Calcul de somme

OShine
Modifié (June 2023) dans Algèbre
Bonsoir,

Pour $n$ un entier naturel non nul, on considère la somme suivante $S=\displaystyle\sum_{k=0}^{2n} \cos( \dfrac{k \pi}{2n} )$.
Grâce à un changement d'indice, montrer que $S=-S$ puis que $S=0$.
Indication : faire un dessin pour voir comment les termes se simplifient.

Je ne sais pas quel dessin faire (je ne comprends jamais quand on demande de faire un dessin), mais j'ai posé $j=k+2n$ et j'obtiens $S=-\displaystyle\sum_{j=2n}^{4n} \cos( \dfrac{j \pi}{2n} )$.
Mais ensuite je ne sais pas quoi faire.


Réponses

  • Essaie $j=2n-k$...
  • raoul.S
    Modifié (June 2023)
    Tiens cadeau, je t'ai même fait le dessin. Exercice : comprendre le dessin :mrgreen:


  • Bonsoir,
    une autre idée de dessin : cercle trigonométrique :) 
  • OShine
    Modifié (June 2023)
    En effet, ça fonctionne merci, le dessin montre que ça donne $0$ mais il n'explique pas comment tu as trouvé ce changement d'indice.
    Comment as-tu fait pour trouver ?
     
  • On peut aussi étudier sans trop d'effort $s=\sum\limits_{k=0}^{2n}\big(e^{i\frac{\pi}{2n}}\big)^k$.
  • Le point de coordonnées polaires $[1,\pi-\theta]$ est le symétrique du point de coordonnées polaires $[1,\theta]$ par rapport à l'axe des ordonnées.
  • Pense à Euler, enfant.
    Quand on lui a demandé de calculer la somme des entiers de 1 à 100, il a écrit les entiers de 1 à 100 , de gauche à droite, puis ligne en dessous, les mêmes entiers de droite à gauche, et il a fait ça parce qu'il a anticipé que dans chaque colonne de 2 éléments, la somme donnerait 101.

    Ici, si tu mets les différents éléments de cette somme de gauche à droite, puis ligne d'en-dessous, de droite à gauche, la somme de chaque colonne donne 0.
    Et écrire les membres de gauche à droite, puis de droite à gauche, ça revient à 'inverser l'ordre des éléments' sous le symbole $\Sigma$ , et donc à faire en sorte que le premier soit le dernier, et inversement.

    Mais pour arriver à ça, c'est sûr, il faut avoir fait le dessin (le dessin de Raoul.s me paraît plus efficace que le cercle). 
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
  • Sur ce dessin tu es censé voir que la partie réelle de $\omega_0$ est l'opposée de celle de $\omega_6$, celle de $\omega_1$ l'opposée de celle de $\omega_5$, etc. En remplaçant $6$ par $2n$, on voit qu'il faut mettre ensemble $\omega_0$ et $\omega_{2n}$, $\omega_1$ et $\omega_{2n-1}$, $\omega_2$ et $\omega_{2n-2}$,..., $\omega_k$ et $\omega_?$.
    Que vaut ce mystérieux « $?$ » ? Pour les petites valeurs de $k$ ($k=0,1,2$) on voit que quand l'indice de celui de droite augmente de $1$, l'indice de celui de gauche diminue de $1$ ; partant...
    • soit on se dit que pour passer de $0$ à $k$ on a augmenté de $k$ donc il faut diminuer de $k$ pour passer de $2n$ à $?$, autrement dit $?=2n-k$ ;
    • soit (astuce à retenir) on constate que la somme des indices ne change pas : $0+2n=1+(2n-1)=\cdots=k+?$ d'où $?=2n-k$.
  • gai requin a dit :
    On peut aussi étudier sans trop d'effort $s=\sum\limits_{k=0}^{2n}\big(e^{i\frac{\pi}{2n}}\big)^k$.
    Je sais faire ce genre de calcul mais je voulais suivre l'indication de l'énoncé.
  • @Math Coss
    Merci j'ai tout compris.

    @lourrran
    Ok merci.
    Petit exercice de début de sup ça permet de perfectionner mes techniques de calcul.
  • On a $e^{i ( \pi - \theta)} =e^{i \pi} e^{- i( \theta)}$.
    Symétrie par rapport à l'axe des abscisses + symétrie centrale ou rotation de 180 degré = symétrie par rapport à l'axe des ordonnées.
    On le voit sur le cercle. 
  • Transformer les vilains $\cos$ en gentils $\sin$ avec des $\pm \dfrac{\pi}{2}$, et on récupère certainement des $\sin \theta$ et $-\sin \theta$.
  • Tu proposes de tourner ce dessin d'un quart de tour ? Allons-y : \begin{align*}S&=\sum_{k=0}^{2n} \cos\frac{k \pi}{2n} \\ &=\sum_{l=-n}^n\cos\frac{(l+n)\pi}{2n}\\&=\sum_{l=-n}^n\cos\left(\frac{l\pi}{2n}+\frac\pi2\right)\\&=\sum_{l=-n}^n-\sin\frac{l\pi}{2n}\end{align*} et là, on somme une fonction impaire de $l$ sur un ensemble symétrique par rapport à l'origine ($\{-n,-n+1,\dots,n-1,n\}$).
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