Racine d'un polynôme

On peut faire par récurrence sur le degré. 
C'est vrai pour $d=1$, si c'est vrai pour tous les polynômes de degré $d$ de cette forme, prenons $P$ de cette forme et de degré $d+1$ ;
alors sa dérivée est de la forme  $d[X^d -c'_{d-1}X^{d-1} - ... - c'_0]$ où les $c'_i$ sont $>0$ : le polynôme $\frac 1 d P'(X) = X^d -c'_{d-1}X^{d-1} - ... - c'_0$ a une unique racine dans $\mathbb R^*_+$ ; sachant $P'(0) < 0$ et $P'(x) \xrightarrow[x\to +\infty]{} +\infty $, on en déduit que $P'$ est strictement négatif de 0 à un certain $\alpha \in \mathbb R^*_+ $ puis strictement positif, d'où les variations de $P$ : strictement décroissant entre $0$ et $\alpha$ puis strictement croissant. Or $P(0) = -c_0 < 0$ donc $P$ a une unique racine dans $\mathbb R^*_+$

Très joli ! De manière brutale, j'aurais utilisé la règle des signes de Descartes.

Non. Mais elle peut être abordée en exercice ou en devoir je suppose.