Équation diophantienne exponentielle ‹‹ non-Catalan ››

Chaurien
Modifié (October 2023) dans Arithmétique
Équation diophantienne exponentielle ‹‹ non-Catalan ››
Voici un problème qui a une curieuse origine. Il a été posé à l'agrégation de l'enseignement secondaire des jeunes filles, en 1904, sous la forme : « Quelle est, suivant les valeurs attribuées à l'entier positif $n$, la nature de la fraction décimale à laquelle donne naissance la fraction $\frac{1}{n(n+3)} ?$ », Journal de mathématiques élémentaires (Vuibert) n° 12, 15 mars 1907.
Il s'agissait en fait de trouver les valeurs de $n$ telles que la fraction soit « décimale limitée », selon l'expression d'alors, c'est-à-dire telles que le rationnel $\frac{1}{n(n+3)}$ soit décimal. Ceci équivaut au fait que l'entier $n(n+3)$ n'a que les facteurs premiers $2$ et $5$, soit $n(n+3)=2^{p}5^{q}$, avec $p$ et $q$  entiers naturels, ce qui conduit à l'équation diophantienne : $|2^p-5^q|=3$, $(p,q) \in \mathbb N ^2$.
En regardant les petites valeurs de $p$ et $q$, on a fait apparaître à l'époque quatre solutions, mais la question était de savoir  s'il y en avait d'autres. Il semble que l'auteur du problème n'en ait pas mesuré la difficulté, et il n'y a pas eu de solution complète à ce moment.
On a vu par la suite plusieurs attaques partielles, prouvant que les autres valeurs éventuelles pour $n$ étaient nécessairement supérieures  à telle ou telle borne. À ma connaissance, la première solution complète date de 1954, elle est due à un mathématicien polonais et n'utilise que des notions  du programme de MPSI de 2021, avec quand même des nombres assez grands.
Il y a quelque temps, nous avions parlé de l'équation  $|2^p-3^q|=1$, et un petit malin avait dit que c'était plié par le théorème de  Catalan (1844)-Mihăilescu (2002), à quoi j'avais répondu qu'il était intéressant aussi de donner une solution élémentaire. Ici le recours à ce théorème est impossible, et il faut chercher.
Bonne journée.
Fr. Ch.
02/07/2023

Réponses

  • Juste pour assouvir la curiosité paresseuse de certaines lectrices : \[5-2=2^2-1=2^3-5=2^7-5^3=3.\]On n'est pas encore en 1954.
  • LOU16
    Modifié (October 2023)
     Bonjour,
    L'argument suivant, que j'ai fait essentiellement reposer sur une obstruction$\mod 257,\:$ me semble résoudre correctement le problème proposé en 1904 . $\quad$ Soient $p,q \in\N\:\:$ tels que $\:|2^p -5^q| =3.$
    $\bullet\:\:$ Si$\:\: 2^p-5^q=-3,\quad $ alors $ 2^p\equiv 5^q-3\equiv 1-3 \equiv 2 \mod 4.\:\: $ Cela entraîne: $\quad \boxed{p=1, \:q=1.}$
    $\bullet\:\:$ Si $\:\: 2^p-5^q= 3.\quad $ On va prouver que $p<8.\quad $ Dans le cas contraire, on hérite de la congruence : $5^q\equiv -3 \mod 2^8.$
    L'ordre de $5 $ dans $\left(\Z/2^8\Z\right)^{\times} $est égal à $64$ et $5^{35 }\equiv -3 \mod 2^8.\:\:$ Il s'ensuit que $q\equiv 35 \mod 64.$
    On se place désormais dans $\Z/257\Z.$  On observe que $5^{35}\equiv 14, \:\:5^{64}\equiv 16 , \:\:5^{256}\equiv 1 \mod 257, \:\:$ Il vient alors:
    $5^q\equiv 14\:\text{ ou (}16\times 14)\: \text{ ou }(16^2 \times 14)\:\text{ ou }(16^3\times 14) \mod 257, \quad 5^q\equiv 14\:\text{ ou }  -33\:\text{ ou }  -14\:\text{ ou } 33 \mod 257.$
    Dans $\Z/257\Z, \quad 5^q+3 \in\{17,\: -30, \: -11 ,\:36\},\quad 2^p\in \{ \pm 1,\: \pm 2,\: \pm 4,\: \pm 8,\:\pm 16,\: \pm 32,\:\pm 64,\:\pm128\}$
    Cela contredit l'égalité $2^p=5^q+3\:\square\qquad \boxed{ (p,q)\in\left\{(2,0);\:(3,1);\:(7,3)\right\}}$

    Abordée avec les mêmes ingrédients élémentaires, l'équation $|2^p-3^q|= 1 $  est nettement plus facile.
    $\bullet\:\:$ Si $\:\:2^p-3^q=1,\quad$ alors $\:2^p\equiv 3^q+1\equiv  1+1\:\text{ ou }3+1\mod 8.\:$ Cela force $p<3,\:\:\boxed{ (p,q)\in\{(1,0),\:(2,1)\}.}$
    $\bullet\:\:$ Si$\:\:2^p-3^q=-1.\quad$ Si $\:p\leqslant 1,\:\: $ alors $\:\boxed{p=q=1}$.
    Si $p>1,\:\:$alors $3^q-1\equiv 0\mod 4,\:\:q\text{ est pair }, \: q=2k, \:k\in\N^* ,\:\: 2^p =(3^k-1)(3^k+1).$
    $3^k-1=2^r,\:\:3^k+1 =2^s,\:\:r,s\in \N,\:\: r+s=p.\:\:\:\:2^s-2^r =2,\:\:r=1,\:s=2,\:k=1, \quad\boxed{p=3, q=2.}\:\:$.
     






  • Chaurien
    Modifié (July 2023)
    Bravo LOU16 !
    Cette équation a toute une histoire, que je n'ai pas voulu relater auparavant afin de laisser chercher les lecteurs - ce qui inclut les lectrices, n'en déplaise aux bas-de-plafond qui ignorent ou méprisent les règles régissant notre langue française.
    Voici d'abord l'extrait du Journal de Mathématiques Élémentaires de 1907, qui donnait les premiers éléments de solution partielle. On y montrait qu'un nombre n solution, autre que les quatre qu'on a trouvés (1, 2, 5, 125), aurait plus de 115 chiffres décimaux. Je raconterai la suite plus tard.
    On pourrait en profiter pour signaler d'autres équations diophantiennes de la forme $|a^p-b^q|=c$, aux inconnues $(p,q) \in \mathbb N^2$.
    Bonne journée.
    Fr. Ch.
  • Il est plus facile de se lancer dans l'insulte que d'accepter que certaines conventions (ou règles) n'ont pas une portée universelle et intangible.
  • +1 @Math Coss : et sont le médium d'une idéologie toxique (pour être diplomate) et tellement dépassée
    Il ne faut pas respirer la compote, ça fait tousser.

    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
  • Chaurien
    Modifié (November 2023)
    $~~~~$ La question ‹‹ Pour quelles valeurs de l'entier naturel $n$, la fraction $\frac 1{n(n+3)}$ est-elle décimale ?  ››  a été posée par Eugène Ehrhart comme problème n° 104 dans le bulletin de l'APMEP n° 351, décembre 1985, p. 899. Une solution de L. G. Vidiani est parue dans le bulletin de l'APMEP n° 356, décembre 1986, p. 684. 
    Dominique Roux, qui tenait à l'époque cette rubrique des problèmes, en a profité pour donner l'histoire de ce problème. $~~$Il a reproduit ceci dans le recueil : Les 200 premiers problèmes de l'A.P.M.E.P., réunis par Dominique Roux, Volume I, ‹‹ Arithmétique et Théorie des nombres ››, Publication de l'A.P.M.E.P., 1993, n° 92, p. 73. Je vous joins ce texte.
    Bonne journée.
    Fr. Ch.
  • Chaurien
    Modifié (July 2023)
    J'ajoute la solution de 1954 d'Antoni Wakulicz (1902-1988).
    On notera une terminologie qui n'est plus en vigueur aujourd'hui : « (...) pour le module $2^k$ (...) le nombre $5$ appartient à l'exposant $2^{k-2} $». Ceci signifie que le plus petit $t \in \mathbb N^*$ tel que $5^t \equiv 1 (\mod 2^k)$ est $2^{k-2}$. On aura reconnu l’ordre de (la classe de) $5$ dans le groupe multiplicatif $(\mathbb Z / 2^k \mathbb  Z )^\times$. Dans les traités de théorie des nombres de cette époque, on définissait ainsi de manière purement arithmétique, sans recours aux structures-quotients, des notions qu'on voit aujourd’hui comme appartenant à la théorie des groupes.
  • Chaurien
    Modifié (July 2023)
    Face à une équation diophantienne, on peut envisager divers angles d'attaque. Pour cette équation $|2^p-5^q|=3$, on pouvait penser à des méthodes de théorie analytique visant à trouver un minorant pour les éventuelles solutions autres que les quatre qu'on avait trouvées, quitte ensuite à faire des vérifications numériques si ce minorant n'était pas trop grand. Dans sa chronologie, Dominique Roux cite un article de Jean Lemaire de 1983 s'appuyant sur les travaux d'Alan Baker  (1939-2018) sur les formes linéaires de logarithmes. C'était dans le bulletin de l'IREM de Lille, n° 14, mais malheureusement je n'ai pas ce texte. Peut-être quelqu'un pourrait-il nous en faire profiter.
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    (*) Corrigé sur remarque de zeitnot, merci à lui.
  • Chaurien
    Modifié (July 2023)
    Cette histoire d'équation diophantienne ne semble intéresser personne. Je signale quand même aux collègues de prépa que ceci peut fournir un sujet d'exercice, en plein dans le programme MPSI. Je vais quand même continuer, à l'intention des générations futures ;).
    Vous aurez compris que je m'intéresse à ce problème depuis longtemps. J'ai retrouvé dans mes papiers une solution de Charles Notari de 1988, qui recourt à des méthodes tout à fait différentes de celles qu'on a évoquées jusqu'ici. Cette solution est postérieure à la publication de Dominique Roux dans le bulletin de l'APMEP de 1985, et n'y figure donc pas. Malheureusement la référence est incomplète, je présume qu'il s'agit d'un bulletin IREM-APMEP de Toulouse, et peut-être quelqu'un pourrait-il préciser ceci.
    Bonne soirée.
    Fr. Ch.
  • Chaurien
    Modifié (October 2023)
    Merci Sylvain d'avoir trouvé le nom propre de l'équation diophantienne $a^x-b^y=c$, qui est donc l'équation diophantienne de Pillai, du nom du mathématicien indien Subbayya Sivasankaranarayana Pillai (1901-1950). C'est un renseignement précieux pour faire des recherches sur la question. Par exemple j'ai trouvé ceci : https://nyjm.albany.edu/j/2006/12-12v.pdf
    Je m'intéresse aussi à la résolution effective de cette équation pour des valeurs données de $a,b,c$, pas trop grandes. Et sur ce sujet, j'ai trouvé ceci :
    Si j'ai bien compris, ça se résout avec des congruences, comme dans l'exemple cité en tête de ce fil. Il faut trouver une chaîne de modules premiers convenables. On pourrait faire une liste de ces équations avec $a,b,c$ pas trop grands, sans solution, ou bien avec des solutions, certaines inattendues de prime abord comme nous avions vu pour  $2^7-5^3=3$.
    Bonne journée.
    Fr. Ch.
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