Théorème de Wilson, recherche de preuve
Bonjour ou bonsoir, voir l'heure)
D'abord, énoncé :
D'abord, énoncé :
Théorème de Wilson
Un nombre $ p≥2 $ est premier si et seulement si $\quad (p-1)! \equiv -1 [p]$.
Un nombre $ p≥2 $ est premier si et seulement si $\quad (p-1)! \equiv -1 [p]$.
Lorsque, j'ai vu ce théorème, je me suis dit un poids lourd, car il y a une factorielle.
Peux-on donner des preuves magnifiques, claires et simples à ce théorème ?
Merci d'avance.
Peux-on donner des preuves magnifiques, claires et simples à ce théorème ?
Merci d'avance.
Réponses
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Bonsoir. Voici une preuve.
Le chat ouvrit les yeux, le soleil y entra. Le chat ferma les yeux, le soleil y resta. Voilà pourquoi le soir, quand le chat se réveille, j'aperçois dans le noir deux morceaux de soleil. (Maurice Carême). -
Salut Tyoussef, la preuve (donnée par Gauss il me semble) est sans doute la plus simple et la plus claire .Si $p=2$ alors le résultat est clair.Si $p$ est premier impair alors $(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^*$ est de cardinal $p-1$ ($p-1$ est donc pair puisque $p$ est impair) et les seuls éléments de $(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^*$ qui sont leurs propres inverses sont $1$ et $-1$.On peut donc regrouper les autres éléments et leurs inverses par deux pour calculer $\overline{(p-1)!}$ et on obtient : $\overline{(p-1)!}=\overline{1} \times \overline{-1}=\overline{-1}$ . D'où le résultat.Pour la réciproque, je te laisse faire la preuve en exercice.Lorsque notre cher Gebrane, le 😄 farceur, intervient dans une question d'algèbre, c'est une véritable joie pour les lecteurs.
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Pour la réciproque.Si $p\geq 2$ n'est pas premier tous ses diviseurs (qui ne sont pas $p$) sont inférieurs ou égaux à $p-1$.En particulier, si $p$ a pour décomposition en facteurs premiers $q_1^{\alpha_1}\times\dots\times q_n^{\alpha_n}$, les $q_i^{\alpha_i}$ sont premiers entre eux deux à deux, et inférieurs ou égaux à $p-1$ donc ils divisent tous $(p-1)!$. Puisqu'ils sont premiers entre eux cela signifie que leur produit, qui est $p$, divise aussi $(p-1)!$ donc on a $(p-1)!\equiv 0\mod{p}$Le passé est sinistre, le présent terne, mais heureusement nous n'avons pas d'avenir.
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OOOups; ce théorème est très vieux ...
" Le théorème de Wilson a été découvert à la fin du dixième siècle par le mathématicien arabe Ibn al-Haythamqu’on nomme aussi Alhazen. Le résultat ressurgit, sans démonstration, à la fin du dix-huitième siècle dans les écrits de Edward Waring qui l’attribue en 1770 à son élève John Wilson. L’année suivante, Lagrange en donne deux démonstrations dans son article [LAG]. En fait, Leibniz (1646-1716) connaissait déjà le résultat et sa démonstration mais ne les avait pas publiés (voir [RAS] pour de plus amples considérations historiques)." -
Dans $\mathbb{F}_p$, le produit $2.3\ldots(p-2)$ comporte un nombre pair de facteurs qui se rassemblent en paires nombre / inverse. Puisque $2.3\ldots(p-2) = 1$, il apparaît clair que $(p-1)! = p-1 = -1 \pmod{p}$.
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Attention, si p=4, 1×2×3=2[4].
The real danger is not that computers will begin to think like men, but that men will begin to think like computers.
-- Harris, Sidney J. -
Nicolas : $p$ est premier ici donc pourquoi supposer que $p=4$ ... ?
Lorsque notre cher Gebrane, le 😄 farceur, intervient dans une question d'algèbre, c'est une véritable joie pour les lecteurs. -
@NicoLeProf : Je pense ce que voulait dire @nicolas.patrois est que c'est un peu rapide de déclarer sans explication qu'on peut apparier comme il le fait car, a priori, rien n'empêche qu'un entier et son inverse multiplicatif dans $\mathbb{F}_p$ pourraient être congrus modulo $p$.
Le passé est sinistre, le présent terne, mais heureusement nous n'avons pas d'avenir. -
Pour tout $p$ premier, $1,2,\ldots,p-1$ sont les racines de $X^{p-1}-1$ d'après Fermat donc, d'après les relations coefficients-racines, on a $(p-1)!=-1\bmod p$.
Si réciproquement, $p\geq 2$ vérifie $(p-1)!=-1\bmod p$, alors $1,2,\ldots,p-1$ sont inversibles modulo $p$ donc $p$ est premier.
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Bonjour Tyoussef,
le document joint peut t'intéresser.
Bonne journée -
@Rombaldi : bonjour. J'espère que tu vas bien. De quel livre provient cet extrait, s'il te plait ?
Le chat ouvrit les yeux, le soleil y entra. Le chat ferma les yeux, le soleil y resta. Voilà pourquoi le soir, quand le chat se réveille, j'aperçois dans le noir deux morceaux de soleil. (Maurice Carême). -
Bonjour, NicoLeProf oui l'idée de Gauss, est super, et même magique. Je ne l'ai pas comprise tout suite, en fait Gauss est dans le corps $\left( \mathbb{Z}/p\mathbb{Z},+,. \right)$, dans ce corps la factorielle $(p-1)!$ regroupe tout les éléments du corps $\left( \mathbb{Z}/p\mathbb{Z},+,. \right)$. Alors tout les éléments retrouvent leurs inverses, de plus $p-1$ est pair, donc deux à deux, on a $x.x^{-1}=1$.
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bonjour, Je viens de lire votre document, je vais prendre un peu de temps ... car je ne connais pas SYLOW THEOREM,
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@gai requin
Bonjour, vous pouvez détailler plus s'il vous plaît. Le Fermat : lequel des Fermat ? Excusez mon modeste savoir.Grand merci. -
@Rombaldi
bonjour, oui c'est intersession, même remarque, queThierry Poma a dit :@Rombaldi : bonjour. J'espère que tu vas bien. De quel livre provient cet extrait, s'il te plait ?Cordialement. -
@ NicoLeProfOn vous attend avec impatience.
Il y a une autre démonstration qui ressemble à ce que vous avez fait, je parle de la factorielle, vous et Gebrane dans un l'autre fil. La démonstration de Lagrange.
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Bonjour Thierry,
de mon coté ça va bien. J'espère qu'il en est de même pour toi.Le document joint dans mon précédent message est extrait d'un livre d'algèbre pour l'agrégation publié chez Deboeck.
Bonne journée. -
@Rombaldi : effectivement, il s'agit peut-être de la deuxième édition de Mathématiques pour l'agrégation - Algèbre et géométrie: Éléments de cours avec près de 300 exercices corrigés. Je le possède. Ce qui m'a mis dans l'erreur, ce sont les numéros de pages qui ne correspondent pas. Serait-ce une prochaine édition ? Je le suppose. Je te remercie pour ta réponse.
Le chat ouvrit les yeux, le soleil y entra. Le chat ferma les yeux, le soleil y resta. Voilà pourquoi le soir, quand le chat se réveille, j'aperçois dans le noir deux morceaux de soleil. (Maurice Carême). -
$\mathbb{F}_p$, ce n'est rien d'autre que l'ensemble (des classes) $\{ 0,1,2,\ldots,p-1 \}$. C'est juste une notation raccourcie par rapport à $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ qui sous-entend qu'on parle de corps ($\mathbb{F}$ pour "field", implicitement $p$ premier). Par exemple, $\mathbb{F}_{125}$ est le corps à $125$ éléments, à ne pas confondre avec l'anneau $\mathbb{Z}/125\mathbb{Z}$.
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On peut aussi récupérer Wilson en faisant correspondre la structure multiplicative de $\mathbb{F}_p$ avec sa structure additive, en ayant remarqué préalablement que $(p-1)!$ est d'ordre $2$.
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Bonjour!
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