Problème avec la formule de Burnside

UItraviolet · May 2023

Bonjour à tous, je suis tombé sur un exercice qui me laisse perplexe.
"Un groupe de 35 éléments agit sur un ensemble de 19 éléments sans fixer aucun d'eux. Combien y a-t-il d'orbites pour cette action ?"
D'après la formule de Burnside, en notant $G$ le groupe et $X$ l'ensemble à 19 éléments, on a : $Card(\Omega )=\frac{1}{\left| G\right|}\sum_{g\in G}Card(X^{g})$, avec $\Omega$ l'ensemble des orbites (distinctes), et $X^{g}$ l'ensemble des éléments de X fixés par $g$. Vu que $X^{g}$ est vide pour tout $g$ d'après l'énoncé (l'action ne fixe aucun élément de l'ensemble $X$), on trouve 0 orbites ??

UItraviolet · May 2023

Je me doute bien que je dois mal avoir compris le "sans fixer aucun d'eux" car dans la définition même d'une action, l'élément neutre est censé fixer tous les éléments de X

UItraviolet · May 2023

Ok je suis idiot, c'est l'action entière qui fixe un élément de X, c-à-d, pour tout g appartenant à G, g.x=x, je regardais du mauvais côté

JLapin · May 2023

Sans fixer aucun élément de $X$ signifie qu'aucun élément $x$ de $X$ ne vérifie $g\cdot x=x$ pour tout $g$ dans $G$.

LOU16 · May 2023

Bonjour,

Il me semble qu'il importe ici de "savoir" qu'il n'existe, à un isomorphisme près, qu'un seul groupe d'ordre $35:\:\:(\Z/35\Z,+).$

Ainsi, si $G$ est un groupe d'ordre $35$, alors $G $ possède un élément $a$, générateur de $G$, d'ordre $35$.

Si de plus $G$ agit "sans point fixe" sur $E=[\![1;19]\!]$, alors il existe un morphisme $\Phi: G\to \mathfrak S_E $ tel que $\Phi(a)$ soit une permutation sans point fixe et d'ordre $35$ de $E$. ($\:\:\Phi(a) $ ne peut être d'ordre $1,5,$ ou $7$ car cela imposerait des points fixes à $\Phi(a)$ et à l'action de $G$.)

$\Phi (a)$ est donc un produit de deux $7-\text{cycles}$ et d'un $5-\text{cycle}$ disjoints.

$$\text{ Le nombre d'orbites de l'action de } G\text{ sur } E \text{ est égal à }3.$$

Math Coss · May 2023

Une orbite a un cardinal qui divise 35. Pas d'orbite de cardinal 35 dans un ensemble de cardinal 19 et pas d'orbite de cardinal 1 s'il n'y a pas de point fixe sous le groupe. Il s'agit donc de décomposer 19 comme somme de termes égaux à 5 ou 7. Il n'y a qu'une façon. Ici la structure du groupe n'intervient pas directement.

LOU16 · May 2023

@Math Coss a dit: "Ici,la structure du groupe n'intervient pas directement"

Oui,on peut en effet tout-à-fait s'en passer.

UItraviolet · May 2023

Oui c'est exactement la méthode utilisée dans la correction, la somme des cardinaux des orbites vaut 19, et chaque cardinal d'orbite divise 35 donc soit 1,5,7 et 1 est impossible (contradiction avec pas de point fixe)

Problème avec la formule de Burnside

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