Agreg interne, leçon 423

permaths
permaths
Modifié (May 2023) dans Concours et Examens
Bonjour à tous,
je suis en train de traiter la leçon 423.
Exemples d'utilisation des théorèmes de convergence dominée et de convergence monotone.
Je ne trouve pas d'exemple concernant la convergence monotone.
Est-ce que quelqu'un en aurait un ? Avec une référence ?
Merci par avance.
Mots clés:

Réponses

  • Dom
    Dom
    Bonjour,

    Cela devrait convenir.

    Cordialement

    Dom

    Édit : désolé pour les références, je n’en ai pas trace.
    Mais le 2 est très classique il me semble.
    Il est parfois traité par convergence dominée mais est faisable par convergence monotone.102176
    102178
  • permaths
    permaths
    merci Dom, oui je connaissais le 2, mais le faisais avec la convergence dominée
  • michael
    michael
    L'exercice 2 (noté ainsi dans le message de Dom) est traité dans Analyse de Xavier Gourdon (dans un sujet d'étude du chapitre sur les suites et séries, je crois) mais, dans mon souvenir, c'est fait avec le théorème de convergence dominée (à vérifier).
  • Chat-maths
    Chat-maths
    @michael

    Je viens de vérifier dans le Gourdon, c'est effectivement traité avec la convergence dominée dans la correction.
  • michael
    michael
    C'est pas passionnant mais voici une autre idée que celles proposées par Dom pour le théorème de convergence monotone :
    déterminer les limites, quand $n$ tend vers $+ \infty$ de :
    $\displaystyle{\int_0^{\frac{\pi}{4}} \tan^n x \, dx}$
    $\displaystyle{\int_0^{+\infty} \dfrac{1}{\left( x^p + 1\right)^n} \, dx}$, $p \in ]0 \, ; \, + \infty[$ fixé.
    $\displaystyle{\int_0^{+\infty} \dfrac{e^{-\frac{x}{n}}}{1+x^2} \, dx}$.

    Référence: Analyse 4 (2e année MP, PSI, PC, PT), 3e édition, Jean-Marie Monier, Dunod.
    Exercice 4.1.27 (page 26), questions a, e, h.
    Pour la première et la dernière, Monier donne une autre méthode. Peut-être que ça peut être intéressant de formuler l'exercice en ce sens (par exemple : déterminer la limite de ... de deux façons différentes).
  • michael
    michael
    Merci pour la confirmation, Chat-maths.
  • Dom
    Dom
    En effet, c'est fait partout avec une convergence dominée mais j'avais pourtant une petite voix qui me disait "ça doit suffire le "monotone" ici ":

    J'ai regardé un peu :

    1) Les fonctions considérées sont prises avec des indicatrices d'intervalles $[0;n]$ donc ça doit passer.

    2) Au pire, en ne considérant que les termes d'indices impairs, la suite de fonctions définies sur $\R^+$, $(t\mapsto (1-\frac{t}{n})^n)_n$ est bien une suite croissante, sauf erreur.
  • Bruno12
    Bruno12
    Modifié (May 2023)
    michael a dit :
    C'est pas passionnant mais voici une autre idée que celles proposées par Dom pour le théorème de convergence monotone :
    déterminer les limites, quand $n$ tend vers $+ \infty$ de :
    $\displaystyle{\int_0^{\frac{\pi}{4}} \tan^n x \, dx}$
    $\displaystyle{\int_0^{+\infty} \dfrac{1}{\left( x^p + 1\right)^n} \, dx}$, $p \in ]0 \, ; \, + \infty[$ fixé.
    $\displaystyle{\int_0^{+\infty} \dfrac{e^{-\frac{x}{n}}}{1+x^2} \, dx}$.

    Référence: Analyse 4 (2e année MP, PSI, PC, PT), 3e édition, Jean-Marie Monier, Dunod.
    Exercice 4.1.27 (page 26), questions a, e, h.
    Pour la première et la dernière, Monier donne une autre méthode. Peut-être que ça peut être intéressant de formuler l'exercice en ce sens (par exemple : déterminer la limite de ... de deux façons différentes).
    Bonjour
    Le théorème de convergence monotone peut s'appliquer dans le cas $(f_n)_{n\in \mathbb{N}} $ croissante ou $(f_n)_{n\in \mathbb{N}}$ décroissante, nous sommes bien d'accord ?
    Je comprends bien que l'utilisation du théorème de convergence monotone plutôt que celui de convergence dominée évite de trouver une fonction intégrable qui domine toutes les autres mais y a-t-il d'autres avantages ? Souvent, dans les exercices, on utilise plutôt la convergence dominée.
    Et sinon, quelqu'un aurait-il un exemple où le théorème de convergence monotone s'applique et où l'on ne peut pas utiliser la domination ?
    Autre remarque : ces deux théorèmes, j'ai l'impression, s'utilisent beaucoup avec la théorie de Lebesgue, alors qu'à l'agrégation interne il n'y a que l'intégrale de Riemann au programme. N'y a-t-il pas là comme une incohérence ?
    Cordialement.
    Bruno
  • Dom
    Dom
    C’est à la limite en effet. 
    Il existe je crois un théorème de convergence dominée mais rédigée dans le contexte « Riemann » dans le sens où l’on ajoute une hypothèse. 
    Désolé d’être aussi vague. 
  • Dom
    Dom
    Je viens de tomber là-dessus : 
    https://mathinfo.unistra.fr/websites/math-info/irem/Publications/L_Ouvert/n099/o_99_1-9.pdf

    Il faudrait aussi comparer l’énoncé du TCD classique Lebesgue et celui du programme de l’interne pour voir s’il y a une différence. 
  • sway
    sway
    Modifié (May 2023)
    Bonjour
    Je m'étais posé la même question pour la convergence monotone. Difficile de trouver des exemples.
    Dans le livre de S. Kobeissi et D. Meneu, il n'y a qu'un exercice sur les 7 de la leçon qui utilise le théorème de convergence monotone après celui de convergence dominée, avec une intégrale de $u_n(t)=\dfrac{1}{(ch(t))^n}$. (mentionné également dans l'OEP de J. Franchini et JC Jacquens
    Je n'ai vu aucun exercice dans le livre de leçons pour l'oral 2 de E. Rombaldi.
  • Milas
    Milas
    Modifié (May 2023)
    Bonjour sway
    Dans Kobeissi il utilise le théorème de convergence monotone deux fois :dans l,exercice 2 et dans l exercice 7
    [Inutile de recopier le dernier message. AD]
  • Romanesco
    Romanesco
    Modifié (May 2023)
    Le théorème de convergence monotone peut être pratique pour réaliser une interversion des signes somme et intégrale lorsque l'on a une série de fonctions où les f_n sont continues (par morceaux), positives, intégrables et où il y a convergence simple de la suite des sommes partielles.
    Peut-être que tu connais ce résultat comme un théorème d'interversion à part entière mais c'est un corollaire direct du théorème de convergence monotone.
    Voici un exemple d'exercice, qui ne me parait pas complètement évident, et peut-être utilisable dans la leçon : 

  • Bruno12
    Bruno12
    Modifié (May 2023)
    Romanesco
    Oui, joli... merci.
    Cet exercice est-il dans le Gourdon ou dans un autre manuel ?
    [Inutile de recopier le dernier message. AD]
  • Milas
    Milas
    Modifié (May 2023)
    Bonjour 
    Je pense qu'un exercice sur le théorème de convergence monotone est intéressant si on ne peut le faire aussi facilement avec le théorème de convergence dominée.
  • Romanesco
    Romanesco
    Modifié (May 2023)
    @Bruno12 : il est dispo dans un vieux livre d'exercices de prépa d'Eric Merle intitulé sobrement ... Maths :D ( https://www.armitiere.com/livre/138672-maths-exercices-avec-indications-et-corriges--eric-merle-ellipses-marketing ) J'avais beaucoup travaillé dessus, c'est un recueil de petits exercices types énoncés d'exos de colles, je l'aime beaucoup.
    Après n'importe quelle application de ce théorème d'interversion (fonctions positives donc suite des sommes partielles croissantes) me paraît vraiment adapté, c'est juste que celui-ci est assez complet (il faut justifier l'existence de la série et de l'intégrale, faire apparaître une somme grâce à 1/(1-e^(-bx)), justifier l'interversion, qui est donc le point en lien avec la leçon, puis faire un peu de calcul).
    @Milas oui je suis d'accord. Tu dis ça en général ou par rapport à l'exemple que j'ai donné ?
    Après, mis à part si la monotonie de la suite (f_n) est compliquée à mettre en évidence, l'application du théorème de convergence monotone me semble souvent plus rapide puisqu'il n'y a pas à vérifier l'hypothèse de domination.
  • Milas
    Milas
    Modifié (May 2023)
    Bonjour Romanesco
    Quand on a croissance la suite est majorée par sa limite.
    Je pense que le théorème de convergence monotone peut être utile puisque il y a dedans une condition nécessaire et suffisante alors que dans le théorème de convergence dominée il y a seulement condition suffisante.
    On voit ceci dans l'exercice 7 dans Kobeissi que je conseille de voir (il utilise le convergence monotone à un certain moment et on ne peut pas utiliser aussi facilement la convergence dominée.
    Aussi le 13 avril j'avais répondu sur une question pour montrer qu'une suite d'intégrales tend vers l'infini en utilisant le théorème de convergence monotone qu'on ne pouvait pas faire avec le théorème de convergence dominée.
    Sinon il y a de très jolies avec des probabilités qui sont un peu longues à écrire et j'ai la paresse de le faire.
    En fait si vous voulez construire des petites applications du théorème de convergence monotone vous pouvez construire une suite croissante telle que l'intégrale de sa limite est infinie et vous déduisez que la suite des intégrales tend aussi vers l,infini.
    [Ne pas confondre l'apostrophe avec la virgule. Merci. AD]
  • gerard0
    gerard0
    attention Milas, ta touche ' écrit ,.
  • Milas
    Milas
    gerard0 a dit :
    attention Milas, ta touche ' écrit ,.
    ????
  • Dom
    Dom
    Gérard dit que dans cet extrait, l’apostrophe est remplacée par la virgule. 


  • gerard0
    gerard0
    Milas, il est toujours préférable de relire son message soit avant (aperçu), soit immédiatement après l'avoir envoyé. On repère des défauts qu'on peut rectifier immédiatement.
  • Milas
    Milas
    Modifié (May 2023)
    Bonjour gerard0
    Je ne comprends rien de ce que tu essaies de me dire.
    [Ne pas écrire une virgule à la place d'une apostrophe. J'en ai corrigé les occurrences en gras !  AD]
    S'il y a des erreurs en français ce n'est pas la fin de monde selon moi.
    Et modestie à part ce que j'ai écrit en mathématiques ici est intéressant et peut être utile pour des candidats à l'agrégation interne.
    [Inutile de recopier le dernier message. AD]

  • Dom
    Dom
    Modifié (May 2023)
    Milas,
    as-tu vu mon message ?
    Dans ton dernier message tu as écrit « n,est » au lieu de « n’est ». 
    Et c’est partout comme ça dans tes messages. 
    Tu as cependant épargné « l’agrégation » sans écrire « l,agrégation » mais « l agrégation ».
    Cordialement.
    Dom
  • Milas
    Milas
    Modifié (May 2023)
    Dom a dit :
    Milas,

    as-tu vu mon message ? 

    Dans ton dernier message tu as écrit « n,est » au lieu de « n’est ». 
    Et c’est partout comme ça dans tes messages. 
    Tu as cependant épargné « l’agrégation » sans écrire « l,agrégation » mais « l agrégation ». 

    Cordialement 

    Dom
    Merci Dom
    Je reconnais que mon français est triste 
    Mais je pense que malgré mon triste français quand j,écrit des mathématiques je suis compressibles

    [Pourquoi ne tiens-tu pas compte des remarques que l'on te fait ? AD]

  • Matricule_63
    Matricule_63
    Compressible, plutôt .zip ou .rar?
    Il y avait un post se demandant pourquoi les jeunes ne venaient pas sur ce forum.
    Et bien, étant moins jeune, un message intéressant pour 10 insultants ou méprisants (la spécialité locale étant les insinuations sans nommer la personne ni, oh grand jamais, s'abaisser à argumenter) ne me suffit pas à y rester.
    Merci de m'avoir rendu les mathématiciens antipathiques.

  • Milas
    Milas
    Compressible pour des personnes qui ont le niveau nécessaires en Mathématiques 
  • Dom
    Dom
    Modifié (May 2023)
    Mais bon sang !!!!
    On n’a pas parlé du tout de ton français !
    On a seulement dit que tu utilisais le symbole « , » (la virgule) au lieu d’utiliser le symbole « ‘ » (l’apostrophe). 
    Tu n’en fais jamais mention dans tes réponses.  
    Et ce n’est pas un reproche énorme, c’était juste « attention », d’une manière non agressive. 
    On a tous très bien compris tes messages, il sont donc compréhensibles. 
    Je suis bien intrigué et j’en reste là (et las !).
  • nicolas.patrois
    nicolas.patrois
    Compréhensible, tu veux dire ?
    Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
            -- Schnoebelen, Philippe
  • Milas
    Milas
    Modifié (May 2023)
    Bonjour Dom
    Je m,excuse
  • Dom
    Dom
    🤣 
    C,est bien aimable. J,en accepte l,attention. 
  • nicolas.patrois
    nicolas.patrois
    Plusieurs possibilités, non mutuellement exclusives :
    • Il ne parle pas bien le français ou pas du tout et utilise un traducteur automatique (qui devrait pourtant écrire correctement les apostrophes),
    • Il est dyslexique,
    • Il n’en a rien à faire s’il écrit comme un poney,
    • Il se fiche de nous.
    Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
            -- Schnoebelen, Philippe
  • Milas
    Milas
    Modifié (May 2023)
    nicolas.patrois
     Ça pourrait être une de ce 4 possibilités  :smile:
    Mais je pense qu'il est compétent en mathématiques.
  • Math Coss
    Math Coss
    Il pense que je suis compétent en mathématiques ? Je n'y comprends plus rien.
  • gerard0
    gerard0
    Pour ma part, ayant voulu gentiment l'aider à communiquer intelligemment (j'avais pensé à un défaut de son clavier, ou à une confusion sur l'écran de son smartphone), je me suis fait rembarrer par un buté, et ne pouvant exclure les deux dernières possibilités, j'en conclus que je ne lirai plus ses messages. L'incapacité à tenir compte des avis me semble incompatible avec une quelconque capacité mathématique.
  • Milas
    Milas
    Modifié (May 2023)
    Bonjour Gérard 
    Je voulais m,excuser au début
    Mais avec ce que tu a écrit ici je change d avis.
    [Inutile de reproduire le message précédent. AD]
  • JLapin
    JLapin
    Il s'agirait d'apprendre à utiliser son clavier. Dans aucune langue, une virgule remplace une apostrophe.
  • nicolas.patrois
    nicolas.patrois
    JLapin a dit :
    Dans aucune langue, une virgule remplace une apostrophe.
    Laquelle ?
    Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
            -- Schnoebelen, Philippe
  • Milas
    Milas
    Modifié (May 2023)
    Apparemment on ne parle plus mathématique 
    On parle virgule et apostrophe
  • Dom
    Dom
    Théorème fondamental de l’analyse : sous certaines conditions 

    $\int_a^b f,(t) dt=f(b)-f(a)$
  • Milas
    Milas
    La question au départ était :des exemples intéressantes d,utilisations de théorème de convergence monotone à l,agrégation interne
    Il est très facile de donner des exemples dans le cadre de la théorie de mesure (intégrale de Lebesgue) bien moins qui correspond au programme de l,agrégation interne  je pense avoir expliqué comment on peut trouver autant qu,on veut (je connais bien le sujet)
    Mais on me répond avec des virgules et apostrophes 
    J,essayerai de,être utile
  • nicolas.patrois
    nicolas.patrois
    Modifié (May 2023)
    Mais sérieusement, quel est ton problème avec les apostrophes ?
    Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
            -- Schnoebelen, Philippe
  • gerard0
    gerard0
    Une seule solution : faire comme moi, le marquer "ignorer" (cliquer sur son nom, puis profil puis le bonhomme - ou pion ? - à côté de "message").
  • Dom
    Dom
    $ln, = t\mapsto \frac{1}{t}$
    $ cos,,=-cos$
  • gerard0
    gerard0
    Modifié (May 2023)
    Dom, ça me rappelle un intervenant (Guillaume ?) qui écrivait les phrases réparties sur plusieurs demi-ligne :

    "ça me rappelle un intervenant (Guillaume ?)
    qui écrivait les phrases
    réparties sur plusieurs demi-ligne"

    Mais lui écrivait en français.

    Cordialement.

  • Dom
    Dom
    Et un autre qui [rédigeait][composait][écrivait] comme ça. C’est toi qui devait choisir. 
  • Bruno12
    Bruno12
    Modifié (May 2023)
    Grosso modo, voici la liste des exercices que j'ai proposé pour cette leçon. Développement: exercice 3. Je leur ai aussi tracé avec Geogebra les suites de fonctions des exercices 1, 2 et 4, mais visiblement cela ne les a pas tellement émus.
    Si je dois faire mon auto-critique c'est que les exercices n'étaient pas d'un niveau assez élevé...
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