Est-il possible de démontrer Syracuse avec un système binaire ?
Réponses
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Confusion entre « maths » et « liste de nombres ou liste de calculs ».
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@gerard0 J'affectionne particulièrement la présentation suivante d'un tel espace métrique :
On considère un espace métrique complet $(F, d_F)$ et un magma unifère $(\mathcal{A}, \circ)$ d'opérateurs $A : F \to F$ vérifiant $d_F(A u, A v) \leqslant d_F(u, v)$ pour tout $u,v \in F$ (en gros, ils sont unitaire).
On peut alors définir la pseudo-distance sur $F$ : $$\mathcal{D}(u,v) = \max(\inf_{A \in \mathcal{A}} d_F(A u, v), \inf_{A \in \mathcal{A}} d_F(u, A v)),$$ qui vérifie toutes les propriétés d'une distance sauf $d(u,v) = 0 \Longrightarrow u = v$. On en déduit l'espace métrique associé $(\mathcal{O}(\mathcal{A}, F), d_{\mathcal{A}})$ qui n'est autre que l'espace quotient de $F$ par la relation d'équivalence naturellement induite par la pseudo-distance $\mathcal{D}$.
En utilisant une méthode classique (combo puissances de deux + découpe en $3$ $\varepsilon$), on démontre que cet espace est complet.
Maintenant, pour lier avec Syracuse, on définit l'opérateur $\textit{shift}$ $\tau : u = (u_0, u_1, ...) \longmapsto (u_1, u_2, ...)$. On choisit $(\mathcal{A}, \circ) = (\mathcal{T}, \circ)$ où $\mathcal{T}$ est le monoïde monogène engendré par $\tau$. On définit ensuite l'injection $\psi : u \in \ell^{\infty}(\mathbb{N}, \mathbb{N}) \longmapsto (u, \tau u, \tau^2 u,...) \in \mathcal{O}(\mathcal{T}, \ell^{\infty}(\mathbb{N}, \mathbb{N}))^{\mathbb{N}}$ qui permet d'identifier n'importe quelle suite d'entiers à une suite d'éléments du bon espace $\mathcal{O}(\mathcal{T}, \ell^{\infty}(\mathbb{N}, \mathbb{N}))$. La conjecture de Syracuse est alors formulée ainsi :
"La suite définie par $u_{n+1} = T(u_n)$ avec $T(x) = \begin{cases} \frac{x}{2} \text{ si } x \text{ est pair} \\ 3 x + 1 \text{ sinon}\end{cases}$ est telle que $u_n \underset{\mathcal{O}(\mathcal{T}, \ell^{\infty}(\mathbb{N}, \mathbb{N}))}{\to} u^*$ où le cycle $u^* = (1,4,2)$ est identifié à $(1,4,2,1,4,2,1,4,2,...)$ en tant qu'élément de $\mathcal{O}(\mathcal{T}, \ell^{\infty}(\mathbb{N}, \mathbb{N}))$."
Ainsi, si on arrive à démontrer que $F$ est contractante sur des sous-ensembles stables par $F$, alors ce sera juste une application du théorème de Picard lié au fait que $u^*$ soit l'unique point fixe sur n'importe quel sous-ensemble stable.
C'est ce sens que je sous-entend quand j'écris : "la suite converge vers le cycle (XXX)." Pour les autres, je n'en sais rien et je ne connais pas d'autres formes de convergence de suites d'entiers vers des cycles. Mais vers des entiers, bien sûr que oui, c'est dans le programme actuel du lycée. -
On peut aussi modifier la suite sans rien perdre en ajoutant si k=1, alors on laisse à 1.
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intuitivement je dirais qu'il faut etablir un resultat qui se rapproche de pour tout n: f^n+1 (lN) C f^n (lN) pour reduire la taille de l'image, bon je me doute ca doit pas etre aussi facile
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Avec des suites réduites (on sabre les termes pairs jusqu’à ce qu’ils ne le soient plus, c’est grotesquement facile à démontrer que c’est toujours le cas), c’est une autre manière de parler de convergence.
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@gerard0 Je ne critiquais pas ta critique, je justifiais l'emploi du mot "converge" car je l'utilise moi-même. Et si tu ne m'avais pas demandé de quel espace métrique je parlais, je n'aurais pas déballé cette usine à gaz tellement inutile qu'elle n'est pratiquement jamais mentionnée dans la littérature (bien que beaucoup utilisent le mot "converge" car en fait, on n'a pas le choix quand on veut aller plus loin que Syracuse).
Et oui j'utilise principalement ce forum pour m'amuser à faire des maths. Mais c'est vrai que Shtam n'est pas vraiment l'endroit idéal.
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De toute manière, si je ne mesure pas une accélération du tapis, cela restera qu'une théorie. La logique voudrait qu'il y ait une augmentation de nombre pair donc while (true) { $ n=n^2+nbPremier_{++} $ }et actuellement j’ai https://www.cjoint.com/doc/23_06/MFohhCVR3ZJ_sortie.txt la suite ver 17h
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Mais pourquoi fournir des fichiers comme ça ?
Même avec 10 To de données comme ça, qu’est-ce que ça apporterait ?
Fournir des statistiques ce n’est pas fournir une preuve. -
Si tu admets qu'il y a de plus en plus d'entiers de la forme $2^n.p $, lorsque n augmente, alors le tapis s'accélère de plus en plus et donc la suite converge quelle que soit la valeur de n. Cependant, en théorie des nombres, l'évidence n'est pas évidente, il est donc préférable de vérifier.
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C’est le premier propos à teneur mathématique de mon point de vue : « L’évidence n’est pas évidente ».Tu comprends donc pourquoi toutes tes affirmations sont insuffisantes dans ce forum.Aussi, « vérifier » ne rend pas la chose évidente… ça sert juste à continuer la recherche dans un sens… la recherche d’une véritable démonstration.Peux-tu aussi préciser mathématiquement ce que signifie « il y a de plus en plus d'entiers de la forme $2^n.p$, lorsque $n$ augmente » ?
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Je ne vois toujours aucun argument qui prouve qu'un nombre un peu agile n'arriverait pas à se faufiler et à éviter les 'descentes ultra-rapides'.
Il y a des nombres qui sont très maladroits : très vite, ils tombent sur un nombre de la forme $i*2^k$ avec $i$ impair et $k$ entier plus ou moins grand ; et du coup, il descendent d'un coup vers 1, ou au moins bien en dessous du point de départ.
Il y a d'autres nombres qui sont beaucoup plus adroits. Ils arrivent à bien se faufiler entre les obstacles, ils vont réussir à avoir 1000 ou 2000 étapes 'au dessus du point de départ' (le temps de vol)
Par exemple, le nombre 2.361.235.441.021.745.907.775, regarde son trajet, tu vas voir qu'il défie toutes les statistiques que tu nous racontes.
Si ce nombre réussit à se faufiler aussi longtemps, pourquoi un autre nombre ne pourrait pas se faufiler encore plus longtemps et ne jamais redescendre à 1 ?
Et pour info, ce nombre a été repéré il y a une quinzaine d'années, on a probablement découvert des nombres encore plus adroits aujourd'hui.
Et dans tous ces calculs, on parle de tout petits nombres, des nombres minuscules avec seulement 10 ou 20 chiffres. Il va se passer quoi quand tu vas tester tous les nombres avec 200000 chiffres ?
Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
L'hypocrisie est pire qu'une vérité qui fait mal. Franck Ntasamara. -
Soit E dans P(lN) m(E) := lim #E inter [1;n] /n
les connaiseurs de Syracuse, a-t-on déjà montré qu'il existe k tel que pour tout n :
m(f^-(n+k)( lN*) ) / m(f^-n( lN*) ) < cst, avec cst <1 ?
Ç'est comme ça que je formaliserais les approches probabilistes, après ça serait une avancée mais à première vue ça ne permet pas d'atteindre le résultat, ça montre juste qu'il est vrai "presque partout".
Edit : je ne suis toujours pas sûr de mon coup mais vous voyez l'esprit quoi
mhh si ça m'a bien l'air d'être ça oui, après l'image réciproque est plus compliquée que l'image directe aussi il faut probablement s'interroger sur les liens entre "mesure" d'image réciproque et mesure image directe (je sais que ce n'est pas une mesure), le résultat ci-dessus a-t-il un équivalent mais exprimé avec des mesures d'images directe ? mhhh -
@lourrran Parce qu'un nombre agile ne peut pas indéfiniment affirmer le contraire, n'oublie pas que dans ce cas, il doit diverger. Donc tendre vers l'infini, et pour info, je suis bien au delà de tes chiffres un petit point à mi-course.il y a plus 1 million éléments dans la suite U_nqtPair /qtImpair=278/117=2.3760683761 qt Element dans U_n =395
qtPair /qtImpair=784/378=2.0740740741 qt Element dans U_n =1162
qtPair /qtImpair=2002/1030=1.9436893204 qt Element dans U_n =3032
qtPair /qtImpair=3579/1792=1.9972098215 qt Element dans U_n =5371
qtPair /qtImpair=6695/3292=2.0337181045 qt Element dans U_n =9987
qtPair /qtImpair=14683/7400=1.9841891892 qt Element dans U_n =22083
qtPair /qtImpair=28182/14053=2.0054080980 qt Element dans U_n =42235
qtPair /qtImpair=56641/28281=2.0027933949 qt Element dans U_n =84922
qtPair /qtImpair=112892/56316=2.0046168052 qt Element dans U_n =169208
qtPair /qtImpair=230529/115626=1.9937470812 qt Element dans U_n =346155
qtPair /qtImpair=452445/225818=2.0035825311 qt Element dans U_n =678263
qtPair /qtImpair=914344/457601=1.9981250041 qt Element dans U_n =1371945Et jusqu'à présent, il semble que le double d'entiers pairs suffise à faire converger la suite U_n. Personnellement, cela me pose un problème, mais je vais devoir m'y résoudre. Cela ne sera pas facile, mais vraiment pas facile du tout. -
Parce qu'un nombre agile ne peut pas indéfiniment affirmer le contraire, n'oublie pas que dans ce cas, il doit diverger .Donc tendre ver l'infinie.Non, absolument pas, totalement faux. C'est dommage de faire une erreur aussi grossière et de vouloir donner des leçons.
On peut parfaitement imaginer un nombre avec 1000 chiffres par exemple, qui se faufile, il monte, il descend, il flotte plus ou moins en tournant toujours aux mêmes niveaux entre 1000 et 1200 chiffres par exemple (oui, multiplier par 10^200, je considère que c'est rester plus ou moins dans les mêmes niveaux), et à un moment ou un autre, après plusieurs milliards d'étapes, pouf, on retombe sur le nombre de départ.
Rien n'exclut ce genre de scénario.
Et dans ce cas, le chemin de Syracuse de ce nombre n'arrivera jamais à 1, et il n'augmentera pas non plus vers des nombres de plus en plus grands ; le chemin en question va simplement tourner en rond, sans cesse.
J'ai bien pris soin de ne pas utiliser le mot 'infini', parce que c'est un mot qui est souvent mal compris.Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
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Si tu divisais les pairs par les impairs de TOUTE les suites de Syracuse déjà testées ça te donnerait exactement 2. Pas environ… exactement !Une autre piste :
S’il y a un autre cycle, alors il y a les mêmes opérations dans le même ordre indéfiniment à partir d’un certain rang.S’il on pouvait borner cette longueur de cycle par un nombre pas trop grand, ce serait bien.
Une autre question :
S’il existe un autre cycle de longueur 3, qu’est-ce que ça donne… ? Peut-on démontrer qu’il n’existe pas d’autres cycles de longueur 3 ?
Voila une petit exercice rigolo, non ? -
Tu peux tout imaginer : il a un comportement au bord de l'infini et l'unicité du cycle. Pour l'instant, j’essaye de comprendre pourquoi il n'y a pas d'accélération ou pourquoi le rapport avoisine 2.
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Quel rapport avoisine 2 ?Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
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"Tu peux tout imaginer" : essaye de démontrer qu'il n'existe pas d'autre cycle de longueur 3. Cela peut apporter une petite satisfaction.
Puis passer à la longueur 4 et quelques autres...
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Les chiffres du matin avec plus de 2 millions presque 3 millions d'éléments différents dans U_n.qtPair /qtImpair=278/117=2.3760683761 qt Element dans U_n =395
qtPair /qtImpair=784/378=2.0740740741 qt Element dans U_n =1162
qtPair /qtImpair=2002/1030=1.9436893204 qt Element dans U_n =3032
qtPair /qtImpair=3579/1792=1.9972098215 qt Element dans U_n =5371
qtPair /qtImpair=6695/3292=2.0337181045 qt Element dans U_n =9987
qtPair /qtImpair=14683/7400=1.9841891892 qt Element dans U_n =22083
qtPair /qtImpair=28182/14053=2.0054080980 qt Element dans U_n =42235
qtPair /qtImpair=56641/28281=2.0027933949 qt Element dans U_n =84922
qtPair /qtImpair=112892/56316=2.0046168052 qt Element dans U_n =169208
qtPair /qtImpair=230529/115626=1.9937470812 qt Element dans U_n =346155
qtPair /qtImpair=452445/225818=2.0035825311 qt Element dans U_n =678263
qtPair /qtImpair=914344/457601=1.9981250041 qt Element dans U_n =1371945
qtPair /qtImpair=1831286/916841=1.9973866789 qt Element dans U_n =2748127Je joins un lien pour ceux qui veulent vérifier ou laissent tourner l'ordinateur du taff ce weekend.a partir d'un jdk et d'une console dos javac Syracuse.java ; java Syracuse >sortie.txtEnsuite, je suis assez étonné que personne n'ait percuté. Si je mesure deux fois plus d'entiers pairs que d'entiers impairs dans U_n , cela veut dire que je fais deux fois plus de divisions que de multiplications. Et comme 2 * 2 > 3, comment puis-je faire diverger le système ?Et pour ce qui concerne le mythe du nombre agile, je parle du mythe car personne ne l'a trouvé. Pour qu'il existe, il faudrait qu'il n'évolue pas dans le même environnement que les autres entiers, de manière à avoir au mieux autant de pairs que d'impairs dans la suite U_n , ou que le comportement de l'algorithme de Syracuse change subitement. Autant dire que cela me semble assez improbable. Par contre, il est vraiment bizarre que l'on ne trouve aucune trace de cette approche.Sinon une idée pour calcule la densité des entier de la forme $2^n.p$ autour de $U_{nx}$.Parceque je suis toujours sur la vitesse de mon tapi roulant qui ne peu pas être constante.
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Bonjour,
Des statistiques, des constatations, des convictions, bref, du baratin, c'est à dire pas de mathématiques, pas de preuve.
Visiblement, tu ne sais pas ce qu'est une démonstration en mathématiques.
D'autre part, démontrer qu'il n'y a qu'un cycle de longueur $3$ n'est pas trop difficile, il suffit de raisonner sur la parité du plus petit et du plus grand nombre d'un tel cycle.
Cordialement,
Rescassol
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N'inversons pas les rôles, si tu veux bien.Tu écrivais. Parce qu'un nombre agile ne peut pas indéfiniment affirmer le contraire, n'oublie pas que dans ce cas, il doit diverger. Donc tendre ver l'infiniEt c'est une grossière erreur de lycéen (lycéen en échec). Je t'ai expliqué pourquoi c'était une erreur.
Es-tu d'accord là dessus oui ou non ?
Selon ton niveau de bonne foi, on verra si cette discussion a un intérêt ou pas.
Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
L'hypocrisie est pire qu'une vérité qui fait mal. Franck Ntasamara. -
La suite de Syracuse génère des suites d'entiers qui ont deux fois plus d'entiers pairs que d'entiers impairs pour un "n" donné. Cela peut être démontré, Je ne sais pas comment le faire ou je n'ai pas trouvé le moyen de le démontrer de manière simple, mais cela est démontrable. Cependant, une fois que cela est démontré, le reste devient simple. De mon point de vu.
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Pour n = 7 , la suite de Syracuse est 7 22 11 34 17 52 26 13 40 20 10 5 16 8 4 2 1
Soit 6 entiers impairs et 11 entiers pairs.
11 n'est pas le double de 6
Donc ta phrase ci-dessous est fausse.La suite de Syracuse génère des suites d'entiers qui ont deux fois plus d'entiers pairs que d'entiers impairs pour un "n" donnéTu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
L'hypocrisie est pire qu'une vérité qui fait mal. Franck Ntasamara. -
je suis sur la vitesse de mon tapis roulant qui ne peu pas être constante. un avis ?Vous n'allez pas aimer, mais nous serons d'accord pour dire que plus "n" est grand, plus il y a de nombres premiers différents. Donc, $3*(p₁p₂p₃*...pₙ)+1$ sera de plus en plus éloigné de $ 2^n(p₁p₂...*pₙ)$. Ce n'est pas évident à comprendre ou expliquer , mais je n'ai pas trouvé d' explication simple. En gros, le coefficient multiplicateur est une constante "3" et il y a de plus en plus de nombres premiers différents ou de produit de nombre premiers différents au tour de U_n.En gros .Ce que je veux dire, c'est que lorsque $U_{n0}$ est proche de l'infini, la suite de Syracuse diverge, tandis que lorsque $U_{n0}$ est loin de l'infini, la suite de Syracuse converge. Cela est dû au fait que lorsque j'effectue l'opération $3U_n+1$, je ne rencontre pas ou très peu d'entier de la forme $ 2^n.p$ lorsque $U_{n0}$ est proche de l'infini .Et donc cela aura un impact sur la proportion de nombres pairs/impairs.
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Evite le mot 'infini', évite les expressions comme "proche de l'infini".
Les mathématiciens amateurs font systématiquement des erreurs dès qu'ils utilisent ce mot.
Ou alors, commençons par définir ce que veut dire "proche de l'infini".
Est-ce que $10^{10000}$ est proche de l'infini ou pas ?
Et je n'ai pas compris ta réponse. 11 n'est pas le double de 6, donc ton histoire de truc qui serait le double d'un autre, c'est faux.
Ou alors, ce que tu veux dire, c'est que grosso-modo, en moyenne, le rapport entre ... et ... serait proche de 2.
Mais dans ce cas, quand on fait des statistiques, on sait que la moyenne est un indicateur très réducteur : réduire des millions de chiffres à un seul, la moyenne de tous ces nombres, c'est très réducteur.
A minima, on essaie de regarder 1 ou 2 autres indicateurs, sur la dispersion.
Le poids moyen de français adultes est de 75kg, mais cette moyenne cache plein de disparités. Il y en a qui font 30kg de moins que cette moyenne, et il y en a qui font jusqu'à 120kg de plus que cette moyenne.
La répartition n'est pas symétrique par rapport à la moyenne.
Et dans ton cas, c'est comment ?
Est-ce que la répartition est très concentrée autour de 2 ?
Est-ce qu'elle est symétrique ?
Est-ce que la dispersion est stable (en gros la même dispersion pour des nombres à 10 chiffres et pour des nombres à 20 chiffres ?)
Si tu veux aborder la question sous un aspect 'statistique', c'est le strict minimum à envisager.
La question "Syracuse", c'est : existe-t-il un entier si atypique qu'il ne convergerait pas vers 1. Donc clairement, ce n'est pas en parlant de moyennes qu'on va répondre à cette question ( ce que tu essayes de faire), mais en parlant de cas extrêmes.
Et enfin, dernier point : même avec des statistiques claires, précises, tout ce que ces calculs permettront de dire, c'est : on conjecture que partant de n'importe quel entier, on arrive à 1.
Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
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Pour démontrer qu'il n'existe qu'un cycle de longueur 3, on peut aussi résoudre les équations du premier degré suivante :
$3x/2/2+1=x$
$(3x/2+1)/2=x$
$(3x+1)/2/2=x$.
Cela fournit les entiers $4$, $2$ et $1$. On aurait pu aller plus vite : être sûr de commencer par un nombre impair permet de ne résoudre plus qu'une seule équation pour avoir TOUS les cycles de longueur 3.
Cela donne une méthode, par exemple algorithmique, pour démontrer qu'il n'y a pas de cycle (ou qu'il y en aurait ?) de longueur $N$.
Je note : $p(x)=3x+1$ et $i(x)=x/2$ (pour "pair/impair").
Un petit raisonnement permet d'affirmer que l'on trouve forcément $i\circ p$ que je note $q$ lorsqu'il y a un cycle. Explicitement : $q(x)=\frac{3}{2}x+\frac{1}{2}$.
Les nombres qui cyclent avec une longueur 5 par exemple sont alors les points fixes de : je supprime le $\circ$ de la composition car après c'est un peu lourd.
$p\circ p\circ p\circ q$ (que je note désormais $pppq$) ou $ppqp$ ou $pqq$ ou $qppp$ ou $qpq$ ou $qqp$.
On peut même supprimer quelques cas en se forçant à commencer par un nombre impair et il reste à étudier tout ce qui commence par $q$ (à droite, donc, pour la composition) :
$pppq$ ou $pqq$ ou $qpq$
Remarque : comme on a testé les entiers plus petits que $10^{20}$ (j'ai lu ça quelque part mais c'est peut-être très obsolète), on doit pouvoir démontrer que les "petits cycles" n'existent pas. Ce n'est qu'une vague idée... -
Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
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Salut.Je viens de lire. Plutôt agréable d’ailleurs. J’étais en mode collégien dans mon précédent message. Là, ça monte d’un cran mais de manière très accessible je trouve.Il y a un article sur les cycles de longueur 5 (j’avais pris « 5 » au hasard). La méthode est différente et je n’y ai pas pensé du tout.On multiplie les nombres du cycle ça donne un produit (abcde).Puis en appliquant la suite à chacun et en scrutant d’assez près la parité de chacun, le produit (constant car on parle de cycle) donne (a/2.(3b+1).c/2….). Et ça donne une équation.
Méthode pour les cycles de longueurs 3 : a < b < c
On pose : P = abc.
Ils ne peuvent pas tous être pairs.
Le plus grand, c, est forcément pair car "3n+1" agrandit, DONC : c devient c/2.
Le plus petit, a, est forcément impair car "n/2" rétrécit, DONC : a devient 3a+1.
Le médian, b, à travailler...
P = c/2*(3a+1)*f(b)... -
J'avais déjà mis ce lien en début de cette discussion, en réponse à un message de 123rourou. Je ne pense pas qu'il l'ait lu.
Quand on se lance dans plein de calculs pour démontrer je ne sais quoi, ça me paraît essentiel de s'informer auparavant de ce que disent des gens ayant une culture indiscutable. Faire un état de l'art.
Des gens du CNRS se disent : bon, on n'a jamais vu de cycles, on sait que des cycles de longueur 1000 ou 10000 ou 100000, c'est impossible, mais des cycles de longueur 17 Milliards, ça peut le faire, avec 200 lignes d'explication.
Et des amateurs viennent dire sur ce forum : impossible qu'il y ait des cycles !
Sans plus d'argument que ça !
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L'hypocrisie est pire qu'une vérité qui fait mal. Franck Ntasamara. -
En effet.Pour ma part, je n’ai rien lu du tout sur cette conjecture sauf des idioties ou des lapalissades.
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Bonjour,Je vais considérer la conjecture de Syracuse.$ U_{n+1} = \begin{cases}\frac{U_n}{2} & \text{si } U_n \text{ est pair} \\3U_n + 1 & \text{si } x_n \text{ est impair}\end{cases} $
Nous serons d'accord pour dire qu'il y a plus d'entiers pairs que d'entiers impairs dans la suite $U_n$.
Parceque chaque fois qu'il y a un entier impair, la parité de U_n+1 change, ce qui n'est pas le cas lorsque U_n est pair.
Nous serons également probablement d'accord pour dire que la densité d'entiers pairs est identique au nombre de divisions etqu'elle est directement impactée par la présence d'entiers de la forme $2^n.p$ dans la suite $U_n$ ,et que cette proportion définit le comportement de cette suite (veuillez noter la prudence).Maintenant, je vais laisser les spécialistes essayer d'expliquer le théorème de la raréfaction étendu aux entiers composés et de justifier le résultat suivant.le calcul s’effectue sur les même entier, ici les 20 premiers éléments de $u_n$qtPair /qtImpair=12/8=1.5000000000 nombre de chiffre pour n 478
qtPair /qtImpair=13/7=1.8571428572 nombre de chiffre pour n 956
qtPair /qtImpair=13/7=1.8571428572 nombre de chiffre pour n 1912
qtPair /qtImpair=13/7=1.8571428572 nombre de chiffre pour n 3824
qtPair /qtImpair=12/8=1.5000000000 nombre de chiffre pour n 7647
qtPair /qtImpair=12/8=1.5000000000 nombre de chiffre pour n 15293
qtPair /qtImpair=14/6=2.3333333334 nombre de chiffre pour n 30586
qtPair /qtImpair=13/7=1.8571428572 nombre de chiffre pour n 61172
qtPair /qtImpair=13/7=1.8571428572 nombre de chiffre pour n 122343
qtPair /qtImpair=12/8=1.5000000000 nombre de chiffre pour n 244685
qtPair /qtImpair=13/7=1.8571428572 nombre de chiffre pour n 489370
qtPair /qtImpair=13/7=1.8571428572 nombre de chiffre pour n 978739
qtPair /qtImpair=12/8=1.5000000000 nombre de chiffre pour n 1957477
qtPair /qtImpair=13/7=1.8571428572 nombre de chiffre pour n 3914953qtPair /qtImpair=14/6=2.3333333334 nombre de chiffre pour n 7829905
La densité se situe autour de 1/5 et 1/8.ci dessous sur les 10 000 premiers éléments, bon l'idée n'est pas très bonne, les entiers sont trop courts pour que cela soit significatif avec presque 2 million de chiffres.
qtPair /qtImpair=6671/3329=2.0039050766 nombre de chiffre pour n 478
qtPair /qtImpair=6691/3309=2.0220610457 nombre de chiffre pour n 956
qtPair /qtImpair=6654/3346=1.9886431561 nombre de chiffre pour n 1912
qtPair /qtImpair=6664/3336=1.9976019185 nombre de chiffre pour n 3824
qtPair /qtImpair=6680/3320=2.0120481928 nombre de chiffre pour n 7647
qtPair /qtImpair=6730/3270=2.0581039756 nombre de chiffre pour n 15293
qtPair /qtImpair=6662/3338=1.9958058718 nombre de chiffre pour n 30586
qtPair /qtImpair=6652/3348=1.9868578256 nombre de chiffre pour n 61172
qtPair /qtImpair=6637/3363=1.9735355338 nombre de chiffre pour n 122343
qtPair /qtImpair=6690/3310=2.0211480363 nombre de chiffre pour n 244685
qtPair /qtImpair=6664/3336=1.9976019185 nombre de chiffre pour n 489370
qtPair /qtImpair=6663/3337=1.9967036261 nombre de chiffre pour n 978739
qtPair /qtImpair=6714/3286=2.0432136336 nombre de chiffre pour n 1957477Et je constate effectivement une diminution de la proportion d'entiers pairs,autour de $U_{n0}$. Ce qui, selon moi, a une grande incidence sur le comportement de la suite surtout pas très loin de l'infinie .Après, je vous laisse commenter ces éléments, mais nous avons une théorie qui tient la route et une mesure qui la confirme. avec ce code source https://www.cjoint.com/c/MFqhuDmCeWJJ'adore quand un plan se déroule sans accroc. -
Bonjour
Syracuse est décidément à la mode dans la rubrique Shtam ! Six sujets dans les dix premiers listés. Est-ce une manifestation des fortes températures en ce mois de Juin ? -
Non, j'étais venu pour autre chose, mais cela sera pour plus tard. À titre personnel, je n'ai jamais vraiment compris l'atrait ou l'intérêt de ce problème. Le seul aspect intéressant que je vois dans ce problème, c'est l'unicité de la décomposition de tous les entiers en écriture de Syracuse.
-
Bonjour,
Que signifie "pas très loin de l'infinie" ?
En tous cas, je ne sais pas de quoi tu n'es pas très loin, mais tu t'en rapproches ................
Cordialement,
Rescassol
-
$ \dfrac{Qt_{pair}}{Qt_{impair}} \underset{U_{n0} \to +\infty}{\longrightarrow} <\dfrac{1}{2} $.
-
Le forum donne trop de visibilité à ce genre de délires au détriment de tout le reste. Du fait de leur « activisme », ces messages sont presque toujours en haut de la pile et ça donne l’impression qu’ils s’emparent du forum.
-
Quand tu écris : qtPair /qtImpair=12/8=1.5000000000 nombre de chiffre pour n 478
ça veut dire quoi ?
Tu traites n=478. Admettons. Ca veut dire que tu regardes la suite de Syracuse qui commence par 478, c'est à dire 478, 239, 718, 359, etc ? et tu comptes le nombre d'étapes paires et impaires ?
Ou bien tu traites toutes les suites de Syracuse pour tous les nombres n jusqu'à 478 , et tu comptes le nombre d'étapes paires et impaires en moyenne pour tous ces nombres ? A priori non, tu n'aurais probablement pas des résultats aussi 'ronds'.
Je ne sais pas.
Plus bas , pour le même n=478, le même indicateur qtPair /qtImpair, nous n'avons plus 12/8, mais 6671/3329.
Donc le texte explicatif est le même, mais le résultat est différent.
J'essaie de m'intéresser à ce que tu fais, mais c'est incompréhensible. Ou bien je suis trop nul, mais je réfute cette hypothèse.
Bilan :
- tu fais des calculs dont tout le monde (à part toi) sait qu'ils ne peuvent mener nulle part
- tu es dans une bulle totalement fermée, et incapable de dire clairement ce qu'il y a dans ces calculs
- forcément, tu vas très vite passer pour un fou et te faire chambrer, normal.
PS pour aider AD : derrière le mot atrée dans ce message, il faut certainement comprendre 'attrait'Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
L'hypocrisie est pire qu'une vérité qui fait mal. Franck Ntasamara. -
Quand tu écris : qtPair /qtImpair=12/8=1.5000000000 nombre de chiffre pour n 478
ça veut dire quoi ?C'est un indicateur pour estimer la valeur de "n". Ici, il faut 478 chiffres pour écrire "n". Par exemple, pour le dernier, il faut plus de 31 millions de chiffres pour écrire "n". Et accessoirement, faire un calcul les 20 premiers éléments de la suite $U_n$ ce n'est pas significatif,car je suis tombé sur un nombre de la forme $2^{5,6,7,8,..}p$.Donc, il y a un biais dans la mesure de l'estimation de la raréfaction d'un entiers de la forme $2^n p$ autour de $U_{n0}$ou la suite ne se comporte pas comme les autres parce qu’il exit $u_{nx}=2^{100}.p$qtPair /qtImpair=13/7=1.8571428572 nombre de chiffre pour n 489370
qtPair /qtImpair=13/7=1.8571428572 nombre de chiffre pour n 978739
qtPair /qtImpair=12/8=1.5000000000 nombre de chiffre pour n 1957477
qtPair /qtImpair=13/7=1.8571428572 nombre de chiffre pour n 3914953
qtPair /qtImpair=14/6=2.3333333334 nombre de chiffre pour n 7829905
qtPair /qtImpair=14/6=2.3333333334 nombre de chiffre pour n 15659809
qtPair /qtImpair=15/5=3.0000000000 nombre de chiffre pour n 31319618
Du coup, pour les 50 premiers éléments de la suite $U_n$ j'ai:
qtPair /qtImpair=34/16=2.1250000000 nombre de chiffre pour n 478
qtPair /qtImpair=33/17=1.9411764706 nombre de chiffre pour n 956
qtPair /qtImpair=34/16=2.1250000000 nombre de chiffre pour n 1912
qtPair /qtImpair=36/14=2.5714285715 nombre de chiffre pour n 3824
qtPair /qtImpair=30/20=1.5000000000 nombre de chiffre pour n 7647
qtPair /qtImpair=32/18=1.7777777778 nombre de chiffre pour n 15293
qtPair /qtImpair=33/17=1.9411764706 nombre de chiffre pour n 30586
qtPair /qtImpair=32/18=1.7777777778 nombre de chiffre pour n 61172
qtPair /qtImpair=31/19=1.6315789474 nombre de chiffre pour n 122343
qtPair /qtImpair=34/16=2.1250000000 nombre de chiffre pour n 244685
qtPair /qtImpair=32/18=1.7777777778 nombre de chiffre pour n 489370
qtPair /qtImpair=33/17=1.9411764706 nombre de chiffre pour n 978739
qtPair /qtImpair=31/19=1.6315789474 nombre de chiffre pour n 1957477
De toute façon, au mieux j'aurais entre-ouvert une porte, au pire je me serais trompé.
Mais pour l'instant, mis à part les propos sans fondement, je n'ai lu aucun contre-argument.
Bon week end.
-
Un contre-argument est éventuellement nécessaire quand il y a un argument.
-
Attend, ce n'est pas clair. Restons sur la ligne avec 478.
Tu pars d'un nombre $n$ qui s'écrit avec 478 chiffres. Un nombre entre $10^{477}$ et $10^{478}-1$ : un nombre pris au hasard dans cet intervalle ? Ou bien tu traites tous les nombres de cet intervalle, et tu fais la moyenne.
Tu calcules la suite de Syracuse (la succession des $3n+1$ si $n$ impair et $n/2$ si $n$ pair),
et pour ce nombre $n$, la série de calculs arrive à $1$
Elle arrive à 1 après 12 étapes paires et 8 étapes impaires. Forcément, ce n'est pas ça, partant d'un nombre avec 478 chiffres, il va falloir au moins $478* ln(10)/ln(2)$ étapes paires.
Et pour ce 478, tu disais que le nombre d'étapes était (12,8) , et aussi (6671,3329), et maintenant, tu dis que c'est (34,16)
Et tu traites des nombres qui ont 31 Millions de chiffres !!! Bravo, c'est certainement un record.
- Soit tu joues la provocation, tu écris des truc 'aléatoires' pour voir les réactions.
- Soit tu es sérieux, mais tu es complètement à l'ouest.
Je ne vois pas d'autre proposition dans cette alternative.Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
L'hypocrisie est pire qu'une vérité qui fait mal. Franck Ntasamara. -
Cette histoire de pairs et d'impairs me fait penser à la poule et l'oeuf, ou bien au fromage avec ses trous.
-
lourrran a dit :Un nombre entre $10^{477}$ et $10^{478}-1$ : un nombre pris au hasard dans cet intervalle ? Ou bien tu traites tous les nombres de cet intervalle, et tu fais la moyenne.Ça, c'est clair : il est informatiquement impossible de traiter les quelque $9\cdot10^{477}$ nombres de l'intervalle.
-
Bonjour
@123rourou
Syr(478) :==> 239 718 359 1078 539 1618 809 2428 1214 607 1822 911 2734 1367 4102 2051 6154 3077 9232 4616 2308 1154 577 1732 866 433 1300 650 325 976 488 244 122 61 184 92 46 23 70 35 106 53 160 80 40 20 10 5 16 8 4 2 1 c
qtPAIR = 35
qtImpair = 18
==> ( qtPair / qtImpair ) = 35/18 = 1.944444 vous , vous dites que le quotient = 12/8 = 1.50000 ?
BERKOUK -
Ah ? Moi qui pensais que c'était (l')Atrée de la trilogie d'Eschyle (règlements de comptes en famille à Mycènes).
-
Générateur de $ U_{n0}$
BigInteger n=new BigInteger("616514652462515461546154615461546415412541254125"); n=n.pow(10); BigInteger p=new BigInteger("216161614654"); while(true) { Syracuse(n); p=p.nextProbablePrime(); n=n.pow(2); n=n.add(p); java.awt.Toolkit.getDefaultToolkit().beep(); System.out.println("n="+n); //juste pour vous }
le code à était posté dans le premier msg.Les 2 ou 3 premières valeurs de n avec les statistiques sur les 50 premiers termes de la suite $U_n$ -
Donc , tu prends un nombre très grand généré de façon plus ou moins aléatoire.
Ici, le premier nombre de ton fichier sortie.txt, c'est :
n=62931495907532890889840822942476672184009101959295229734839770952378481009345519600794739148127392843785780046028502719077796304265751041245280152599655146916091766516109297378960026706809865233703150274121020284183143649410330781414179610667016042818362091192024336971288179547282869644533559812924962374749483227429532947659942228744474014687886494155939887284670471475688869203933011004350086161715745795761574103942596688908841308354765016472331985721273301691502016800726102096156226478372537366481584319457609464147257315253975197941059580578772962613714214603486649429999083637776311882326346123640975367680450941172889825642700394090105842669395840265329776865967867063196956906666789141302682895431646984441443574796672015918592875447452725976843587991466798455173542091018925279030296291553292035893501523340070947330394578299135556305862863895616287329707850820211981988584132012971636360656799653411076246600774908301900723017752170778905755288
Ok, Belle bête.
Tu parcours l'algorithme de Syracuse à partir de ce nombre, et tu regardes uniquement les 50 premières étapes de ce chemin.
Pourquoi pas.
Tu obtiens ici 34 étapes paires et 16 étapes impaires. Un ratio proche de 1/2.
Et tu recommences avec le même nombre mais élevé au carré, etc en élevant au carré à chaque fois.
Ok, pourquoi pas.
Et les autres résultats que tu donnais, c'est en faisant varier le paramètre 'nombre de premières étapes'. Tu as refait la même chose, avec 20 ou 10000 à la place de 50.
Et à priori, toujours en partant du même nombre n, mais c'est un détail.
Ok.
A ce niveau, je pense avoir compris ce que tu faisais. Disons même : j'ai compris ce que tu faisais.
La question que les gens se posent habituellement sur cette conjecture, c'est : est-ce qu'il n'y aurait pas ici ou là un nombre un peu malicieux qui ne descend pas vers 1.
Toi, tu as pris un échantillon très petit : une trentaine de nombres en tout, et tu dis : sur ces 30 nombres, je ne vois rien d'atypique.
Le rapport est proche de 2 en moyenne, et c'est complètement évident.
Parlons en terme de 'suite compressée' : si $u_k$ est impair, on fait l'opération $u_{k+1} = (3 \times u_k+1)/2 $ et sinon on fait l'opération $u_{k+1}= u_k/2$
Partant d'un nombre choisi aléatoirement, et suffisamment grand (entre $A$ et $B$).
Ce nombre a une probabilité 1/2 d'être pair : il y a autant de nombres pairs que d'impairs entre A et B
L'opération 'suite compressée' donne un autre nombre 'aléatoire', dans l'intervalle $[A_1, B_1]$ , ce nombre a une chance de 1/2 d'être pair
etc.
Ce n'est pas très rigoureux, mais à chaque fois, on a une probabilité 1/2 d'être pair.
Donc, pour 10000 étapes, on a en moyenne $p=5000$, et $i= 5000$
Et la suite classique (non compressée) , c'est la même suite, mais en ajoutant plein d'étapes paires.
Là où la suite compressée donnerait par exemple $p=4950$ étapes paires et $i=5050$ étapes impaires, dans la suite classique, on va compter $p'=p+i=4950+5050=10000$ et $i'=i=5050$
Donc en gros 2 fois plus d'étapes paires que d'impaires.
Mais c'est une moyenne.
Toi, tu ne calcules pas une moyenne, tu calcules un seul exemple. Tu prends un nombre, et tu constates : le nombre que j'ai choisi se comporte comme la moyenne.
En France, le poids moyen d'un adulte est de 75kg.
Tu interroges un adulte pris au hasard dans la rue, il pèse 77kg, ok, parfait, ça confirme que le poids moyen des français est de 75Kg.
C'est un peu léger comme vérification. Surtout qu'au final, ce qu'on veut, ce n'est pas connaître le poids moyen, mais le poids maximum.
Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
L'hypocrisie est pire qu'une vérité qui fait mal. Franck Ntasamara. -
Parce que je fais l'hypothèse que $ \frac{Qt_{pair}}{Qt_{impair}} \underset{U_{n0} \to +\infty}{\longrightarrow} <\frac{1}{2} $<copier/coller>Et je constate effectivement une diminution de la proportion d'entiers pairs,autour de $U_{n0}$. Ce qui, selon moi, a une grande incidence sur le comportement de la suite surtout pas très loin de l'infinie .Après, je vous laisse commenter ces éléments, mais nous avons une théorie qui tient la route et une mesure qui la confirme.</>Et pour rappelle je ne parle pas de la suite de Syracuse compressé .Je ne comprends pas pourquoi tu ne comprends pas ce que je dis.Je rajoute les derniers résultats, je suis toujours avec un $ U_n$ grand (31319618 chiffres pour écrire n) et sur les 50 premiers éléments de $U_{n0}$qtPair /qtImpair=34/16=2.1250000000 nombre de chiffre pour n 478Je laisse tourner ce week-end ce n'est pas très bon pour mon hypothèse. je sais ...
qtPair /qtImpair=33/17=1.9411764706 nombre de chiffre pour n 956
qtPair /qtImpair=34/16=2.1250000000 nombre de chiffre pour n 1912
qtPair /qtImpair=36/14=2.5714285715 nombre de chiffre pour n 3824
qtPair /qtImpair=30/20=1.5000000000 nombre de chiffre pour n 7647
qtPair /qtImpair=32/18=1.7777777778 nombre de chiffre pour n 15293
qtPair /qtImpair=33/17=1.9411764706 nombre de chiffre pour n 30586
qtPair /qtImpair=32/18=1.7777777778 nombre de chiffre pour n 61172
qtPair /qtImpair=31/19=1.6315789474 nombre de chiffre pour n 122343
qtPair /qtImpair=34/16=2.1250000000 nombre de chiffre pour n 244685
qtPair /qtImpair=32/18=1.7777777778 nombre de chiffre pour n 489370
qtPair /qtImpair=33/17=1.9411764706 nombre de chiffre pour n 978739
qtPair /qtImpair=31/19=1.6315789474 nombre de chiffre pour n 1957477
qtPair /qtImpair=35/15=2.3333333334 nombre de chiffre pour n 3914953
qtPair /qtImpair=33/17=1.9411764706 nombre de chiffre pour n 7829905
qtPair /qtImpair=33/17=1.9411764706 nombre de chiffre pour n 15659809
qtPair /qtImpair=37/13=2.8461538462 nombre de chiffre pour n 31319618
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