Signature d'une permutation d'ordre 2

UItraviolet
UItraviolet
Modifié (May 2023) dans Algèbre
Bonjour à tous, je ne parviens pas à comprendre la justification d'un des exemples de mon cours.
"On pose $\sigma$ une permutation d'ordre 2 de $G$ qui est un groupe fini d'ordre $2n$ (c'est une involution) qui n'a pas de point fixe : sa décomposition en produit de cycles à support disjoints est un produit de $\frac{\left|G \right|}{2} = n$ transpositions. En particulier sa signature est $(-1)^{n}$."
Je ne comprends pas pourquoi la décomposition de $\sigma$ se fait forcément en produit de transpositions, est-ce parce que $\sigma$ est d'ordre 2, et que s'il y avait disons un 3-cycle dans sa décomposition (qui n'est donc pas d'ordre 2), alors $\sigma$ ne pourrait pas être d'ordre 2 ? Dans ce cas, y a-t-il un moyen de généraliser ce résultat où une permutation d'ordre 3 se décomposerait en produit de 3-cycles à support disjoints uniquement ? 
"Young man, in mathematics you don't understand things. You just get used to them." John Von Neumann

Réponses

  • Traversin
    Traversin
    Bonjour, de l'existence et l'unicité (à l'ordre près) de la décomposition des permutations en produit de cycles à supports disjoints découle facilement le résultat stipulant que l'ordre d'une permutation est égal au plus petit multiple commun des longueurs des cycles apparaissant dans sa décomposition.
    Comprends-tu ce que cela implique pour ta question ?
  • UItraviolet
    UItraviolet
    Pareil je ne comprends pas d'où vient le $\frac{\left|G \right|}{2}$?
    "Young man, in mathematics you don't understand things. You just get used to them." John Von Neumann
  • Traversin
    Traversin
    Je ne sais pas si tu comprends le lien entre ma réponse et ta question initiale. Si tu le comprends, alors ajoute à cet argument le fait que ta permutation ne possède pas de points fixes et tu verras assez vite d'où vient $\dfrac{|G|}{2}$.
  • Titi le curieux
    Titi le curieux
    Pour la décomposition en cycle d'ordre 2 comme te l'a dit Traversin, c'était le fait que l'élément était une involution qui comptait. Pour la signature, c'est le résultat, le fait que la permutation n'a pas de point de fixe et l'ordre 2n de $|G|$qui comptent. 
  • JLT
    JLT
    Si une permutation se décompose en cycles disjoints d'ordres $a_1,\ldots,a_k$ alors son ordre est le PPCM des $a_1,\ldots,a_k$.
  • UItraviolet
    UItraviolet
    Ok merci à tous, j'ai écris mon deuxième post sans rafraîchir la page donc je n'avais pas vu qu'il y avait déjà des réponses ahah. C'est beaucoup plus clair maintenant!
    "Young man, in mathematics you don't understand things. You just get used to them." John Von Neumann
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