Rendre la monnaie

On suppose que $n$ clients avec des billets de cinq euros (et seulement cinq) et $m$ clients avec des billets de dix euros (et seulement dix) attendent avant l'ouverture de la piscine. Cela coûte 5 euros de rentrer dans la piscine. Au départ la caisse du vendeur est vide. De combien de façons peut-on agencer notre file de $m+n$ personnes de sorte que tout le monde puisse régler et rentrer dans la piscine ? On va d'abord chercher le cas $m = n$.

Mon approche.
Je note $P(n, m)$ cette quantité. Déjà si $n< m, P(n, m) = 0$ et $P(1, 0) = 1, P(0, 1) = 0, P(1, 1) = 1$. Maintenant je tire deux clients de ma file au hasard. Ou je tire deux clients qui ont cinq euros, ou je tire deux clients qui ont dix euros ou bien un client qui a cinq euros et un client qui a dix euros. Je peux tirer ces configurations au hasard avec respectivement probabilités $\frac{\binom{n}{2} }{ \binom{m+n}{2} }, \frac{\binom{m}{2} }{ \binom{m+n}{2} } $ et $\frac{ mn }{ \binom{m+n}{2} } $. Donc :
\[ P(n, m) = \frac{1 }{\binom{m+n}{2}} \Big\{ \binom{n}{2} P(n-2,m ) + mn P(n-1, m-1) + \binom{m}{2} P(n, m-2) \Big\}  \]
Qu’en pensez-vous ? Discussion.