Limite d’une probabilité

biguine_equation · April 2023

Bonjour,

je propose ce joli problème (sans solution) mêlant probabilités et permutations.
Soit $m$ un entier positif et $\sigma$ une permutation de $\{1,2,\dots,2m\}$.
On considère la sous-suite (éventuellement vide) de $\sigma(m+1), \sigma(m+2),\dots, \sigma(2m)$ constituée des seuls éléments dont les valeurs dépassent $\max \{\sigma(1), \dots ,\sigma(m)\}$.
Soit $P(m)$ la probabilité que cette sous-suite ne soit jamais décroissante quand $\sigma$ est une permutation choisie au hasard de $\{1,2,\dots,2m\}$.
Évaluer $\lim_{m \to \infty} P(m)$.

marsup · April 2023

Bonjour
Je ne suis pas très au courant de la notion de suite (sans répétition) "jamais décroissante".
En fait une brave recherche internet tend à nous ramener à cette page ici-même !
Est-ce que c'est la même chose que "croissante" ?

Izolg · April 2023

Bonjour,

Une tentative naïve (peut-être erronée), on pose $M:=\max \{\sigma(i)\mid 1\leq i \leq m\}$.

Alors forcément, $m\leq M\leq 2m$, et il y a exactement $2m-M$ termes $\sigma(i)$ avec $m+1\leq i\leq 2m$ qui feront partie de ta sous-suite. En effet, chaque entier $k$ tel que $M<k\leq 2m$ doit être atteint une et une seule fois par un $\sigma(i)$ (avec $i>M$ par def de $M$).

Ainsi conditionnellement sur $\{M=k\}$ alors la proba de ton évènement est juste $\frac{1}{(2m-k)!}$, la proba que ces $2m-k$ valeurs soient dans un ordre précis (ici ordre croissant).

Notons $A_m$ ton évènement.

Ainsi, ta proba est $\displaystyle P(m)=\sum_{k=m}^{2m}\mathbb{P}(A_m | M=k)\mathbb{P}(M=k) = \sum_{k=m}^{2m}\frac{\mathbb{P}(M=k)}{(2m-k)!}$

Il s'agit donc d'étudier la loi de $M$ pour avoir une formule exacte.

Clairement on a pour $m\leq k \leq 2m$ : $\displaystyle \mathbb{P}(M\leq k)=\frac{k}{2m}\frac{k-1}{2m-1}\cdots \frac{k-(m-1)}{m+1} = \frac{k! m!}{(k-m)!(2m)!}$.

Reste à combiner tout ça et voir si on obtient une formule qui permet d'avoir accès à l'asymptotique.

Limite d’une probabilité

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