Sous-groupe alterné $\frak A_4$

Bethebesteveryday · June 2023

$\newcommand{\A}{\mathfrak{A}}\newcommand{\S}{\mathfrak{S}}$Bonsoir
S'il vous plait, pourriez-vous m'expliquer la solution de la question 3/ l'idée de la réponse surtout.

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Merci beaucoup d'avance.

SandwichFromage · June 2023

On suppose que $H$ est un sous groupe de cardinal 6 de $\A_4$, et on montre que ça implique que $H$ contient les 6 3-cycles de $\A_4$. Comme $H$ est un sous-groupe il contient aussi le neutre donc $H$ serait de cardinal 7, ce qui est absurde. Ça montre que $\A_4 $ n'a pas de sous-groupe de cardinal 6.
Il faudrait que tu expliques ce que tu ne comprends pas, parce que le texte est déjà explicatif donc on ne peut pas faire grand chose d'autre que paraphraser.

Bethebesteveryday · June 2023

SandwichFromage

$\A_4$ contient 8 3-cycle !

[Inutile de reproduire le message précédent. AD]

AD · June 2023

Et alors, si $H$ en contient 6 plus le neutre, il ne peut être d'ordre 6.

Alain

Bethebesteveryday · June 2023

Pourquoi on s'interesse aux éléments qui ne sont pas des 3-cycles ?

OShine · June 2023

J'avais le même exercice et je n'ai jamais compris la solution.

AD · June 2023

Parce que l'on ne veut pas invoquer le théorème de Cauchy, qui n'a sans doute pas encore été vu.

Alors on compte : dans $\A_4$ il n'y a que 4 éléments qui ne sont pas des trois cycles. Donc une partie à 6 éléments ($H$ en l’occurrence) contient donc au moins un 3-cycle (et même au moins 2, mais pour le moment on n'a besoin que d'un).

Alain

Sous-groupe alterné $\frak A_4$

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