Raisonnement par analyse-synthèse et double inclusion

Balta62 · June 2023

Bonjour tout le monde.
Je me posais une question concernant un "type" de raisonnement : le raisonnement par double inclusion.

Par exemple, si je veux montrer que le lieu géométrique décrit par un point est un cercle (imaginons) et bien je commence par montrer que ce point est nécessairement sur le cercle puis je me donne un point sur le cercle et je montre qu'il correspond à une position prise par le point.

En d'autres termes si j'appelle E l'ensemble décrit par le cercle (noté C), je montre d'abord que E est inclus dans C puis je montre l'inclusion inverse.

Cependant, je me demandais si on pouvait "ranger" ce type de raisonnement dans le tiroir des raisonnements par analyse synthèse (et plus généralement si montrer l'égalité de deux ensembles par double inclusion constitue un raisonnement par analyse-synthèse) ?
Bien cordialement.
Jérôme.

Dom · June 2023

Oui.

Un raisonnement « Analyse - Synthèse » est bien un raisonnement qui permet un sens direct et un sens réciproque (d’une assertion) ce qui revient à un raisonnement par double inclusion.

SandwichFromage · June 2023

Le raisonnement par analyse synthèse permet en effet de montrer une implication, puis la réciproque d'une équivalence, ce qui revient fondamentalement au même que de montrer une inclusion puis l'inclusion inverse entre deux ensembles. Mais le raisonnement par analyse synthèse permet surtout de montrer que $ A \iff B $, où on ne connaît pas $B$ à l'avance : on cherche à caractériser une certaine classe d'objets (par exemple, les fonctions continues sur $\mathbb R$ telles que $f(x) = f(2x)$) mais on ne sait pas à quoi s'attendre a priori.

Pour montrer une double inclusion, on doit connaître à l'avance les deux ensembles : la conjecture est établie, tandis que le raisonnement par analyse synthèse permet de trouver ce qu'on veut montrer tout en le montrant.

Raisonnement par analyse-synthèse et double inclusion

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