Entiers de la forme $x^2+3xy+y^2$
Posons $P(x,y)=x^2+3xy+y^2$.
Si $n\in\N^*$, soit $\delta(n)$ le nombre de couples $(x,y)\in\N^*\times\N^*$ avec $x\leqslant y$ tels que $P(x,y)=n$.
J'ai par exemple vérifié informatiquement que :
$\bullet\; \delta(2299)=\delta(3509)=\delta(3751)=\delta(3971)=3$,
$\bullet\; \delta(n)=2$ pour $n\in E_2$, avec $E_2=\{209, 319, 341, 451, 551, 589, 605, 649, 671, 779, 781, 836, 869, 899, 979, 1045, 1111, 1121, 1159, 1189, 1199, 1271, 1276, 1331, 1349, 1364, 1441, 1501, 1529, 1595, 1639, 1661, 1691, 1705, 1711, 1769, 1804, 1805, 1829, 1881, 1891, 1919, 1969, 1991, 2059, 2071, 2101, 2189, 2201, 2204, 2255, 2291, 2321, 2356, 2419, 2420, 2449, 2489, 2501, 2519, 2581, 2596, 2629, 2641, 2651, 2684, 2755, 2759, 2761, 2831, 2869, 2871, 2911, 2929, 2945, 2959, 2981, 3069, 3091, 3116, 3124, 3131, 3161, 3239, 3245, 3344, 3355, 3379, 3401, 3421, 3439, 3476, 3596, 3599, 3629, 3641, 3649, 3781, 3799, 3839, 3895, 3905, 3916, 3949\},$$\bullet\; \delta(n)\in\{0;1\}$ pour toutes les autres valeurs de $n\leqslant4000$.
$\hookrightarrow$ Y a-t-il un moyen d'exprimer $\delta(n)$ en fonction de $n$ ?
Et si je me berce d'illusions, peut-on au moins prouver que $\limsup\limits_{n\rightarrow+\infty}\delta(n)=+\infty$ ?
Edit : je pense qu'on peut répondre par l'affirmative à la seconde question en utilisant en particulier l'identité
$$P(x,y)P(z,w)=P(yz-xw,yw+xz+3xw)\,,$$
(obtenue grâce à ce post sur le forum MSE).
Si $n\in\N^*$, soit $\delta(n)$ le nombre de couples $(x,y)\in\N^*\times\N^*$ avec $x\leqslant y$ tels que $P(x,y)=n$.
J'ai par exemple vérifié informatiquement que :
$\bullet\; \delta(2299)=\delta(3509)=\delta(3751)=\delta(3971)=3$,
$\bullet\; \delta(n)=2$ pour $n\in E_2$, avec $E_2=\{209, 319, 341, 451, 551, 589, 605, 649, 671, 779, 781, 836, 869, 899, 979, 1045, 1111, 1121, 1159, 1189, 1199, 1271, 1276, 1331, 1349, 1364, 1441, 1501, 1529, 1595, 1639, 1661, 1691, 1705, 1711, 1769, 1804, 1805, 1829, 1881, 1891, 1919, 1969, 1991, 2059, 2071, 2101, 2189, 2201, 2204, 2255, 2291, 2321, 2356, 2419, 2420, 2449, 2489, 2501, 2519, 2581, 2596, 2629, 2641, 2651, 2684, 2755, 2759, 2761, 2831, 2869, 2871, 2911, 2929, 2945, 2959, 2981, 3069, 3091, 3116, 3124, 3131, 3161, 3239, 3245, 3344, 3355, 3379, 3401, 3421, 3439, 3476, 3596, 3599, 3629, 3641, 3649, 3781, 3799, 3839, 3895, 3905, 3916, 3949\},$$\bullet\; \delta(n)\in\{0;1\}$ pour toutes les autres valeurs de $n\leqslant4000$.
$\hookrightarrow$ Y a-t-il un moyen d'exprimer $\delta(n)$ en fonction de $n$ ?
Et si je me berce d'illusions, peut-on au moins prouver que $\limsup\limits_{n\rightarrow+\infty}\delta(n)=+\infty$ ?
Edit : je pense qu'on peut répondre par l'affirmative à la seconde question en utilisant en particulier l'identité
$$P(x,y)P(z,w)=P(yz-xw,yw+xz+3xw)\,,$$
(obtenue grâce à ce post sur le forum MSE).
Réponses
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On doit pouvoir caractériser les nombres premiers de la forme $x^2+3xy+y^2$
Le passé est sinistre, le présent terne, mais heureusement nous n'avons pas d'avenir. -
Merci pour le lien !
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Pour plus de précision : A038872 sont les nombres premiers dans la suite A031363.
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$P$ est une forme quadratique binaire de discriminant $5 > 0$. PARI/GP donne un nombre de classes égal à $1$. On en déduit que le nombre $\Delta(n)$ de solutions de $x^2+3xy+y^2 = n$ avec $(x,y) \in \mathbb{Z}^2$ et $5 \nmid n$ est donné par
$$\Delta(n) = \left( \chi_5 \star \mathbf{1} \right) (n) = \sum_{d \mid n} \left( \frac{5}{n} \right)$$
où $(5/\cdot)$ désigne le symbole de Legendre Kronecker (coquille signalée par Math Coss plus bas, que je remercie). -
Merci beaucoup noix de totos !
Penses-tu qu'il est possible d'en déduire $\delta(n)$ (cas où $x>0$ et $y>0$) ? -
Voulais-tu écrire $\left(\frac{d}5\right)$ ? ou, avec $\left(\frac{5}d\right)$, parler de symbole de Jacobi (ou Kronecker ?) ?
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Merci, Math Coss !
Il s'agit surtout de l'unique caractère réel primitif de Dirichlet modulo $5$ (après, c'est vrai que je mélange les noms...).
Pour uvdose : c'est moins simple avec ta contrainte, mais faut voir ! -
Expérimentalement, on a par exemple $\Delta(31^k)=k+1$, ce qui répond (modulo démonstration...) à la question de savoir si cette quantité est non bornée.
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Pour passer de $\Delta$ à $\delta$ il y a peut-être de l'espoir car j'ai également posté ma question sur MSE , où un intervenant signale que $P(x,y)=P(-y,x+3y)=P(3x+y,-x)$, ce qui permet de passer (de proche en proche) d'une solution où $xy<0$ à une solution où $x>0$ et $y>0$.
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Si $p$ est premier de la forme $x^2+3xy+y^2$ (i.e congru à 0,1 ou 4 mod 5) il semble que la propriété de Math Coss reste vraie: $\Delta(p^k)=k+1$EDIT: coquille corrigée dans $x^2+2xy+y^2$ après la remarque de jandri
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Si $p_{1},p_{2},..,p_{n}$ sont des premiers congrus à $1$ ou $4$ mod$ 5$ alors il semble aussi que $\Delta(p_{1}p_{2}...p_{n})=2^{n}=2\delta(p_{1}p_{2}...p_{n})$.Plus généralement si la factorisation de $n$ ne contient que des premiers congrus à 1 ou 4 mod 5 alors la formule de noix de totos donne $\Delta(n)=\tau(n)$.
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Je crois qu'on a une relation simple entre le grand et le petit delta. $$\triangle(n)=2\delta(n)+\theta(n),$$ avec
$\theta(n)=1$ si $n$ est un carré
$\theta(n)=-1$ si $n$ est $5$ fois un carré
$\theta(n)=0$ autrement. -
Je généralise Math Coss et Boécien : la fonction que j'ai (inutilement) appelée $\Delta$ n'est en fait rien d'autre que le $n$-ème coefficient de la fonction zêta de Dedekind $\zeta_K$ du corps de nombres $K := \mathbb{Q} \left( \sqrt 5 \right)$, i.e. la fonction qui compte le nombre d'idéaux entiers non nuls de norme $n$.
Cette fonction étant multiplicative, seules ses valeurs sur les puissances primaires $p^\alpha$ sont nécessaires. Or, $K$ étant galoisien, quelques connaissances en théorie algébrique des nombres montrent que
$$\Delta \left( p^\alpha \right ) = \begin{cases} \tau_{g_p} \left( p^{\alpha/f_p} \right), & \textrm{si} \ f_p \mid \alpha \, ; \\ 0, & \textrm{sinon} \, ; \end{cases}$$
où $f_p$ est le degré résiduel de $p$ et $g_p$ est le nombre d'idéaux premiers au-dessus de $p$ (rappelons que, dans ce cas ici d'un corps quadratique, on a $e_p f_p g_p = 2$ où $e_p$ est l'indice de ramification de $p$). $\tau_k$ est l'habituelle fonction de diviseurs de Dirichlet-Piltz.
Exemple. Dans un corps quadratique, la loi de décomposition d'un nombre premier est parfaitement connue. Dans le corps qui nous occupe ici :
(i) si $(5/p) = 1$, c'est-à-dire $p \equiv 1 \ \textrm{ou} \ 4 \pmod 5$, $p$ est complètement décomposé, et donc $e_p = f_p = 1$ et $g_p = 2$, de sorte que $\Delta \left( p^\alpha \right ) = \tau(p^\alpha) = \alpha + 1$ ;
(ii) si $(5/p) = -1$, c'est-à-dire $p \equiv 2 \ \textrm{ou} \ 3 \pmod 5$, alors $p$ est inerte, et donc $f_p=2$ et $e_p=g_p=1$, puis $\Delta \left( p^\alpha \right ) = 1$ si $\alpha$ est pair, $\Delta \left( p^\alpha \right ) =0$ sinon ;
(iii) si $p = 5$, $p$ est totalement ramifié (normal puisque c'est le discriminant de $K$), donc $e_p=2$ et $f_p=g_p = 1$, puis $\Delta \left( p^\alpha \right ) = 1$.
Remarque. La vraie notation de $\Delta$ est $r_K$.
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Oui le produit est sans carré.
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Bonsoir,
Noix de Totos a écrit: "le nombre de solutions de $x^2+3xy+y^2= n $ avec $(x,y) \in\Z^2$ est égal à $\Delta (n) =\displaystyle \sum_{d\mid 5 }\left(\dfrac 5 d\right).$"Je n'ai pas exactement le même décompte : pour moi, $\boxed{\:\forall n \in\Z,\quad \Delta(n) = 0 \text{ ou } +\infty.}$En effet: si $x^2+3xy+y^2 =n, \: $alors , en notant $\:\:X=-3x-8y, \:\:Y=8x+21y, \:\:$ on a également $X^2+3XY+Y^2 =n.$ -
Je ne vais pas refaire ici la théorie des représentations des entiers en formes binaires, mais on peut vérifier que, si $(x,y)$ est solution de l'équation $ax^2+bxy+cy^2=n$ de discriminant $d := b^2-4ac$, alors $(x^{\, \prime},y^{\, \prime}) := (x,y) T$ l'est aussi, où
$$T := \begin{pmatrix} \tfrac{1}{2}(v-bw) & aw \\ -cw & \tfrac{1}{2}(v+bw) \end{pmatrix}$$
où $v$ et $w$ sont deux entiers vérifiant $v^2 - dw^2 = 4$. Lorsque $d > 0$ (ce qui est le cas ici), cette équation a une infinité de solutions engendrées par une solution fondamentale $(v_0,w_0)$, de sorte que chaque matrice $T$ est de la forme $T_0^k$ avec $T_0$ formée à partir de $(v_0,w_0)$.
Toute solution de $ax^2+bxy+cy^2=n$ est associée à un entier $m \in \{0, \dotsc,2n-1\}$, appelée entier attaché, vérifiant $m^2 \equiv d \pmod{4n}$ (je passe les détails sur ce nombre). Ainsi, d'après le paragraphe ci-dessus, toute solution de $ax^2+bxy+cy^2=n$ attachée à $m$ peut être engendrée par une solution fondamentale $(x_0,y_0)$ via $(x,y) = (x_0,y_0) T_0^k$ pour un certain entier $k$. $(x_0,y_0)$ s'appelle solution primaire (attachée à $m$), et l'usage en théorie des nombres est de calculer le nombre de solutions primaires de l'équation, en omettant généralement le mot "primaire".
Exemple. Avec $a=c=1$, $b=3$, donc $d=5$, et en prenant $(v_0,w_0) = (18,8)$, on obtient
$$T_0 := \begin{pmatrix} -3 & -8 \\ 8 & 21 \end{pmatrix}$$
i.e. la matrice du message ci-dessus. -
Re
Comme à son habitude, Noix de Totos ne reconnait jamais ses erreurs.
Il a pourtant écrit : $$\text { le nombre de solutions dans }\Z^2 \text {de } x^2+3xy+y^2= n \text{ est } \Delta (n) =\displaystyle \sum_{d\mid n} \left(\dfrac 5 d\right),$$ ce qui est parfaitement inexact.Il lui est infiniment plus agréable d'éluder mes observations et de se fendre d'une petite leçon sur les représentations des entiers en formes binaires, où il nous fait savoir que cette formule recense en fait les solutions "primaires", un épithète dont on ne trouve aucune trace dans le message que j'incrimine.En outre, cela ne règle en rien la question de uvdose qui demande de dénombrer les solutions dans $\N^2$. -
Je remercie LOU16 pour son message qui apporte tant de clarté à ce fil !
J'ai pourtant dit, je cite : "l'usage en théorie des nombres est de calculer le nombre de solutions primaires de l'équation, en omettant généralement le mot primaire".
Encore faut-il savoir faire de la théorie des nombres...
Edit (1er mai 2023). J'ai supprimé une partie de ce message, inutilement méchante, écrite hier sous le coup de l'énervement. Après tout, je ne connais pas ce LOU16, qui, lui, au contraire, semble me connaître, puisqu'il assène une assertion désagréable à mon égard ! Quant à la petite précision apportée par mon message plus haut, je suis certain qu'uvdose, Math Coss et Boécien, sinon la connaissaient , du moins s'en doutaient. Bien entendu, et contrairement à ce qu'affirme LOU16, les messages ci-dessus sont parfaitement corrects, ce sont des théorèmes connus de longue date, mais le cas de solutions entières naturelles n'est pas couvert par ces résultats, et il n'y a pas, à ma connaissance, d'études spécifiques dans ce cas. Bref, je m'efforcerai à l'avenir (si possible) de ne pas intervenir sur un fil dans lequel ce LOU16 apparaît, et j'essaierai (si possible) de ne pas répliquer quand ce LOU16 répond après moi. Une chose est sûre : on ne passera pas nos vacances ensemble !
-
En attendant, voici le détail de la preuve de mon (modeste !) résultat : soit $n\in\N^*$ tel que $\delta(n)\geqslant1$, alors $\delta(121n)\geqslant1+\delta(n)$.
Si $n=P(x,y)$ (avec $0<x\leqslant y$), alors en prenant $z=3$ et $w=7$ dans l'identité du post initial, on obtient $121n=P(3,7)P(x,y)=P(7y-3x,3y+16x)$.
Supposons que $n$ possède $m$ décompositions ($m\geqslant1$) 2 à 2 distinctes : $n=P(x_k,y_k)$, $1\leqslant k\leqslant m$ (avec $0<x_k\leqslant y_k$).
$121n$ possède alors au moins les $m$ décompositions 2 à 2 distinctes : $121n=P(11x_k,11y_k)$, $1\leqslant k\leqslant m$,
et également les $m$ décompositions 2 à 2 distinctes : $121n=P(7y_k-3x_k,3y_k+16x_k)$, $1\leqslant k\leqslant m$.
Il est clair qu'au moins un des couples $(7y_k-3x_k,3y_k+16x_k)$, $1\leqslant k\leqslant m$ ne fait pas partie de la liste des $(11x_k,11y_k)$, $1\leqslant k\leqslant m$. En effet, en notant $X=\sum\limits_{k=1}^m x_k$ et $Y=\sum\limits_{k=1}^m y_k$, on a
$\sum\limits_{k=1}^m(11x_k+11y_k)=11X+11Y\underbrace{\neq}_{(???)}13X+10Y=\sum\limits_{k=1}^m((7y_k-3x_k)+(3y_k+16x_k))$.
On a donc bien $\delta(121n)\geqslant1+\delta(n)$.
Edit : j'ai corrigé la preuve précédente car elle comportait une erreur... mais pour l'instant, je ne parviens pas à la réparer [voir $(???)$] -
Bonjour,@noix de totos$\bullet $"LOU 16 donneur de leçons devant l'éternel"(as-tu écrit avant de l'effacer).
J'observe qu'à l'incapacité de reconnaitre tes erreurs et une insigne mauvaise foi, tu mêles une forte prédilection pour l'art d'inverser les rôles, un talent qui culmine lorsqu'après avoir doctement évoqué les usages en vigueur en théorie des nombres, tu ajoutes avec cette condescendance un peu sotte: "Encore faut il savoir faire de la théorie des nombres".Tu as, quoi que tu en dises, écrit quelque chose de faux (ce qui n'est vraiment pas grave), ce que tout un chacun peut ici aisément vérifier, et que tu te refuses d'admettre ( c'est précisément cela que je pointe du doigt).
Ainsi, pourrais-tu enfin dire clairement si, oui ou non, l'affirmation suivante, formulée dans ton premier message dans ce fil, est exacte ?
$$\forall n \in \N,\:\:\text{ card}\left\{(x,y) \in \Z^2 \mid x^2+3xy+y^2=n\right\} =\displaystyle \sum_{d\mid n}\left(\dfrac 5d\right).$$
Je crains que pour toi cela ne soit mission impossible : difficile de la valider, mais plutôt crever que d'articuler : "en effet, c'est faux".
En fait, dès le début je savais (moi aussi) ce que dénombrait $\sum_{d\mid n}\left(\dfrac 5d\right)$ et pressentais que tu allais réagir comme tu l'as fait, c'est-à-dire te murer plus encore dans le statut d'un pape infaillible de la théorie des nombres.$\bullet $"contrairement à ce qu'affirme LOU 16., les messages ci-dessus sont parfaitement corrects.."Tu racontes un peu n'importe quoi. Ai- je jamais contesté un seul de tes propos ultérieurs à ton premier message?$\bullet $" Je remercie LOU 16 pour son message qui apporte tant de clarté à ce fil ! "Oui, on a tous bien compris que seules tes interventions sont susceptibles de produire ici-bas un peu de lumière et de nous tirer des ténèbres.En tous cas, ce que j'écrivais était parfaitement exact, contrairement au contenu de ton premier message que je corrigeais. D'autre part, je suis au contraire certain que peu de monde avait remarqué que dans $\Z^2$, le nombre de solutions était soit nul, soit infini, personne n'ayant bronché après que tu aies déclaré qu'il était égal à $\displaystyle \sum_{d\mid n}\left(\dfrac 5d\right).$$\bullet $"sur un fil dans lequel "ce" LOU 16 apparait", "Quand "ce" LOU 16 répond après moi" , "on ne passera pas nos vacances ensemble "Vraiment très classe.
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Joli uvdose, cela suffit à montrer que c'est non borné. En tout cas je confirme que si on note $$\delta(n)=\left|\left\{ (x,y),\ 1\leq x\leq y\leq n,\ x^{2}+3xy+y^{2}=n\right\} \right|$$ le nombre que recherche uvdose et $$\triangle(n)=\sum_{d\mid n}\left(\frac{5}{d}\right)$$ le nombre de noix de totos où $\left(\frac{5}{d}\right)$ est le symbole de Kronecker, alors on a $$\triangle(n)=2\delta(n)+\theta(n) $$ avec
$\theta(n)=1$ si $n=k^{2} $
$\theta(n)=-1$ si $n=5k^{2}$
$\theta(n)=0$ autrement
Ce qui donne en particulier lorsque $n$ est le produit de premiers distincts congrus à $1$ ou $4$ modulo $5$ $$\delta(n)=\frac{1}{2}\tau(n)$$ et $\delta(n)$ est non borné.
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C'est dommage que deux des meilleurs intervenants de ce forum s'envoient des "méchancetés" pour pas grand-chose.
Beaucoup d'intervenants (mais pas LOU16) répondent un peu vite sans se relire et écrivent des choses fausses comme Boécien qui parle des nombres premiers de la forme $x^2+2xy+y^2$ ou noix de totos qui écrit que l'équation $x^2+3xy+y^2 = n$ a un nombre fini de solutions dans $\Z^2$ (c'est pour cela que LOU16 a justement répondu que le nombre de solutions est soit nul, soit infini).
Les réponses à la question posée par uvdose sont venues très vite et j'ai un peu de mal à suivre.
J'ai fait quelques tests qui semblent montrer que si $n$ n'a que des facteurs premiers congrus à $\pm1$ modulo $10$ alors (avec les notations de uvdose) on a $\delta(n)=\lfloor\tau(n)/2\rfloor$ où $\tau(n)$ désigne le nombre de diviseurs de $n$.
Cela doit pouvoir se démontrer mais je n'y suis pas encore arrivé.
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Merci jandri, j'ai corrigé la coquille c'est bien des nombres de la forme $x^2+3xy+y^2$ dont je parlais. Je précise que pour moi $\triangle(n)=\sum_{d\mid n}\left(\frac{5}{d}\right)$ donne le nombre de solutions $(x,y)$ vérifiant $-x<y\leq x$ à $n=x^{2}-5y^{2}$.
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En recherchant les premières solutions j'ai constaté que le nombre de solutions primitives de $x^2+3xy+y^2=n$ (c'est-à-dire le nombre de solutions avec $1\leq x\leq y$ et $x$ et $y$ premiers entre eux) est égal à $2^{r-1}$ si $n=\displaystyle\prod_{k=1}^rp_k^{e_k}$ où les $p_k$ sont des nombres premiers congrus à $\pm1$ modulo $10$.
-
Merci à tous de vous être penchés sur le problème !
Pendant que j'y suis, on ne sait jamais cela peut vous intéresser, je vous explique pourquoi je me pose la question initiale.
Je suis tombé sur cet article dans lequel les auteurs s'intéressent à l'équation fonctionnelle $(E_D)$ :
$$\forall (n,m)\in\N^*\times\N^*\,,\quad f(n^2+Dmn+m^2)=f(n)^2+Df(n)f(m)+f(m)^2,$$
où $D>0$ est un entier fixé et $f$ une application $\N^*\longrightarrow\C$.
Les auteurs réussissent à résoudre $(E_1)$ (les $f$ vérifiant $(E_1)$ sont $n\mapsto0$, $n\mapsto\frac13$ et $n\mapsto n$) et avouent qu'ils sont à court d'idée pour les autres valeurs de $D$.
Je pense que j'ai réussi à résoudre $(E_2)$ :
$$\forall (n,m)\in\N^*\times\N^*\,,\; f((n+m)^2)=(f(n)+f(m))^2$$
$\hookrightarrow$ les $f$ vérifiant $(E_2)$ sont $n\mapsto0$, $n\mapsto\frac14$ et $n\mapsto n$. Mais c'est un cas relativement simple (ma démonstration est laborieuse mais sûrement simplifiable !) et je pense que c'est pour cette raison qu'il n'est pas évoqué dans l'article. Puis j'ai fini par me pencher sur le cas $D=3$ (mais là c'est vraiment une autre paire de manches !), raison pour laquelle je me suis posé la question initiale.
Un détail qui n'en est pas un : dans l'article, $\N$ désigne ce qu'ici nous notons $\N^*$. -
Je n'ai pas réussi à réparer ma preuve du fait que $\delta(121n)\geqslant1+\delta(n)$ (si quelqu'un sait le prouver ou l'infirmer, je suis preneur).J'ai donc élaboré une autre stratégie pour démontrer que $\limsup\limits_{n\rightarrow+\infty}\delta(n)=+\infty$, même si j'ai la vague impression de m'être compliqué la vie.
La démonstration repose sur l'identité, valable pour tous entiers $y$ et $k$, que j'ai obtenue en tâtonnant :$$P(1,y+P(1,y)k)=P(1+(2y+3)k,y+(y^2-1)k) \;\;\;(\clubsuit).$$Soit un entier $m\geqslant2$ ; considérons la suite d'entiers $(z_n)_{1\leqslant n\leqslant m}$ définie par $z_1=P(1,4)=29$, et la relation valable pour tout $n\in[\![1,m-1]\!]$,$$z_{n+1}=P\left(1\,,\prod\limits_{j=1}^{n}z_j\right).$$Notons $y_1=4$ et $y_n=\prod\limits_{j=1}^{n-1}z_j$ pour $n\in[\![2,m+1]\!]$.Par construction les $z_n=P(1,y_n)$, $n\in[\![1,m]\!]$ sont deux à deux premiers entre eux.On a $\forall n\in[\![1,m-1]\!]$, $z_{n+1}>z_n\geqslant29$ et $y_{n+1}>y_n\geqslant4$.D'après le théorème des restes chinois, il existe un entier $N\geqslant\max(y_1,\cdots,y_m)$ tel que $\forall n\in[\![1,m]\!]$, $N\equiv y_n\;[z_n]$.
De sorte qu'il existe des entiers naturels $\alpha_1,\cdots,\alpha_m$ tels que $\forall n\in[\![1,m]\!]$, $N=y_n+\alpha_nz_n$.Soit $n\in[\![1,m]\!]$ ; pour tout $t\in\N^*$, on a$$N+ty_{m+1}=y_n+P(1,y_n)k_n(t),$$en posant $k_n(t)=\alpha_n+\dfrac{y_{m+1}}{z_n}t$. D'où, d'après $(\clubsuit)$,$$P(1,N+ty_{m+1})=P(a_n(t),b_n(t)) \;\;\;(\spadesuit),$$en posant $a_n(t)=1+(2y_n+3)\alpha_n+\dfrac{y_{m+1}}{z_n}(2y_n+3)t$,et $b_n(t)=y_n+(y_n^2-1)\alpha_n+\dfrac{y_{m+1}}{z_n}(y_n^2-1)t$.D'une part, pour tout $t\in\N^*$, on a $1<a_n(t)\leqslant b_n(t)$.D'autre part, les $\dfrac{y_{m+1}}{z_n}(2y_n+3)$, $n\in[\![1,m]\!]$ sont deux à deux distincts. En effet, soient $i$ et $j$ dans $[\![1,m]\!]$ tels que $\dfrac{y_{m+1}}{z_i}(2y_i+3)=\dfrac{y_{m+1}}{z_j}(2y_j+3)$ ; on a $(2y_j+3)P(1,y_i)=(2y_i+3)P(1,y_j)$. Or pour tous entiers $y$ et $z$,$$(2z+3)P(1,y)-(2y+3)P(1,z)=(y-z)(2yz+3y+3z+7),$$ce qui montre que $y_i=y_j$ et donc que $i=j$.Cela entraîne que pour $t$ assez grand, les $a_n(t)$, $n\in[\![1,m]\!]$ sont deux à deux distincts, et par conséquent d'après $(\spadesuit)$, pour un tel $t$,$$\delta\left(P(1,N+ty_{m+1})\right)\geqslant m+1.$$
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