Droz-Farny, un alignement inattendu

Jean-Louis Ayme · May 2023

Bonjour,

1. ABC    un triangle
2. H        l'orthocentre de ABC
3. L, M   deux demi-droites perpendiculaires issues de H
4. D, E   les points d'intersection de L, M avec (BC)
5. Y, Z    les points d'intersection de L et (AC), M et (AB)
6. X       le point d'intersection de la parallèle à (AB) issue de D avec la parallèle à (AC) issue de E.
Question :       X, Y et Z sont alignés.

Merci pour votre aide pour la figure.
Sincèrement
Jean-Louis

Rescassol · May 2023

Bonjour
Il suffit d'ajouter le code suivant à mon code du fil précédent:

% Question supplémentaire du 23 Mai 2023

% D, E   les points d'intersection de L, M avec (BC)
% Y, Z   les points d'intersection de L et (AC), M et (AB)
% X      le point d'intersection de la parallèle à (AB) issue de D 
%        avec la parallèle à (AC) issue de E.

% Question :   X, Y et Z sont alignés.

D=Ap; E=Ap(i*u); DB=ApB; EB=ApB(-i*u); % Pourquoi changer de notations ?
Y=Bp; Z=Cp(i*u); YB=BpB; ZB=CpB(-i*u);

[X XB]=IntersectionDeuxDroites(1,a*b,-D-a*b*DB,1,c*a,-E-c*a*EB);
X=Factor(X);

Mat=[X XB 1; Y YB 1; Z ZB 1];
NulXYZ=Factor(det(Mat)) % Égal à 0, donc X,Y,Z sont alignés.

De plus, l'enveloppe des droites (XYZ) quand les droites orthogonales $(L)$ et $(M)$ tournent autour de $H$ est une conique.
Elle est tangente à $(AB)$ et $(AC)$.
Son centre est le milieu de $[BC]$ et ses foyers sont $H$ et l'antipode de $A$ dans le cercle circonscrit.
Mais son équation complexe, que j'ai calculée, est un peu compliquée.

Cordialement,
Rescassol

Jean-Louis Ayme · May 2023

Bonsoir Rescassol,

merci pour ta régulière participation ...à mes propositions de problèmes...
J'ai pour ma part une preuve synthétique, mais j'attends d'autres initiatives.

Sincèrement
Jean-Louis

Jean-Louis Ayme · June 2023

Bonjour,
des problèmes...
http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/Docs/Droz-Farny Addendum.pdf p. 15...

Sincèrement
Jean-Louis

Epinard · July 2023

Bonjour,
Je voudrais apporter quelques suppléments à ce que Rescassol a écrit. Si j'utilise les notations de sa figure, on peut démontrer que les trois points Z', H et Y' sont alignés sur une droite parallèle à (BC). La nature de la conique enveloppée par la droite (ZY) dépend de la valeur de l'angle BAC. Lorsque le triangle ABC est rectangle en A, le problème est dégénéré.
Par ailleurs, le point X décrit une hyperbole dont le centre est le point a, pied de la hauteur du triangle ABC issue de A . Les asymptotes de cette hyperbole sont les parallèles à ( AB) et (AC) qui passent par a.
Si l'on appelle U l'intersection des droites (XA") et (AB), et V l'intersection des droites (XA') et (AC), alors la droite (UV) enveloppe elle aussi une conique tangente à (AB) et (AC) . Si h' désigne le point de contact de cette conique avec (AB) , alors (h'H)//(AC), et l'on a un résultat analogue avec le point de contact avec (AC).
Très cordialement.

jelobreuil · July 2023

Merci beaucoup @Epinard pour ces intéressants développements !

Comment aboutis-tu à ces résultats ? Par un calcul ou par un raisonnement ?

Bien cordialement, JLB

Epinard · July 2023

Bonjour jelobreuil
J'ai démontré l'alignement des points X, Y, et Z à l'aide de ce que Papelier appelle les divisions homographiques. Je ne sais pas si cette terminologie a encore cours ( il faut prendre en compte mon age avancé!). Toujours est il que cette notion quel que soit son nom maintenant petmet d'établir alignement des points X, Y, et Z, enveloppes des droites (ZY) et (UV), et ensemble des points X de façon relativement simple. Et donc pas de calcul dans ces démonstrations.
Très cordialement.

jelobreuil · July 2023

Merci @Epinard de ces précisions qui devraient plaire à @Pappus, s'il passe par ici ! Pour ma part, je vais essayer de regarder cela de plus près ...

Bonne journée, bien cordialement, Jean-Louis B.

Droz-Farny, un alignement inattendu

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