Convergence de suite réelle

zoworq
zoworq
Modifié (July 2023) dans Analyse
Bonjour
J'imagine que ma question est abjecte pour certains, voire tous, mais je la pose quand même pour comprendre ce qui me manque.
Est-il possible qu'une suite d'éléments de $\mathbb R$ converge vers un élément de $\mathbb C$ \$\mathbb R$ dans un espace muni de la norme usuelle ?
Si oui, auriez-vous une source à me proposer qui le démontre s'il vous plaît ?
Si non, auriez-vous une source à me proposer qui le démontre s'il vous plaît ?

Réponses

  • L2M
    L2M
    Modifié (July 2023)
    Tu veux dire : Est-il possible qu'une suite d'élément de R converge vers un élément de C\R ...
  • Dom
    Dom
    Modifié (July 2023)
    Si la suite est réelle et si elle converge alors sa limite est dans $\mathbb R$ donc dans $\mathbb C$. 
  • zoworq
    zoworq
    Modifié (July 2023)
    L2M a dit :
    Tu veux dire : Est-il possible qu'une suite d'élément de R converge vers un élément de C\R ...
    C'est exactement ça j'ai corrigé ma question !
  • L2M
    L2M
    La réponse est donc dans le message de Dom.
  • zoworq
    zoworq
    Modifié (July 2023)

    Non je ne pense pas que la réponse à ma question y soit, puisque $\mathbb R$ n’appartient pas à $\mathbb C\setminus\mathbb R$, donc une suite réelle qui converge vers une limite réelle n'appartient pas à $\mathbb C\setminus\mathbb R$.
  • llorteLEG
    llorteLEG
    Hello, non ce n'est pas possible
  • L2M
    L2M
    Modifié (July 2023)
    Dom a dit que toute suite réelle qui converge, sa limite est forcément réelle. Donc la suite que tu cherches n'existe pas.
  • Magnéthorax
    Magnéthorax
    @zoworq : pour la topologie usuelle $\mathbf{R}$ est un fermé de $\mathbf{C}$.
  • Barjovrille
    Barjovrille
    Modifié (July 2023)
    Si tu veux un argument topologique,  avec tes hypothèses, $\mathbb{R}= Im^{-1}(\{0\})$ où $Im : \C \longrightarrow \mathbb{R}$ est la fonction partie imaginaire qui est continue et $\{0\}$ est un fermé de $\mathbb{R}$  donc $\mathbb{R}$ est un fermé de $\C$ et les suites réelles convergentes ont une limite dans $\mathbb{R}$.
    edit : doublé par Magnéthorax.
  • Dom
    Dom
    Modifié (July 2023)
    Je n’avais en effet pas donné de preuve. 
    On pouvait plus naïvement regarder que si on a un complexe non réel (a+ib) [notations habituelles] alors pour une boule assez petite, ça contredit la convergence. 
  • zoworq
    zoworq
    Merci pour l'argument @Barjovrille, c'est bien plus clair maintenant.
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