Partie compacte et stable par produit de GLn(C)

SandwichFromage · May 2023

Bonjour
Soit $X$ est une partie compacte, stable par produit et non vide de $\mathrm{GL}_n(\mathbb C)$.
Soit $A \in X$, soit $\lambda$ une valeur propre complexe de $A$. J'ai montré que $\lambda \in \mathbb U$, et j'aimerais ensuite montrer que $\ker(A-\lambda I_n) = \ker(A-\lambda I_n)^2$.

J'ai montré que $(A-\lambda I_n)^2 X = 0 \implies -A(A-2\lambda I_n)X= \lambda^2 X $, pour essayer de me rapprocher de ce que je veux montrer mais je n'arrive pas à aller plus loin.
Auriez-vous des idées ? Bien sûr il n'y a qu'une inclusion à montrer, mais sous des hypothèses de compacité de $X$, j'ai du mal à voir.

(Remarque. On peut montrer que $X$ est un sous-groupe de $\mathrm{GL}_n(\mathbb C)$, mais ce n'est pas l'objet ici je pense).

Guego · May 2023

Si $\ker(A-\lambda I_n) \neq \ker((A-\lambda I_n)^2)$, alors tu peux montrer qu'il existe deux vecteurs colonnes $V_1$ et $V_2$ tels que $AV_1 = \lambda V_1$ et $AV_2 = V_1 + \lambda V_2$. Calcule alors $A^n V_2$ pour tout $n\in \N$ et tu verras que ça n'est pas borné, ce qui contredit la compacité.

bisam · May 2023

On peut aussi présenter le raisonnement dans le sens direct.

Si $V\in \ker((A-\lambda I_n)^2)$ et $W=(A-\lambda I_n)V$ alors pour tout entier $p\geq 1$, $A^pV=\lambda^p V+p\lambda^{p-1}W$ donc $W=\frac{1}{p}\left(\lambda^{1-p}A^pV-\lambda V\right)$ et on fait tendre $p$ vers $+\infty$ pour conclure que $V\in \ker(A-\lambda I_n)$.

MrJ · May 2023

Peut-on montrer (facilement) que $\lambda\in\mathbb{U}$ sans montrer préalablement que $G$ est un groupe ?

Madec · May 2023

on considère un vecteur propre $X$ associé à $\lambda$ une valeur propre de $A$
si $ |\lambda |> 1$ alors $ \| A^n(X)\| $ tend vers l'infini soit $|||A^n|||$ tend vers l'infini et c'est incompatible avec $X$ partie compacte de $ GL_n(\C)$ qui doit être bornée.
Si $|\lambda | <1 $ alors la suite $A^n$ dans $X$ compacte converge (enfin une suite extraite) vers $ B $ dans $X$, on aurait alors $B$ avec une valeur propre nulle ce qui est contradictoire avec le fait que $ B\in GL_n(\C)$.
Soit $ | \lambda |=1$.

Izolg · May 2023

Si $A\in X$ possède une valeur propre $|\lambda|\neq 1$, on prend $x_0$ un vecteur propre associé. Par stabilité par multiplication alors $(A^n)_{n\geq 0}$ est une suite de $X$. Par compacité on extrait une sous suite convergente vers $B\in X$. Que vaut $\Vert Bx_0\Vert$ ?

MrJ · May 2023

@Izolg : Merci !

Partie compacte et stable par produit de GLn(C)

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