane, le 😄 farceur, intervient dans une question d'algèbre, c'est une véritable joie pour les lecteurs.


  • Barjovrille
    Barjovrille
    Bonjour @NicoLeProf je trouve que pour sa question de $K$ algèbre tu aurais pu le laisser se débrouiller un peu plus tout seul, si on ose sortir une définition du type : "une $K$ algèbre est défini par $(E,+,\times,.)$", on ne demande pas de précision (vu qu'on en a donné aucune) sur les lois.
  • NicoLeProf
    NicoLeProf
    Oui tu as raison Barjovrille, surtout qu'OShine manque d'autonomie alors que les infos sont faciles à trouver sur Google. Je vais essayer d'être plus évasif par la suite ! :D
    Lorsque notre cher Gebrane, le 😄 farceur, intervient dans une question d'algèbre, c'est une véritable joie pour les lecteurs.


  • OShine
    OShine
    Modifié (July 2023)
    Ok merci, en effet la composition ici ne fonctionne pas forcément.
    J'ai toujours des difficultés avec la notion d'algèbre. 
    Mais pas de difficulté au niveau des calculs, ils faut juste faire attention aux objets manipulés. Ne pas mélanger $f(x)$ qui est un complexe et $\pi(x)$ qui est une application. 
    Il y a 4 points à vérifier pour $Q18$ : 
    • $\forall f,f' \in \C[V] \ \tilde{\pi} (f+f')=\tilde{\pi}(f)+=\tilde{\pi}(f')$. (évident).
    • $\forall f \in \C[V] \ \forall \lambda \in \C \ \ \tilde{\pi} (\lambda f)=\lambda \tilde{\pi} (f)$. (évident)
    • $\tilde{\pi} ( \delta_e)=\displaystyle\sum_{g \in G} \delta_e (g) \pi(g)=\pi(e)=id_V$.
    • Soient $f,f' \in \C[G]$. On a $\tilde{\pi} (f \star f')=\displaystyle\sum_{g \in G} f \star f'(g) \pi(g)$.
    Donc : $\tilde{\pi} (f \star f')=\displaystyle\sum_{g \in G}  \displaystyle\sum_{x \in G} f(x) f'(x^{-1} g) \pi(g)$.
    $\tilde{\pi} (f \star f')=\displaystyle\sum_{g \in G}  f(x) \pi(x) \circ  \left( \displaystyle\sum_{x \in G} f'(x^{-1} g) \pi(x^{-1} g)
     \right)$
    L'application $\phi : G \longrightarrow G$ définie par $\phi(g)=x^{-1} g$ étant bijective, on a : 
    $\tilde{\pi} (f \star f')=\displaystyle\sum_{g \in G}  f(x) \pi(x) \circ  \left( \displaystyle\sum_{y \in G} f'(y) \pi(y) \right)$

    On a montré : $\boxed{\forall f,f' \in \C[G] \ \tilde{\pi} (f \star f')= \tilde{\pi} (f) \circ \tilde{\pi} (f')}$. 
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