Théorème de Weierstrass trigonométrique

Yann Le Gac
Modifié (May 2023) dans Analyse
Bonjour à tous
Je me suis intéressé récemment au théorème de Weierstrass qui dit que toute fonction périodique peut-être approchée uniformément par des polynômes trigonométriques de la bonne période. J'avais pour idée que l'on pouvait le démontrer avec le théorème de Weierstrass qui approche une fonction continue sur un segment par des polynômes (classiques). Mais voilà que je bloque : aurais-je eu une fausse bonne idée ?
Merci pour vos réponses.
YLG

Réponses

  • etanche
    Modifié (May 2023)
    Weierstrass pour les fonctions trigonométriques voir le problème 2.
  • Milas
    Modifié (May 2023)
    Bonjour
    C'est possible 
    Tu trouves une démonstration dans Kobeissi page 50 si tu veux.
  • Positif
    Modifié (May 2023)
    Théorème
    Soit  $P_n(x)= c_n \Big( \dfrac{1+ \cos t}{2} \Big)^n$, avec $c_n$ choisi pour [que] l’intégrale sur $[0,2\pi]$ soit l’unité et $g$ ta fonction périodique qu’on va supposer de période $2\pi$. Si $g_n(x) = P_n \star f(x)$, la suite de polynômes trigonométriques converge uniformément vers $g$.
    Tu remarqueras que c’est exactement le même énoncé / preuve que le théorème de Weierstrass mais avec $(1+\cos t)^n$ au lieu de $(1-t^2)^n$.
    ---> I believe in Chuu-supremacyhttps://www.youtube.com/watch?v=BVVfMFS3mgc <---
  • Milas
    Modifié (May 2023)
    Oui positif
    Mais ce n'est pas la démonstration que demande Yann le Gag
    En fait il y en a plein des démonstrations pour ce résultat.
  • Positif
    Modifié (May 2023)
    @Milas
    Je suppose que monsieur @Yann%20Le%20Gac est en L2, et qu'il a démontré Weierstrass avec cette méthode de convolution. Je lui propose donc la même démonstration dans le cas trigonométrique. Utiliser directement le "Weierstrass classique" ne va pas marcher car les polynômes vont bien approximer sa fonction sur $[0, 2\pi]$ mais ça va exploser ailleurs et c’est probablement ce souci que l’auteur n’arrive pas à gérer. 
    ---> I believe in Chuu-supremacyhttps://www.youtube.com/watch?v=BVVfMFS3mgc <---
  • Milas
    Modifié (May 2023)
    Bonjour positif
    Mais on peut déduire Weiersrass trigonométrique de théorème d'approximation de Weierestrass.
    Et que j'avais dit que cette démonstration est dans le livre de Kobeissi page 50
    On peut aussi le déduire de théorème de Fejer
    Et bien sûr il y a d'autres démonstrations.
    [Eh oui, ici, Karl Weierstrass (1815-1897) prend toujours une majuscule, tout comme Salim Kobeissi (je te laisse mettre les dates)  :)  AD]
  • Ainsi que Fejér, qui semble avoir été malmené par le correcteur orthographique. 
  • math2
    Modifié (May 2023)
    Je démontre effectivement ce théorème habituellement avec Fejér, ce qui est assez naturel. Je n'ai pas le livre de Salim, mais il me semble que cela fonctionne par relèvement : décomposant une fonction périodique $f$ en ses parties paires et impaire, puis regroupant le tout, on doit pouvoir écrire $f$ sous la forme $ t \mapsto F(e^{it})$ avec $F$ continue à qui on appliquera le théorème de Weiertrass. 
  • Milas
    Modifié (May 2023)
    Bonjour math2
    Tu as raison on commence avec f paire et périodique ou on trouve une démonstration dans la troisième partie de sujet mp1 mines ponts 2015 
    Après on traite le cas plus difficile f impaire et périodique 
    Puis on conclut.
  • Rombaldi
    Modifié (May 2023)
    Bonjour,
    vous trouverez ici : http://maths.rombaldi.free.fr/Livres/ErrataEtExercicesSupplementairesOral2.pdf
    une démonstration de "Weierstrass polynomial implique Weierstrass trigonométrique". C'est l'exercice 13.1 page 119.
    Bonne journée

  • Merci pour ce partage !
  • Milas
    Modifié (June 2023)
    Positif a dit :
    @Milas
    Je suppose que monsieur @Yann%20Le%20Gac est en L2, et qu'il a démontré Weierstrass avec cette méthode de convolution. Je lui propose donc la même démonstration dans le cas trigonométrique. Utiliser directement le "Weierstrass classique" ne va pas marcher car les polynômes vont bien approximer sa fonction sur $[0, 2\pi]$ mais ça va exploser ailleurs et c’est probablement ce souci que l’auteur n’arrive pas à gérer. 
    Bonjour positif 
    Je m'excuse j'avais oublié de te répondre.
    En fait la fonction en question et les polynômes trigonométrique sont périodiques.
    Donc il suffisait de travailler sur cet intervalle.
    Ce que fait l'auteur.
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