Centralisateur et normalisateur d'un groupe

OShine · July 2023

Bonsoir,

Je bloque sur les passages surlignés.
Pour le noyau je trouve $N_G(H) \cap C_G(H)$.

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Volny DE PASCALE · July 2023

Bonjour (et bonjour à tous ! c'est le retour de la vengeance de Volny, ça faisait un bail, non ?)

Pour pouvoir définir une action de groupe il faut une bijection (je n'en dis pas plus, vérifie la définition d'une action d'un groupe sur un ensemble)
L'action par conjugaison doit donc définir pour chaque élément du groupe une bijection... si $t h t^{-1}$ n'est pas dans H, comment faire ?

Pour le deuxième trait souligné, il existe deux définitions équivalentes de l'opération (action) d'un groupe $\mathcal{G}$ sur un ensemble $E$. Les connais-tu ? L'une d'elle fait intervenir le groupe des bijections de $E$ ($\mathfrak{S}_E$), et un morphisme de $\mathcal{G}$ dans ce groupe.

Cela suffit-il à te débloquer ?

Amicalement

Volny

P.S.

As-tu essayé de résoudre l'exercice sans forcément suivre le corrigé ?
En particulier, la définition de $C_G(H)$ signifie que tout élément $c \in C_G(H)$ commute avec tous les éléments de H.

Le fait qu'il soit distingué dans $N_G(H)$ signifie qu'il est stable par automorphisme intérieur, donc en particulier que $\forall n \in N_G(H), ncn^{-1} \in C_G(H)$ donc commute avec tout élément de $G$

Ne peut-on pas le vérifier directement ?

Ecrire que c et g commutent peut s'écrire $cg = gc$ mais aussi comme une conjugaison.

Amicalement
Volny

NicoLeProf · July 2023

@OShine, par définition, le normalisateur $N_G(H)$ est le plus grand sous-groupe de $G$ pour l'inclusion dans lequel $H$ est distingué. Comme $H$ est distingué dans $N_G(H)$, $H$ est stable par l'action de conjugaison. Donc on peut faire agir $N_G(H)$ sur $H$ par conjugaison (autrement dit définir l'action de conjugaison de : $N_G(H) \times H$ dans $H$).

Pour le noyau de $Int$, c'est facile à vérifier ! Soit $x \in \ker Int$ alors, $Int(x)=Int \, x=id_H$ .

Donc pour tout $h \in H$, $Int \, x(h)=...$ ? Je te laisse finir. (Précision : tu as un morphisme de groupes $Int : N_G(H) \rightarrow Aut H$ et un automorphisme de groupes : $Int \, x : H \rightarrow H$ : ne pas confondre les deux même si $Int$ est défini grâce à $Int \, x$ . Les notations ne sont pas pratiques !)

OShine · July 2023

@Volny DE PASCALE
Oui mais j'étais un peu perdu avec toutes ces notations et notions nouvelles.

@NicoLeProf
Je n'ai jamais vu la théorie sur le normalisateur, elle n'est pas dans le livre.
Ok merci mais pour le noyau je ne trouve pas.

$\ker Int = \{ x \in N_G(H) \ \ \forall h \in H \ xhx^{-1} =h \} =N_G (H) \cap C_G(H)$. C'est ici que je bloque.

NicoLeProf · July 2023

OShine, $C_G(H) \subset N_G(H)$ donc que vaut $N_G(H) \cap C_G(H)$ ? Lol, c'est peut-être le signal d'aller dodo là !

OShine · July 2023

Ah d'accord merci. Je ne voyais pas le lien direct entre normalisateur et centraliseur, je n'ai pas l'habitude de manipuler ces notions.
Montrons que $C_G(H) \subset N_G(H)$.

Soit $x \in C_G(H)$. Alors $x \in G$ et $\forall h \in H \ xhx^{-1}=h$. Montrons que $xHx^{-1}=H$.

Soit $h \in H$. On a $h=xhx^{-1} \in xHx^{-1}$ d'où l'inclusion $H \subset xHx^{-1}$.
Soit $y \in xHx^{-1}$. Il existe $h \in H$ tel que $y=xhx^{-1}$. Mais $y=h \in H$ donc $xHx^{-1}=H$.

On a bien montré que $\boxed{C_G(H) \subset N_G(H)}$.

Thierry Poma · July 2023

@OShine : bonjour. Voici un extrait dans lequel tu trouveras toutes les définitions nécessaires en rapport avec les opérations de monoïdes (i.e. avec les opérations de semi-groupes). Tu ferais bien d'écrire dans un cahier chacune d'entre-elles, de façon plus formelle. Ce faisant, tu y verras plus clair ; enfin, je l'espère. Tu peux te faire aider par @NicoLeProf ou @Volny DE PASCALE que je salue au passage, car je ne fais que passer. Voici une bonne partie de ce texte :

Image: https://les-mathematiques.net/vanilla/uploads/editor/uk/qrb0ikfek0as.png

Thierry Poma · July 2023

Voici la suite de l'extrait :

Image: https://les-mathematiques.net/vanilla/uploads/editor/vq/p3rnyyhcwojy.png

OShine · July 2023

@Thierry Poma merci c'est la fin du premier extrait et surtout le deuxième qui me concernent, car la théorie des monoïdes je n'ai jamais vu ça.

Thierry Poma · July 2023

@OShine : tu me gaves en affirmant que tu n'as jamais vu les monoïdes ; c'est faux. Tu reprends les axiomes d'un groupe et tu élimine du catalogue celui qui concerne l'existence d'un symétrique. $(\N,\,+)$ est un monoïde ou semi-groupe de neutre $0$. Dire que tu n'as jamais vu un monoïde est donc faux.

Tu es donc en mesure de tout comprendre, si tu te donnes la peine de lire.

Thierry Poma · July 2023

@OShine : soit tu choisis d'avancer et tu travailles sérieusement, soit tu fais du sur-place, et là, je ne cautionnerai plus du tout ton état d'esprit. Ce que je te demande de faire est simple et à la portée de ChatGBT. Tu n'es quand même pas plus idiot que ChatGBT, car ChatGBT l'est lui.

llorteLEG · July 2023

GBT comme generative bullshit transformers?

NicoLeProf · July 2023

llorteLEG a dit :

GBT comme generative bullshit transformers?

MDR !

JLapin · July 2023

Thierry Poma a dit :

@OShine : tu me gaves en affirmant que tu n'as jamais vu les monoïdes

Oshine a un très très petit niveau et très très peu de mémoire : il ne faut pas s'énerver comme ça !

OShine · July 2023

J'ai du mal avec le formalisme de ce passage.
À mon avis, c'est le genre de livre où je ne comprendrai rien du tout.

Centralisateur et normalisateur d'un groupe

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Bonjour!

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