Module des sections d'un faisceau cohérent, cohomologie de Koszul

Traversin · July 2023

Bonjour,

je suis en pleine lecture de l'article de Daniele Agostini, Alex Küronya et Victor Lozovanu intitulé : "Higher syzygies on surfaces with numerically trivial canonical bundle", disponible sur arxiv ici https://arxiv.org/abs/1703.10203 .

Vous n'avez pas nécessairement besoin de cliquer dessus. Je bloque sur un point de la section 2.1 (tout à la fin de la page 3 du pdf si nécessaire) abordant la cohomologie de Koszul d'une variété complexe lisse (algébrique ou analytique). Puisque mon problème ne se situe pas sur la définition en elle-même de cette cohomologie, je me permets de passer seulement au paragraphe problématique. Je cite :

"Dans un contexte géométrique, on se donne une variété algébrique complexe lisse, projective et irréductible $X$ de dimension $\geq 1$, $\mathcal F$ un faisceau cohérent sur $X$ et $L$ un faisceau inversible ample globalement engendré sur $X$. On note

$$S := Sym^\bullet H^0(X, L)$$

l'anneau des coordonnées homogènes de $\mathbb P\big( H^0(X,L) \big)$ (c'est tout simplement l'algèbre symétrique de $H^0(X, L)$) et

$$\Gamma_X(\mathcal F,L) := \bigoplus_{q \in \Z} H^0(X, \mathcal F \otimes qL)$$

le module des sections de $\mathcal F$. Alors $\Gamma_X(\mathcal F,L)$ a une structure naturelle de $S$-module gradué de type fini de sorte que l'on puisse considérer les groupes de cohomologie de Koszul (...)."

Voilà mon problème : je n'arrive pas à voir pourquoi ce module des sections est bien de type fini. Je peux voir la structure de $S$-module gradué, mais même en utilisant l'hypothèse d'amplitude pour $L$, rien ne sort. Auriez-vous une idée s'il vous plait ? Merci.

Traversin · July 2023

Bonsoir,

fidèle à moi même, j'ai toujours la tête dans le guidon : impossible de savoir pourquoi ce $S$-module gradué est de type fini... Je me permets de relancer ma question.

Bonne soirée.

Traversin · July 2023

Rebonjour, avec de la détermination j'ai pu trouver une solution à mon problème. Je ne sais pas si cela se fait sur ce forum, mais je mets un lien vers la proposition du Stacks Project : https://stacks.math.columbia.edu/tag/0B5T .

pappus · July 2023

Mon cher Traversin

Ici la géométrie ne vole pas plus haut que les axiomes de Thalès et de Pythagore.

Excuse notre analphabétisme!

Tu devras chercher ailleurs!

Amicalement

pappus

Alceste · July 2023

Bonjour,

Un détail me chiffonne: dans ce lemme 30.16.1 du Stacks Project, on demande (au § 5) que dans la somme directe, le d soit supérieur à un k fixé. On n'a pas d (ou q) dans Z comme dans l'article cité.

Je vois bien si le faisceau F est localement libre, qu'on a annulation des sections pour q suffisamment négatif (voir le livre de Hartshorne, théorème 7.6.ii) page 243). Mais je ne vois pas pourquoi ce serait vrai pour F seulement cohérent. Il y a là quelque chose qui m'échappe...

A moins que dans la suite de leur article (je n'ai pas regardé...) ce soit uniquement le cas localement libre qui intervienne dans leur démonstration.

Cordialement.

Traversin · July 2023

Bonsoir,
pappus, je suis assez admiratif des sujets que tu proposes et la question naturelle qui me vient est la suivante : "fais-tu" de la géométrie algébrique ?

Alceste : tout à fait, merci de me l'avoir fait remarquer, je suis allé un peu vite en besogne. Je suis vraiment embêté sur ce point car il me semble en ayant feuilleté le livre de Marian Aprodu et Jan Nagel "Koszul cohomology and algebraic geometry" que le résultat est pourtant vrai ! (ils définissent le complexe de Koszul pour les modules de type fini et passent directement au cas géométrique sans rien préciser, je suppose donc que ce module de sections est de type fini). J'ai en fait besoin de la finitude pour avoir une résolution minimale libre-graduée de $\Gamma_X(\mathcal F,L)$, je pensais appliquer bêtement le théorème des syzygies de Hilbert.

Toutefois dans l'article de Mark Green "Koszul cohomology and the geometry of projective varieties", on peut lire en (1.b.1) qu'une telle résolution existe à condition que $\dim_{\mathbb C} H^0(X, \mathcal F \otimes qL) < \infty$ pour tout entier $q$ et que pour $q$ suffisamment négatif, on a carrément $H^0(X, \mathcal F \otimes qL) = 0$. Un peu plus loin en (2.a.6), Green écrit que l'existence d'une telle résolution provient du fait que $H^i(X, \mathcal F \otimes qL) = 0$ pour $q$ suffisamment négatif (conséquence du fait que $L$ est ample). Je ne suis pas plus avancé.

Je pense que l'article se concentre surtout sur le cas $\mathcal F = \mathcal O_X$ et dans ce cas je n'ai pas de problème. Je reste tout de même sur ma faim car j'aimerais comprendre pourquoi ce module admet une résolution minimale libre-graduée, est-ce vraiment parce qu'il est de type fini ou bien les auteurs sont allés trop vite et ont raté l'argument de Green (que je ne comprends pas) ci-dessus ? Tant de questions...

En tout cas : un grand merci pour vos réponses. Je vais continuer de plancher sur le sujet.
Bonne soirée.

pappus · July 2023

Mon cher Traversin

Effectivement j'ai fait de la géométrie algébrique et de la cohomologie de Koszul dans une autre vie dans un autre siècle.

Aujourd'hui devenu bien vieux, j'essaye de retrouver ma jeunesse acnéique en me contentant d'aligner les points et d'enfiler les droites!

Amicalement

pappus

Alceste · July 2023

Bonjour
J'ai repensé à cette histoire.
Je crois avoir trouvé un contre-exemple lorsque le faisceau F est seulement cohérent et pas localement libre. On prend pour F un faisceau gratte-ciel de fibre C.
Pour F, même tensorisé par qL, l'espace des sections globales reste isomorphe à C. Et donc la somme directe de l'article avec q dans Z s'identifie à C[T, 1/T].
Ce qui n'est pas un C[T]-module de type fini.
Cordialement.

Traversin · July 2023

Bonjour Alceste, je suis désolé de répondre aussi tard, j'ai été pas mal occupé cette semaine. Ce contre-exemple me semble fonctionner à merveille, je regarde ça de plus près ce soir. Un grand merci pour cette contribution, je suis un peu plus rassuré. J'ai par ailleurs contacté Daniele Agostini (l'un des trois auteurs de la publication) afin d'avoir plus de détails sur cet article, j'ai inclus dans mon mail ce problème, je reviendrai écrire une mise à jour.

Excellente fin de journée.

Module des sections d'un faisceau cohérent, cohomologie de Koszul

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