Cas d'égalité de l'inégalité de Bessel

Bonjour,

je cherche à démontrer la proposition qui stipule que si une famille $(e_n)$ orthonormée d'un espace préhilbertien est totale alors pour tout $x\in E$, la suite $(p_n(x))$ converge vers $x$ où $p_n$ est la projection sur $F_n:=vect(e_1,...,e_n)$.

Je bloque dès le début de la démonstration. En effet, en notant $F=vect(e_n)$, alors comme la suite est totale, pour $x\in E$, il existe une suite $(x_n)$ d'éléments de $F$ tq. $x_n$ tend vers $x$.

Je cherche à écrire une telle suite : n'est-ce pas $x_n=\sum_{k=1}^na_ke_k$ ?
Dans le livre sur lequel figure cette démonstration, j'ai $\sum_{k=1}^{n_0}a_ke_k$ pour un certain $n_0$, ce que je ne saisi pas.
Pouvez-vous m'éclairer ?
Merci !

Réponses

  • Non. Le fait que la famille est totale veut dire que pour tout $\varepsilon > 0$, il existe un élément $x_n \in F$ tel que $||x-x_n|| < \varepsilon$. Or un tel élément $x_n$ est une combinaison linéaire de $e_1, e_2, \dots$ mais il n'y a aucune raison pour que ce soit un élément de $\mathrm{Vect}(e_1, \dots, e_n)$. Tout ce que l'on peut dire est qu'il existe des entier $N(n), k_1, \dots, k_{N(n)}$ et des scalaires $a_{1, n}, \dots, a_{N(n), n}$ tels que $x_n = a_{1,n} e_{k_1} + \dots + a_{N(n), n} e_{k_{N(n)}}$.

    Il faut dire des choses en plus pour arriver à une écriture de la forme $\sum_{k=1}^{N(n)} a_k e_k$ avec des scalaires $a_k$ ne dépendant pas de $n$.
  • JLapin
    Modifié (April 2023)
    @BMaths
    Soit $\varepsilon >0$ et $y\in Vect(e_k)_{k\in \N}$ tel que $\|x-y\|\leq \varepsilon$.
    Fixons $N\in \N$ tel que $y\in Vect(e_0,\dots,e_N)$.
    Soit $n\geq N$.
    On a $\|x-p_n(x)\| \leq \|x-y\|$ par théorème sur la distance à un sev de dimension finie.
    On en déduit $\|x-p_n(x)\|\leq \varepsilon$, ce qui achève de montrer que la suite $(p_n(x))$ converge vers $x$.
  • BMaths
    Modifié (April 2023)
    @Poirot
    1. Comment justifier que c'est une écriture d'une combinaison linéaire finie ?
    2. Pour répondre à la question, puis-je avoir un indice pour me mettre sur la voie ?

    @JLapin
    Je ne saisis pas totalement le raisonnement. Dans le choix de $y\in Vect(e_n)$, je ne vois pas la dépendance de $$y par rapport à $n$. Est-ce voulu ?
  • Une combinaison linéaire est par définition finie. Ma réponse était simplement pour te montrer qu'il n'était pas aussi simple d'avoir une écriture telle que tu le prétendais. La réponse de JLapin est la bonne manière pour résoudre ton problème.
  • BMaths
    Modifié (April 2023)
    Je vois, merci !
    Quant à ce que propose JLapin, j'ai toujours traduit la densité de l'espace $F$ dans $E$ comme étant la limite d'une suite. Du coup, dire qu'il existe $y\in F$ tq. $||x-y||\le\epsilon$ me perturbe un peu !
    Est-ce correct si j'écris qu'il existe $(y_n)$ suite d'éléments de $F$ tq. $||y_n-x||\le\epsilon$ puis que j'écris $y_n\in F_{N(n)}$ et je poursuis comme JLapin ?
  • Soit $A$ une partie d'un espace métrique $(E, d)$. Alors $A$ est dense dans $E$ si et seulement si pour tout $x \in E$ et pour tout $\varepsilon > 0$, il existe $y \in A$ tel que $d(x,y) < \varepsilon$. La démonstration est immédiate. Tu peux faire la suite comme tu dis, mais il s'agit de remarquer que, comme la suite $(\mathrm{Vect}(e_1, \dots, e_n))_{n \in \mathbb N^*}$ est croissante pour l'inclusion, on peut immédiatement dire que $y \in \mathrm{Vect}(e_1, \dots, e_n)$ pour tout $n$ assez grand.
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