Action de groupe fidèle

OShine · July 2023

Bonsoir,

Je viens de voir la définition d'une action de groupe. Je bloque sur les exemples.
Je ne comprends pas pourquoi l'identité et les injections canoniques donnent des actions fidèles.

Image: https://les-mathematiques.net/vanilla/uploads/editor/cu/kbk3zkflltjt.png

Alexique · July 2023

Tu ne sais pas pourquoi l'identité est injective ? C'est ça ta question ? Puisque c'est le seul qui a encore de la patience pour t'aider, tu devrais attendre l'aide de @NicoLeProf qui, je l'espère, finira par ouvrir les yeux sur ton cas désespéré.

NicoLeProf · July 2023

@OShine, une lecture passive ne suffira pas à t'approprier les actions de groupes. Pour tes questions, Alexique a déjà répondu. C'est simple en effet...

Je continue à aider OShine car l'algèbre m'intéresse grandement, ses fils de discussion sont à ma portée (ce qui est rare sur ce forum) et ça me permet de garder un petit niveau en algèbre (utile car je vais faire des vacations à l'université dès Septembre ^^').

Perso, je préfère mettre la proposition 5.2 en définition d'une action de groupes et la déf 5.1 en proposition.

Il faut t'entraîner OShine :

Exo 1 : définis une action de groupes de $\mathfrak{S}_n$ sur l'ensemble $\{1,...,n\}$ (i.e : une application de $\mathfrak{S}_n \times \{1,...,n\} \rightarrow \{1,...,n\}$ ) et montre qu'il s'agit bien d'une action de groupes à l'aide de la proposition 5.2 . (Il faut manipuler cette proposition).

Exo 2 : Soit $G$ un groupe opérant sur un ensemble $\mathcal{E}$ . Montre que les propositions (1) et (2) sont équivalentes :

(1) L'action de $G$ sur $\mathcal{E}$ est fidèle

(2) pour tout $g \in G$, ($\forall x \in E$, $g.x=x) \Leftrightarrow g=e$ .

OShine · July 2023

Dans l'exemple, le livre veut qu'on manipule les actions de groupe à travers le morphisme j'ai l'impression.
Je ne vois pas comment utiliser la proposition 5.2 dans les exemples, car la loi $g.x$ n'est pas définie....

@NicoLeProf
Je ne comprends pas l'exo 2, c'est la définition non ? Quelle est ta définition d'une action fidèle ?

Si $\varphi : G \longrightarrow \mathfrak{S}( \mathcal E)$ est un morphisme alors $\boxed{g.x=\varphi(g)(x)}$.

Soit $G=\mathfrak{S}_n$ et $\mathcal E=[|1,n|]$.
$\varphi=id$ donc si $g \in \mathfrak{S}_n$ on a $\varphi(g) =g$.
Si $\forall x \in [|1,n|] \ g(x)=x$ alors $g=id$ donc l'action est fidèle.

Injections canoniques :
Soit $G=GL_n(K)$ et $\mathcal E = K^n$.
Si $g \in GL_n(K)$, on a $\varphi(g)=g$.
Mais ici je bloque comment calculer $g(x)$ pour tout $x \in K^n$ ? C'est quoi la matrice d'un vecteur ?

Bref, je n'ai pas compris comment manipuler ces exemples.

NicoLeProf · July 2023

Ton post ci-dessus est confus OShine, que veux-tu faire, quel est ton but? Tes notations ne sont pas toujours rigoureuses ni claires. Il faut être plus précautionneux.

Reprenons depuis le début, as-tu compris comment on démontre l'équivalence entre la déf 5.1 et la proposition 5.2 ? Se donner une action de groupe de $G$ sur un ensemble $\mathcal{E}$ (notée "$.$" comme dans la proposition 5.2) revient exactement au même que de définir un morphisme $\varphi$ de $G$ sur $\mathfrak{S}(\mathcal{E})$ défini pour tout $g \in G$ et pour tout $x \in \mathcal{E}$ par $\varphi(g)(x)=g.x$ .

Maintenant, on considère l'application notée "$.$" : $\mathfrak{S}_n \times \{1,...,n\} \rightarrow \{1,...,n\}$ qui à un couple $(\sigma,i) \in \mathfrak{S}_n \times \{1,...,n\}$ associe $\sigma . i = \sigma(i) \in \{1,...,n\}$ .

1) Montrer que cette application est une action du groupe symétrique $\mathfrak{S}_n$ sur l'ensemble $\{1,...,n\}$ .

2) Définir le morphisme $\varphi$ associé à cette action de groupes.

3) En déduire que cette action est fidèle.

Questions suivantes :

Soit l'application "$.$" : $GL_n(\mathbb{K}) \times \mathbb{K}^n \rightarrow \mathbb{K}^n$ qui à un couple $(M, v) \in GL_n(\mathbb{K}) \times \mathbb{K}^n$ associe $M.v=Mv \in \mathbb{K}^n$ .

4) Montrer que cette application est une action du groupe $GL_n(\mathbb{K})$ sur $\mathbb{K}^n$ .

5) Définir le morphisme $\varphi$ associé à cette action de groupes.

6) En déduire que cette action est fidèle.

Je pense que tu t'en sortiras bien mieux si tu définis d'abord l'action de groupes comme dans la proposition 5.2 puis ensuite tu exhibes le morphisme $\varphi$ associé à cette action. (On reprendra mon exo 2 plus tard).

OShine · July 2023

Merci c'est plus clair.

La démonstration de l'équivalence entre 5.1 et 5.2 est détaillée dans le livre, j'ai compris la preuve.

C'est normal que je galère, c'est la première fois de ma vie que je vois la notion d'action de groupe. Je n'ai pas eu la chance de faire une licence de maths.

1) On a :

Soit $\sigma,\mu \in \mathfrak{S}_n$ et $i \in [|1,n|]$ : $\sigma . (\mu .i )=\sigma .( \mu(i) )=\sigma( \mu( i) ) =\sigma \circ \mu (i)=( \sigma \circ \mu).i$
Soit $i \in [|1,n|]$. On a $id . i= id(i)=i$.

2) Le morphisme associé est une application $\varphi : \mathfrak{S}_n \longrightarrow \mathfrak{S}_n $ définie par $\varphi( \sigma)=\sigma$.
Soit $i \in [|1,n|]$. On a $\varphi( \sigma) (i)=\sigma(i)$.

3) Si $\forall i \in [|1,n|] \ \sigma(i)=i$ alors $\sigma=id$ et l'action est bien fidèle.

4) On a :

Soit $M,N \in GL_n(K)$ et $x \in K^n$ : $M. (N . x) = M. (Nx) = MNx=(MN)x = (MN).x$
Soit $x \in K^n$. On a $I_n .x = I_n x =x$.

5) Le morphisme associé est une application $\varphi : GL_n(K) \longrightarrow \mathfrak{S} (K^n) $ définie par $\varphi(M)=f_M$ où $f_M$ est l'endomorphisme canoniquement associé à $M$.

Pour moi il y a un souci ici. $GL_n(K)$ n'est pas inclus dans $\mathfrak{S} (K^n)$...
L'un est un ensemble de matrices et l'autre un ensemble d'applications.
Pourquoi parler d'injection canonique ?

6) Si $\forall x \in K^n \ f_M(x)=x$, alors si $B=(e_1, \cdots, e_n)$ est la base canonique de $K^n$ on a : $f_M(e_i)=e_i$ pour tout $i$ et une application linéaire est déterminée de façon unique par les images des éléments d'une base, on a $f_M=id$.
Et $M=I_n$.

Xavier Var · July 2023

C'est la première fois de ta vie que tu vois les actions de groupes ?
https://www.youtube.com/watch?v=1WVumvAQT3k

JLapin · July 2023

@OShine
Les injections canoniques ne sont pas systématiquement des restrictions d'applications identités.

Par exemple, $\lambda \mapsto \lambda X^0$ est une injection canonique de $K$ sur $K[X]$.

Thierry Poma · July 2023

@OShine : bonjour. Soit $(G,\,\cdot)$ un groupe de neutre $e$. Soit $E$ un ensemble. Nous dirons que\[\Phi:(G,\,\cdot)\to(\mathfrak{S}(E),\,\circ),\,g\mapsto\Phi(g):\left\{\begin{array}{rcl}E&\longrightarrow&E\\x&\longmapsto&\Phi(g)(x)\\\end{array}\right.\]est une opération à gauche de $(G,\,\cdot)$ (ou simplement $G$) sur $E$ si l'on a

$\Phi(e)=\mathrm{id}_E$
$\Phi(a\cdot{}b)=\Phi(a)\circ\Phi(b)$, quels que soient $a$, $b$ dans $G$

Nous dirons que $\Phi$ est une opération à droite de $G$ sur $E$ si l'on a

$\Phi(e)=\mathrm{id}_E$
$\Phi(a\cdot{}b)=\Phi(b)\circ\Phi(a)$, quels que soient $a$, $b$ dans $G$

Dit autrement, dire que $G$ opère à gauche sur $E$ revient à dire que $\Phi$ est un morphisme de groupes. Dire que $G$ opère à droite sur $E$ revient à dire que $\Phi$ est un antimorphisme de groupes.

Quel type d'opération de groupes avons-nous dans chaque cas suivant et pourquoi ?

$\Phi_s:(G,\,\cdot)\to(\mathfrak{S}(G),\,\circ),\,g\mapsto\Phi_s(g):\left\{\begin{array}{rcl}G&\longrightarrow&G\\x&\longmapsto&\Phi_s(g)(x)=g\cdot{}x\\\end{array}\right.$
$\Phi_d:(G,\,\cdot)\to(\mathfrak{S}(G),\,\circ),\,g\mapsto\Phi_d(g):\left\{\begin{array}{rcl}G&\longrightarrow&G\\x&\longmapsto&\Phi_d(g)(x)=x\cdot{}g\\\end{array}\right.$
Considérons une opération à gauche de $G$ sur un ensemble $E$, au moyen de\[\Psi:(G,\,\cdot)\to(\mathfrak{S}(E),\,\circ),\,g\mapsto\Psi(g):\left\{\begin{array}{rcl}E&\longrightarrow&E\\x&\longmapsto&\Psi(g)(x)\\\end{array}\right.\]Répondre à la question de départ pour ceci (pas simple)
\[\small\Phi_s:(G,\,\cdot)\to(\mathfrak{S}(\mathfrak{P}(E)),\,\circ),\,g\mapsto\Phi_s(g):\left\{\begin{array}{rcl}\mathfrak{P}(E)&\longrightarrow&\mathfrak{P}(E)\\P&\longmapsto&\Phi_s(g)(P)=\left\{\begin{array}{c|c}y&y\in{}E\text{ et }(\exists\,x)\left(x\in{}P\text{ et }y=\Psi(g)(x)\right)\end{array}\right\}\\\end{array}\right.\]

@NicoLeProf sera peut-être intéressé par ce 3.

NicoLeProf · July 2023

Je précise que je n'avais jamais étudié les actions de groupes avant (pas que je sache en tout cas, j'ai fait une L3 spéciale maths-enseignement donc d'un niveau plus bas qu'une L3 maths fondamentales et les actions de groupes ne me disent rien). Ou alors je n'ai plus de souvenirs.

Tout ça pour dire qu'en l'ayant déjà vu ou non OShine, en faisant preuve de méthode et de rigueur, ce n'est pas si difficile que ça en a l'air !

Ok @OShine, maintenant, tu peux faire mon exo 2 :

Exo 2 : Soit $G$ un groupe opérant sur un ensemble $\mathcal{E}$ . Montre que les propositions (1) et (2) sont équivalentes :

(1) L'action de $G$ sur $\mathcal{E}$ est fidèle

(2) pour tout $g \in G$, ($\forall x \in E$, $g.x=x) \Leftrightarrow g=e$ .

Rappel : à une action de groupe est associé un morphisme $\varphi$ décrit comme dans ton livre ci-dessus. On dit que l'action est fidèle si le morphisme $\varphi$ associé est injectif.

Julia Paule · July 2023

OShine a dit
5) Le morphisme associé est une application $\varphi : GL_n(K) \longrightarrow \mathfrak{S} (K^n) $ définie par $\varphi(M)=f_M$ où $f_M$ est l'endomorphisme canoniquement associé à $M$.

Pour moi il y a un souci ici. $GL_n(K)$ n'est pas inclus dans $\mathfrak{S} (K^n)$...
L'un est un ensemble de matrices et l'autre un ensemble d'applications.
Pourquoi parler d'injection canonique ?

On a un isomorphisme de groupes $GL_n(K) \to GL(K^n)$, et une inclusion de groupes $GL(K^n) \to \mathfrak{S} (K^n) $, cela donne un morphisme injectif de groupes.

D'accord avec Nico, les fils de OShine sont très instructifs, car il pose des questions basiques qui sont souvent passées sous silence dans les livres.

NicoLeProf · July 2023

@Thierry Poma , voici ce que je propose pour 3.

3. On vérifie aisément que pour tout $ P \in \mathfrak{P}(E)$, $\small\Phi_s(e)(P)=P$ donc $\small\Phi_s(e)=\mathrm{id}_{\mathfrak{P}(E)}$ .

Soient $g$, $h \in G$. Soit $P \in \mathfrak{P}(E)$ .

On calcule $\small\Phi_s(g) \circ \small\Phi_s(h)(P)=\small\Phi_s(g) \left(\left\{\begin{array}{c|c}y&y\in{}E\text{ et }(\exists\,x)\left(x\in{}P\text{ et }y=\Psi(h)(x)\right)\end{array}\right\} \right)$ .

Notons $P'=\left\{\begin{array}{c|c}y&y\in{}E\text{ et }(\exists\,x)\left(x\in{}P\text{ et }y=\Psi(h)(x)\right)\end{array}\right\}$ .

Dès lors, $\small\Phi_s(g) \circ \small\Phi_s(h)(P)=\left\{\begin{array}{c|c}y&y\in{}E\text{ et }(\exists\,x)\left(x\in{}P'\text{ et }y=\Psi(g)(x)\right)\end{array}\right\}$.

Or, $x \in P' \Leftrightarrow (\exists x') (x' \in P \text{ et }x=\Psi(h)(x'))$ donc :

$\small\Phi_s(g) \circ \small\Phi_s(h)(P)=\left\{\begin{array}{c|c}y&y\in{}E\text{ et }(\exists\,x')\left(x'\in{}P\text{ et }y=\Psi(g)(\Psi(h)(x')\right)\end{array}\right\}$.

Finalement, $\small\Phi_s(g) \circ \small\Phi_s(h)(P)=\left\{\begin{array}{c|c}y&y\in{}E\text{ et }(\exists\,x)\left(x\in{}P\text{ et }y=\Psi(g) \circ \Psi(h)(x)\right)\end{array}\right\}=\small\Phi_s(g.h)(P)$ car $\Psi$ définit une action à gauche de $G$ sur $E$.

Donc $\small\Phi_s$ définit une action à gauche de $G$ sur $\mathfrak{P}(E)$ .

OShine · July 2023

@Xavier Var
Voir une vidéo ce n'est pas pareil qu'étudier un cours en profondeur dans un livre.

@JLapin
On a bien $K \subset K[X]$.

@Thierry Poma
J'ai compris tes définitions mais tes exemples sont trop théoriques et compliqués pour moi.
Dans les sujets d'agreg interne que j'ai vus les actions ressemblent à celles données dans les exemples du livre d'Anne Cortella.

@NicoLeProf
(1) Supposons $\varphi$ injectif. Alors $\ker \varphi= \{ e_G \}$.
Or $\ker \varphi = \{g \in G \mid \varphi(g)= id \} =\{e_G \}$.
Supposons que $\forall x \in E, \ g.x = \varphi(g)(x))=x$ alors $\varphi(g)= id$ et donc $d=e_G$.
Réciproquement, si $g=e$, alors $g.e=e$ par définition d'une action de groupe.
(2) Si $\forall g \in G ,\ \forall x \in E, \ g.x=x \iff g=e$.
Alors $\ker \varphi = \{e_G \}$.

Je bloque sur les exemples suivants dans le livre.
Pour la a), je ne comprends pas pourquoi l'action est fidèle. Je n'arrive pas non plus à montrer que le $e.x=x$ :
$\forall P \in K[X_1, \cdots, X_n] ,\ \ id . P= P(X_1, \cdots, X_n)$.
C'est quoi le lien entre $P$ et $P(X_1, \cdots, X_n)$ ?
Je n'ai jamais vu les polynômes à $n$ indéterminés.
Soit $\sigma \in \mathfrak{S}_n$. Supposons $\forall P \in K[X_1, \cdots, X_n]$, on a $\sigma.P=P$.
Pareil je bloque, je ne comprends pas comment manipuler les polynômes à $n$ indéterminées.
C'est quoi le rapport entre les actions de groupes et $K[X_1, \cdots, X_n]^{\mathfrak{S}_n}$ ? Je n'ai pas compris pourquoi c'est une algèbre engendrée par les polynômes symétriques élémentaires.

Image: https://les-mathematiques.net/vanilla/uploads/editor/xu/fdtundu5fckd.png

NicoLeProf · July 2023

Il y a des coquilles dans ta preuve de mon exo 2 OShine et ta rédaction laisse à désirer. Tu expédies trop les choses, prends le temps.

Tu dis que tu n'arrives pas non plus à montrer que le $e.x=x$ ... C'est pourtant quasi immédiat, écris les choses !!!

Prends une feuille et un stylo, définis l'action de groupes proprement :

On définit l'application $. : \mathfrak{S}_n \times \mathbb{K}[X_1,...,X_n] \rightarrow \mathbb{K}[X_1,...,X_n]$ telle que pour tout couple $(\sigma,P) \in \mathfrak{S}_n \times \mathbb{K}[X_1,...,X_n]$, $\sigma . P=P(X_{\sigma(1)}, ... , X_{\sigma(n)}) $ .

Montre proprement qu'il s'agit d'une action de groupes (en utilisant la proposition 5.2) puis on verra pour la suite (c'est facile de montrer qu'elle est fidèle en définissant correctement le morphisme $\varphi$ associé et en utilisant la définition 5.1).

Ce n'est pas difficile si on écrit les choses correctement mais c'est une absolue nécessité au vu de l'extrême abstraction des notions étudiées !

OShine · July 2023

@NicoLeProf
Ok je rectifie.
On a $\varphi \ \text{est injectif} \iff \ker \varphi = \{e_G\} \iff \{ g \in G \mid \forall x \in E ,\ \varphi(g)(x)=x \} = \{e_G \}$
$\varphi \ \text{est injectif} \iff \{ g \in G \mid \forall x \in E, \ g.x=x \} = \{e_G \}$
$\boxed{\varphi \ \text{est injectif} \iff \left( \forall x \in E ,\ g.x=x \ \iff g=e_G \right)}$

Barjovrille · July 2023

Bonjour @Julia Paule , c'est quoi $GL(K^n)$ ?

@OShine si on veut éviter "les questions passées sous silence" $K$ n'est pas inclus dans $K[X]$, justement tu peux faire comme si c'était inclus grâce à l'injection de @JLapin .

NicoLeProf · July 2023

C'est mieux, lis bien mon post ci-dessus maintenant qui t'aide pour le a) des exemples suivants de ton livre. Courage, écris les choses soigneusement et tu vas y arriver, c'est facile honnêtement (ce sont des applications directes de la déf 5.1 et de la proposition 5.2).

Thierry Poma · July 2023

@OShine et @NicoLeProf : bonjour à tous les deux. Avant de s'intéresser à la fidélité ou pas d'une opération, peut-être serait-il préférable de s'attarder sur les exemples a) et c) de l'auteur. Elle passe un peu vite sur ces exemples. Sont-ce des opérations à gauche ou à droite, et pourquoi ?

NicoLeProf · July 2023

Pourquoi @Thierry Poma , ma preuve de ton petit 3 ici est fausse?

Thierry Poma · July 2023

@NicoLeProf : tu écris :

On vérifie aisément que pour tout $ P \in \mathfrak{P}(E)$, $\small\Phi_s(e)(P)=P$ (...)

Imaginons que nous soyons devant un jury. Je te te demande de me justifier ce qui semble être aisé. Veux-tu ?

NicoLeProf · July 2023

@Thierry Poma , plus de jury pour moi (des maths pour le plaisir uniquement) vu que j'ai eu l'agrégation.

Mais bon, si tu veux : soit $ P \in \mathfrak{P}(E)$ . On a : $\small\Phi_s(e)(P)=\left\{\begin{array}{c|c}y&y\in{}E\text{ et }(\exists\,x)\left(x\in{}P\text{ et }y=\Psi(e)(x)\right)\end{array}\right\}=\left\{\begin{array}{c|c}y&y\in{}E\text{ et }(\exists\,x)\left(x\in{}P\text{ et }y=e.x \right)\end{array}\right\}$ (en utilisant le fait que $\Psi$ définit une opération à gauche de $G$ sur $E$) (comme ton petit 1. que je n'ai pas démontré car c'est quasi immédiat ! Je laisse la preuve à OShine) .

On obtient alors : $\small\Phi_s(e)(P)=\left\{\begin{array}{c|c}y&y\in{}E\text{ et }(\exists\,x)\left(x\in{}P\text{ et }y=x \right)\end{array}\right\}$ où on utilise le fait que pour tout $x \in E$, $e.x=x$ (proposition 5.2 ci-dessus).

Donc $\small\Phi_s(e)(P)=P$ . Ceci étant valable pour tout $P \in \mathfrak{P}(E)$, $\small\Phi_s(e)=\mathrm{id}_{\mathfrak{P}(E)}$ .

La suite de ma preuve est juste non? J'imagine que dans le livre d'OShine, les actions à droite et à gauche sont étudiées un peu plus tard vu la remarque à l'exemple b). Donc il vaut mieux qu'OShine se concentre sur :

- savoir vérifier qu'une application est une action de groupes notamment grâce à la proposition 5.2 ;

- exhiber le morphisme $\varphi$ associé ;

- en déduire que l'action est fidèle. Surtout que, jusqu'à présent, les actions du livre d'OShine sont des actions à gauche sauf la b).

Thierry Poma · July 2023

@NicoLeProf : nous avons\[(\exists\,x)(x\in{}P\text{ et }y=x)\Longleftrightarrow{}y\in{}P\]ce qui permet de terminer la preuve proprement.

Thierry Poma · July 2023

@NicoLeProf : je pensais que tu devais passer ton agreg. Quand l'as-tu obtenue ? Félicitation !!

OShine · July 2023

a) On a :

Soit $\sigma, \mu \in \mathfrak{S}_n$ et $P \in K[X_1, \cdots, X_n]$. Alors : $\sigma.( \mu . P) = \sigma . ( P(X_{\mu(1)}, \cdots, X_{\mu(n)} ) =P(X_{\sigma \circ \mu(1)}, \cdots, X_{\sigma \circ \mu(n)} )=( \sigma \circ \mu). P$.
$id . P= P(X_1, \cdots, X_n)$.

Action fidèle :
Supposons que $\forall P \in K[X_1, \cdots,X_n]$ on a : $\sigma .P =P$ donc $P(X_{\sigma(1)}, \cdots, X_{\sigma(n)} ) =P(X_1, \cdots, X_n)$.
Comment en déduire que $\sigma=id$ ?
Je ne connais rien sur les polynômes à plusieurs indéterminées.

NicoLeProf · July 2023

Pour moi, c'est quasi immédiat que $\left\{\begin{array}{c|c}y&y\in{}E\text{ et }(\exists\,x)\left(x\in{}P\text{ et }y=x \right)\end{array}\right\}=P$, on peut toujours s'en convaincre par double inclusion mais bon... .

Tu as loupé un chapitre @Thierry Poma

J'ai préparé l'agrégation interne cette année sans formation, à temps plein avec des heures supps et la mission de prof principal de 6ème et j'ai obtenu le concours du premier coup à un rang correct.

Voir ici si tu veux la discussion en détails : https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/2334021/oraux-agregation-interne-math-2023/p5

Maintenant, je fais des maths pour le plaisir sans stress et uniquement ce que j'aime à savoir algèbre/géométrie et arithmétique.

JLapin · July 2023

OShine a dit :
@JLapin. On a bien $K \subset K[X]$.

Quelle est ta définition de $K[X]$ et à quel moment un élément de $K$ vérifie-t-il cette définition ?

OShine · July 2023

Les polynômes à coefficients dans le corps $K$.
Un scalaire peut être vu comme un polynôme en $X$ à coefficients dans $K$.

Julia Paule · July 2023

C'est quoi $GL(K^n)$ ? De manière générale, $GL(E)$ pour $E$ un $K$-espace vectoriel, est le groupe des applications $K$-linéaires et bijectives de $E$.

OShine · July 2023

Comment on montre que l'action est fidèle dans le a) avec les polynômes à plusieurs indéterminées ?

Pour le b, je ne comprends pas pourquoi c'est une action pour les lignes et pas pour les colonnes.
Si on note $M=(L_1 \cdots L_n)^T$ alors :

Soit $\sigma, \mu \in \mathfrak{S}_n$. On a $\sigma .( \mu M)=\sigma . (L_{\mu(1)}, \cdots, L_{\mu(n)})^T =(L_{\sigma \circ \mu(1)}, \cdots, L_{\sigma \circ \mu(n)} )^T=(\sigma \circ \mu). M$.
On a $id . M=M$ c'est évident.

Action fidèle :
Supposons que pour tout $M$ on a $\sigma.M= M$ alors $(L_{\sigma(1)}, \cdots, L_{\sigma(n)})^T=(L_1, \cdots, L_n)^T$ donc $\sigma=id$.

Le raisonnement est identique pour les colonnes, je ne comprends pas ce qui change.

JLapin · July 2023

OShine a dit :

Les polynômes à coefficients dans le corps $K$.
Un scalaire peut être vu comme un polynôme en $X$ à coefficients dans $K$.

Ce n'est pas une définition. Tu devrais rouvrir un cours sur les polynômes.

Et "vu comme" n'est pas vraiment une propriété mathématique à ton niveau.

Alexique · July 2023

OShine a dit :

Les polynômes à coefficients dans le corps $K$.
Un scalaire peut être vu comme un polynôme en $X$ à coefficients dans $K$.

Ça veut dire quoi "peut-être vu" ? Quelle est ta définition mathématique de "peut être vu" ? Tu n'en sais rien toi-même, tu balances des phrases qui n'ont aucun sens pour toi, tu ne lis pas de cours, n'apprends pas ne comprends pas. On t'a dit il y a peu que tu avais compris le principe d'identification en maths mais il n'en est rien comme d'habitude et le speech ci-dessous sera à refaire dans 1 an.

Cela a pourtant un sens. Soit $A$ et $B$ deux ensembles. On dit que $A \subset B$ si tout élément de $A$ est aussi un élément de $B$. Comme $K$ est un ensemble de nombres/scalaires et $K[X]$ un ensemble de polynômes, ce ne sont PAS les mêmes objets mathématiques donc on ne peut pas écrire $K \subset K[X]$. MAIS, via l'injection canonique de @JLapin, on peut FAIRE COMME SI un scalaire était aussi un certain polynôme de degré $0$ (et réciproquement). Par abus de notation, on écrit donc $K \subset K[X]$ et il faut comprendre que si on en a envie, on peut voir le scalaire comme un polynôme sans besoin d'introduction de l'injection $\phi: K \hookrightarrow K[X]$ et de noter $\phi(k)$ le polynôme de $K[X]$ correspondant à $k \in K$. On le note juste $k$.

Tu aurais dû comprendre il y a longtemps en étudiant un cours complet de polynôme qu'il faut distinguer polynôme (en algèbre une suite nulle à partir d'un certain rang par définition) et fonction polynomiale (fonction mathématique qui bénéficie d'une topologie pour être étudiée). Tu as par exemple une formule de Taylor polynomiale et une formule de Taylor en analyse qui sont identiques mais dont les preuves et le sens n'ont rien à voir. Parler de la monotonie d'un polynôme n'a pas de sens, mais parler de la monotonie de la fonction polynomiale associée, beaucoup plus (sur R par exemple).
Un lycéen tout comme un ingénieur ne fait pas la différence et manipule plus souvent la notion de fonction polynôme. Faire des calculs dans $F_p$ ou $Z/nZ$, c'est pareil. On devrait tout le temps écrire $\bar{a}$ et on note juste $a$ par flemme. Mais les flemmards comprennent pourquoi ils ont le droit de faire ça, toi non.

Bref, tu as raison de dire ce que tu dis mais tu ne sais pas le justifier, c'est ce qu'on appelle de l'escroquerie. À l'écrit, on ne peut pas te demander plus de détails donc sûrement que tu peux t'en sortir mais si tu passes à l'oral un jour, fais très très attention.

OShine · July 2023

JLapin a dit :

@OShine
Les injections canoniques ne sont pas systématiquement des restrictions d'applications identités.
Par exemple, $\lambda \mapsto \lambda X^0$ est une injection canonique de $K$ sur $K[X]$.

La définition d'injection canonique de $A$ dans $B$ sur wikipédia donne comme condition $A \subset B$.

JLapin · July 2023

Cette définition est en contradiction avec ton bouquin. Mon exemple est en conformité avec ceux de ton bouquin qui font l'objet de la question initialement posée dans ce thread. Essaye de suivre le fil...

NicoLeProf · July 2023

OShine a dit :

Comment on montre que l'action est fidèle dans le a) avec les polynômes à plusieurs indéterminées ?

On définit l'application $. : \mathfrak{S}_n \times \mathbb{K}[X_1,...,X_n] \rightarrow \mathbb{K}[X_1,...,X_n]$ telle que pour tout couple $(\sigma,P) \in \mathfrak{S}_n \times \mathbb{K}[X_1,...,X_n]$, $\sigma . P=P(X_{\sigma(1)}, ... , X_{\sigma(n)}) $ . Le morphisme associé est $\varphi : \mathfrak{S}_n \rightarrow \mathfrak{S}(\mathbb{K}[X_1,...,X_n])$ telle que pour toute permutation $\sigma \in \mathfrak{S}_n$, pour tout $i \in \{1,...,n\}$, $\varphi(\sigma)(X_i)=X_{\sigma(i)}$ .

Avec ceci, il est facile de vérifier que l'action de $\mathfrak{S}_n$ dans $\mathbb{K}[X_1,...,X_n]$ est fidèle.

Pour le b), je cherche... Ta façon d'écrire les choses me laisse perplexe...

NicoLeProf · July 2023

@OShine, ta façon d'écrire les choses m'a laissé interdit et en effet, j'ai du mal à visualiser les choses et à m'approprier tes notations ! Avec ma façon de faire, on comprend la remarque d'Anne Cortella sur les colonnes où pour toi, c'est identique.

Voici comment je m'y prends :

on définit l'application "$.$" : $\mathfrak{S}_n \times \mathscr{M}_n(\mathbb{K}) \rightarrow \mathscr{M}_n(\mathbb{K})$ qui à un couple $(\sigma,M) \in \mathfrak{S}_n \times \mathscr{M}_n(\mathbb{K})$ associe $\sigma . M=P_{\sigma} M$ où $P_{\sigma}$ est la matrice correspondant à la permutation $\sigma$ dans la base canonique de $\mathbb{K}^n$. Il faut savoir que multiplier une matrice $M$ par $P_{\sigma}$, à gauche, revient à permuter les lignes de $M$ en suivant la permutation inverse de $\sigma$ et que pour $\sigma$, $\sigma ' \in \mathfrak{S}_n$, $P_{\sigma} P_{\sigma'}=P_{\sigma \circ \sigma'}$ .

Nous avons donc défini une action fidèle à gauche !

En revanche, si on définit l'application "$.$" : $\mathfrak{S}_n \times \mathscr{M}_n(\mathbb{K}) \rightarrow \mathscr{M}_n(\mathbb{K})$ qui à un couple $(\sigma,M) \in \mathfrak{S}_n \times \mathscr{M}_n(\mathbb{K})$ associe $\sigma . M= M P_{\sigma}$ où $P_{\sigma}$ est la matrice correspondant à la permutation $\sigma$ dans la base canonique de $\mathbb{K}^n$ (en effet, multiplier une matrice $M$ par $P_{\sigma}$, à droite, revient à permuter les colonnes de $M$ en suivant la permutation $\sigma$), on aura défini une action à droite ! Je pense que c'est ce que l'auteure veut dire dans l'exemple b).

Barjovrille · July 2023

Ok merci @Julia Paule, je ne connaissais pas cette notation.

OShine · July 2023

@NicoLeProf ok merci je n'avais pas pensé à utiliser les matrices de permutation.
Je ne comprends rien à l'exemple e). Je ne comprends pas c'est quoi $P_{\sigma . i}$. D'où sort l'action sur $\{1,2,3 \}$ ?
Pas compris pourquoi l'action n'est pas fidèle ni d'où sort le $P_i=(i \ j) . P_j$.
Les exemples sont compliqués. C'est la deuxième page du cours !

Image: https://les-mathematiques.net/vanilla/uploads/editor/6i/lga947l8mgcy.png

llorteLEG · July 2023

Tiens Oshine un exercice simple pour t'entrainer

Soit $E$ un $K$-espace vectoriel de $\dim n$. On note $E^* = E \setminus \{0\}$
Montrer que l'application suivante est une action, et qu'elle est fidèle et transitive.$$\begin{array}{ccc}
GL_n(K) \times E^*& \longrightarrow& E^*\\
(M,x) &\longmapsto& Mx
\end{array} $$
Quelle propriété de l'action perd-on si on remplace $E^*$ par $E$.

Thierry Poma · July 2023

@OShine : bonjour. Me semble-t-il $\mathscr{E}=\{P_1,\,P_2,\,P_3\}$, clairement équipotent à $\{1,\,2,\,3\}$ (ensemble des indices servant à nommer les éléments de $\mathscr{E}$).

Thierry Poma · July 2023

@OShine : cela étant dit, considérons $P_1$, par exemple. Quelles sont les éléments de $\mathfrak{S}_4$ laissant invariant $P_1$, i.e. quel est l'ensemble des $\sigma\in\mathfrak{S}_4$ tels que $\sigma\,P_1=P_1$. Voir le chapitre sur la notion de stabilisateur. Faire la même chose pour $P_2$ et $P_3$.

OShine · July 2023

Bonjour @llorteLEG, merci pour ton exercice, plus clair que les exemples du livre.

Action de groupe :

$\forall x \in E^{*}, \ I_n . x = x$.
$\forall (M,N) \in GL_n(K),\ \forall x \in E^{*},\ M . (N .x) = M. (N x)= MN x =(MN) x=(MN).x$.

Action fidèle :
Soit $M \in GL_n(K)$ telle que $\forall x \in E^{*}, \ M. x =Mx=x$.
On choisit $x$ le vecteur colonne nul partout sauf en ligne $i$ pour $i$ fixé dans $[|1,n|]$. On obtient facilement que $m_{ii}=1$ et $\forall j \ne i,\ m_{ij}=0$. Donc $M=I_n$ est l'action est fidèle.

Action transitive :
Soient $x,y \in E^{*} $ et on cherche $M \in GL_n(K)$ tel que $Mx=y$.
Ici je bloque... Je connais les équations $Ma=b$ d'inconnue $a$ mais d'inconnue la matrice je ne vois pas.

Si on remplace $E^{*}$ par $E$, l'action reste fidèle. Peut-être qu'elle n'est plus transitive mais je n'ai pas réussi la transitivité.

OShine · July 2023

@Thierry Poma
L'exemple e) me semble incompréhensible car j'ai l'impression que l'auteure mélange plusieurs actions dans le même exemple en allant très vite.
C'est dommage de ne pas commencer par des exemples plus simples pour permettre d'assimiler la notion.
Les éléments $\sigma \in \mathfrak{S}_n$ vérifiant $\sigma(P_1)=P_1$ sont $id, (12),(34),(12)(34)$.
Mais quel rapport avec ce qui est écrit ?

Le morphisme est bien : $\varphi : \mathfrak{S}_4 \longrightarrow \mathfrak{S}( \{1,2,3 \} )$ défini par $\varphi( \sigma)=P_{ \sigma . i }$ ?
Je n'arrive pas à comprendre pourquoi il n'est pas injectif, et je ne comprends pas le $\varphi( ( i j) )= (i j)$.

Thierry Poma · July 2023

@OShine : que penser de $(1\quad{}3)\circ(2\quad{}4)$ ? Y en a-t-il d'autres et lesquelles ? Pour le noyau, plus tard !!

OShine · July 2023

Oui $(1 3) \circ (2 4)$ stabilise $P_1$.
Il y a aussi $(2 3)$ .

JLapin · July 2023

OShine a dit :

@Thierry Poma. L'exemple e) me semble incompréhensible car j'ai l'impression que l'auteure mélange plusieurs actions dans le même exemple en allant très vite.
C'est dommage de ne pas commencer par des exemples plus simples pour permettre d'assimiler la notion.

C'est surtout dommage que tu ne te donnes pas la peine d'écrire sur un papier l'application, mettons $\psi$, associée à l'action de groupe de $\mathfrak S_4$ sur $\mathcal E$, avec son ensemble de départ, son ensemble d'arrivée, etc.

Ensuite, tu fais la même chose pour l'application $\varphi$ : ensemble de départ, ensemble d'arrivée, etc.

OShine · July 2023

J'ai déjà fait ça et relu 15 fois mais je reste bloqué, je ne comprends pas d'où sort le morphisme $\varphi : \mathfrak{S}_4 \longrightarrow \mathfrak{S}_3$ dont le noyau est un sous-groupe distingué $D_4 '$ et pourquoi l'action n'est pas fidèle.

J'ai écrit 2-3 pages mais je ne comprends toujours rien à l'exemple e).

Thierry Poma · July 2023

@OShine : $(1\quad{}3)\circ(2\quad{}4)$ fixe-t-il $P_2$ et $P_3$ ?

OShine · July 2023

@Thierry Poma
Il fixe $P_2$ mais pas $P_4$.

Thierry Poma · July 2023

@OShine : $P_4$ ??? En es-tu certain et pourquoi ?

JLapin · July 2023

OShine a dit : J'ai écrit 2-3 pages mais je ne comprends toujours rien à l'exemple e).

Envoie une photo de la définition de $\psi$ pour voir ?

Thierry Poma · July 2023

@OShine : dans l'un de tes messages, je lis ceci :

Le morphisme est bien : $\varphi : \mathfrak{S}_4 \longrightarrow \mathfrak{S}( \{1,2,3 \} )$ défini par $\varphi( \sigma)=P_{ \sigma . i }$ ?

En es-tu certain ? Je sais, tu poses une question.

Action de groupe fidèle

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