L’argument diagonal selon Wikipédia
[Soupirs. Et on recommence ? AD]
https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/2277624/vers-l-infini-et-au-dela
Ma réponse à la remarque de @AD se trouve ici : https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/comment/2420471/#Comment_2420471
https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/2277624/vers-l-infini-et-au-dela
Ma réponse à la remarque de @AD se trouve ici : https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/comment/2420471/#Comment_2420471
Bonjour
Sur la page Wikipédia consacrée à l’argument diagonal, au chapitre intitulé « Calculabilité », on peut lire :
« Le raisonnement diagonal donné pour les réels reste bien également constructif. Supposons qu’une suite $(r_i)$ de réels entre $0$ et $1$ nous soit donnée effectivement par des développements décimaux : on dispose d’un algorithme qui peut calculer, étant donné deux entiers $i$ et $n$, la $n$-ième décimale d’un même développement de $r_i$. Etc. »Sur la page Wikipédia consacrée à l’argument diagonal, au chapitre intitulé « Calculabilité », on peut lire :
Mais, à ce que je sache, ce texte est en désaccord avec la notion de « nombre réel non calculable » découlant de la notion de « nombre réel calculable » mise en place par Alan Turing en 1936. (Voir par exemple : Wikipédia, « Nombre réel calculable ».)
En effet, dans le premier texte cité, il semble exister un algorithme qui peut calculer la $n$-ième décimale de tout réel, alors que du second texte on tire qu’il existe des réels pour lesquels il n’existe pas d’algorithme capable d’en calculer la $n$-ième décimale (ce sont les réels non calculables).
Que penser de ce désaccord ?
Merci d’avance.
Réponses
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Bonjour,
> dans le premier texte cité, il semble exister un algorithme qui peut calculer la $n-ième$
> décimale de tout réel ...
Faux:
> Supposons qu’une suite $(r_i)$ de réels entre $0$ et $1$ nous soit donnée effectivement
> par des développements décimaux ...
Si la suite est donnée, ce n'est pas n'importe quel réel.
Cordialement,
Rescassol
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Attention, il s'agit de développer l'expression "donnée effectivement". C'est l'existence d'un algorithme pour ces réels précis qui fait que la donnée est effective. Ce qui veut dire qu'on élimine implicitement les réels "non calculables".Cordialement.
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Bonjour,Le texte de wikipedia est effectivement pour le moins maladroit. Mais il a au fond raison sur le fait que l'argument diagonal de Cantor est parfaitement constructif.Je formulerais les choses comme cela :On a un oracle qui, à la demande, nous fournit les $n$ premières décimales des $n$ premiers nombres d'une suite de réels de $[0,1[$. Alors Cantor construit les $n$ premières décimales d'un réel de $[0,1[$ qui n'est pas dans la suite.
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Effectivement, c'est beaucoup plus clair !
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Bonjour et merci à vous, Rescassol et gerard0.
J'ai bien essayé de penser comme vous, mais le premier texte cité (Wikipédia, L'argument diagonal, Calculabilité) se poursuit comme ceci :
"Alors le procédé diagonal permet bien de calculer un réel n'appartenant pas à cette suite."
A tort ou à raison (?), j'en déduis que cette suite (de réels calculables, selon vous Rescassol et gerard0) n'est pas dénombrable.
Or le second texte cité (Wikipédia, Les nombres réels calculables) dit que les nombres réels calculables sont dénombrables.
Le désaccord subsiste.
Je vois que GaBuZoMeu a aussi répondu. Merci à lui.
Si je comprends bien, l'algorithme à mettre en place consiste à faire appel à un oracle, un devin, quelqu'un qui sait ce que personne ne sait. C'est ça ?
Encore merci d'avance. -
Effectivement, comme l'a dit GBZM, le texte est rédigé maladroitement, puisqu'une conséquence de ce qu'il dit serait de calculer un nombre qui pourrait ne pas être dans l'ensemble dénombrable des calculables (attention, il aurait fallu partir d'une énumération des calculables, pas d'une quelconque suite de nombres). Cet article n'est pas un texte de mathématiques, mais un survol des notions afférentes.
Cordialement.NB. Rappelons que l'argument diagonal a des formes qui évitent de parler des décimales. -
On se fout complètement de la façon dont la suite de réels est fabriquée, algorithme ou révélation divine.Ce qui importe, c'est le caractère finitiste : on part d'une information finie sur la suite de réels ($n$ premières décimales des $n$ premiers nombres) et on (Cantor) construit par un algorithme simple les $n$ premières décimales d'un réel qui ne figure pas dans la suite. Plus on a d'information sur la suite, plus on a d'information sur le réel de Cantor, sans que jamais soit mis en défaut le fait que le réel ne figure pas dans la liste.
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Ok, gerard0, j'ai saisi. Merci.
Je reviens sur l'algorithme (?) à utiliser pour énumérer les réels dans l'argument diagonal. Cet "oracle" dont parle GaBuZoMeu aurait-il quelque chose à voir avec le concept d'infini actuel ? -
L'oracle ne révèle jamais qu'un ensemble fini d'informations. L'infini n'est donc pas actuel.Par exemple, on ne peut jamais décider si 0 figure ou pas dans la suite de réels.
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Merci, GaBuZoMeu. Je reviens dès que possible.
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L'argument diagonal est intuitionniste (et se démontre en COQ qui est intuitionniste). Ci-dessous "$A\to B$" désigne l'ensemble (ou le type, peu importe) des fonctions de $A$ dans $B$, où $A,B$ sont des ensembles ou des types.Soit $E$ un ensemble. Soit $f\in E\to (E \to \{0,1\})$. Alors il existe $g\in E\to \{0,1\}$ tel qu'il n'existe aucun $e\in E$ tel que $g=f(e)$.En effet un tel $g$ est donné par $x\in E \mapsto 1-f(x) (x) \in E$.(NB : $y\in \{0,1\} \mapsto 1-y$ est la négation booléenne).L'argument diagonal est trivial; c'est un peu triste de voir les gens se noyer dans un verre d'eau avec ça.
Section main. Variable E:Type. Variable f: E -> E -> bool. Let diag:= fun (x:E) => negb (f x x). Theorem argument_diagonal: exists g: E -> bool, forall e:E, g <> (f e). Proof. intros. exists diag. intros e H. unfold diag in H. apply f_equal with (f:= fun (h: E -> bool) => h e) in H. destruct (f e e); simpl in H; discriminate H. Defined. End main.Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$. -
Me revoilà.
Je comprends évidemment l'idée de GaBuZoMeu : Cantor n'a besoin de connaître que la $n$-ième décimale du $n$-ième nombre de la fameuse liste de l'argument diagonal pour construire un nombre réel n'appartenant pas à cette liste. Il n'est pas question ici de me noyer dans un verre d'eau, Foys.Cela dit, connaître la $n$-ième décimale du $n$-ième nombre de la fameuse liste de l'argument diagonal est certes faisable (par définition) quand ce $n$-ième nombre est un nombre réel calculable, mais ce n'est pas faisable (par définition) quand ce nombre est un nombre réel non calculable. Dans ce dernier cas, je ne vois pas comment faire autrement pour s'en sortir que de faire appel à "quelque chose" permettant de savoir ce qui ne peut pas être su. En l'occurrence, je ne vois rien d'autre que l'option de $\textit{l'infini en acte}$, qui nous donnera le contrôle absolu de l'infinité des décimales de chaque nombre réel non calculable, dont la nécessaire $n$-ième décimale. Y aurait-il une autre option ?J'en profite pour réagir à la remarque faite par AD dans le message initial de ce fil.
Dans plusieurs fils consacrés à l'argument diagonal, je n'ai pas arrêté d'employer l'expression "nombres non parfaitement déterminés", sans toutefois parvenir à me faire comprendre. Mais, à force d'insister, j'ai fini par y arriver : Mes "nombres non parfaitement déterminés" ne sont autres que les "nombres réels non calculables" d'Alan Turing. Cette confirmation de mon intuition me force à reprendre tout depuis le début. Alors, pardon d'avance pour les éventuelles redites. -
Il y a une différence entre connaître toutes les décimales d'un coup (infini actuel) et être capable d'en connaître toujours une de plus (infini potentiel). Non, tu ne vois pas ?
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@raoul.S C'est de la provocation pour perdre Sneg ?
Sinon, pour le lecteur de passage qui serait troublé, il faudrait commencer par "calculer" la liste initialeIl ne faut pas respirer la compote, ça fait tousser.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse -
@raoul.S, bonjour.
Si je ne me trompe pas, pour calculer le nombre non calculable (!) dont tu parles dans ton dernier message, il faut commencer par dresser la liste des nombres calculables (ce que semble bien confirmer @Médiat_Suprème, que je salue également), c’est-à-dire recourir à l’infini en acte, non ? C’est ma méthode. On n’en sort pas.
GaBuZoMeu semble avoir une autre idée... -
"Recourir à l'infini en acte" n'est pas une activité mathématique.
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Non, ce n’est pas la question. C’est complètement hors sujet.
Soit $P$ la phrase « si les poules ont des dents, on met Paris en bouteille ». Tu dis « mais où sont les dents d’une poule qui n’a pas de dents ? ». C’est hors-sujet.
GBZM l’a dit tout au début : l’algorithme de Cantor associe, à toute suite de développements décimaux, un développement décimal pas dans la suite.
EDIT : je précise. Cantor propose une méthode pour transformer une pierre philosophale en lampe d’Aladdin. Et toi tu dis que les pierres philosophales n’existent pas. Tout le monde est d’accord, mais c’est hors sujet. -
Dans l'argument diagonal de Cantor, ce dernier ne s'occupe pas de dresser la liste des nombres réels via un hypothétique algorithme qui en lui donnant deux nombres entiers $n,m$ pourrait te restituer la $m$ ième décimale du $n$ ième nombre réel de la liste. Tout ça Cantor s'en fiche.
Dans l'argument diagonal on suppose que l'ensemble des nombres réel est dénombrable et on veut aboutir à une contradiction. En supposant que les réels sont dénombrables, tu supposes que tu as accès "gratuitement" à cette fameuse liste de tous les nombres réels avec leurs décimales. Il n'y a pas besoin d'algorithme ici pour savoir si on peut calculer les décimales des réels. -
Oui. Je répète en précisant au cas où : en mathématique lorsque l'on dit qu'un ensemble $A$, constitué de nombres réels pour simplifier, est dénombrable, ça veut dire qu'il existe une bijection $f:\N\to A$. Mais ceci n'a absolument rien à voir avec l'existence d'un algorithme capable de recracher cette liste de nombres réels.
De même lorsqu'en math on dit : soit $x$ un nombre réel, on a accès à toutes les décimales de $x$ pour mener à bien une démonstration. On ne va pas se demander s'il existe un algorithme qui calcule les décimales de $x$ pour pouvoir s'autoriser à utiliser $x$.
ATTENTION : ceci ne veut pas dire que les questions que tu te poses concernant l'existence d'algorithmes ne sont pas intéressantes, mais dans ce contexte elles n'ont rien à voir. -
Je répète ce que Sneg ne veut pas entendre : "On se fout complètement de la façon dont la suite de réels est fabriquée, algorithme ou révélation divine."Comme l'expérience a montré qu'il n'y a pas moyen de faire entendre à Sneg ce qu'il ou elle n'a pas envie d'entendre, autant arrêter là les frais.
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Soit $x$ un réel. Pour tout $n\in\N^*$, on pose $u_n= \lfloor 10^n x\rfloor - 10\lfloor 10^{n-1}x\rfloor$.Sneg a dit : cet accès gratuit à tous les réels avec leurs décimales dont tu parles, c’est ce que j’appelle « l’infini en acte », c’est-à-dire ce pouvoir de maîtriser l’infini qui, sans ce pouvoir, n’est pas maîtrisable. Non ?Voilà, tu disposes de la suite des décimales de $x$.Mais attention, un grand pouvoir implique de grandes responsabilités, donc fais-en bon usage ! -
L'argument diagonal n'a rien à voir avec une notion d'infini. Dans mon argumentaire (et dans mon mini programme en COQ qui le reprend) rien n'est supposé sur l'ensemble de départ. Attention aussi à la multiplication de notions pas vraiment définies (nombres connus/connaissables etc à l'exception des fonctions calculables qui sont un vrai concept mathématique).Je ne suis pas disponible ce week-end mais je détallerai plus tard peut-être. Ce fil est également une démonstration du fait qu'en plus d'être fausse la vision d'une fonction comme un procédé à fait beaucoup de mal à la compréhension des mathématiques (elle achoppe typiquement sur cette problématique d'argument diagonal. Une fonction est un ensemble de couples. D'où le fait qu'il puisse y avoir des fonctions non calculables d'ailleurs).@Sneg Je maintiens que tu te noies dans un verre d'eau (parce que tu t'encombres de trucs en l'espèce non pertinents pour le problème étudié).Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
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Merci, raoul.S.
Afin que ce soit clair dans mon esprit : avoir accès à l’infinité des décimales de l’ensemble infini des réels (calculables ou non) relève-t-il de l’infini actuel ?
Merci d’avance. -
Je précise que ta question n'est pas une question mathématique. Ceci étant dit je répondrais que ça relève de l'infini actuel en me basant sur cette page Wiki.
Relis aussi les messages des intervenants ci-dessus (on dit tous grosso modo la même chose...) -
Rappelons aussi que le refus philosophique de l'infini actuel est ce qui a bloqué les mathématiques grecques (et ceux qui s'en sont inspiré ensuite) dans leur développement. Comme ces questions sont bien maîtrisées depuis un bon siècle et demi, conserver cette position philosophique revient à refuser de faire des mathématiques. A rester sur les maths d'Euclide (généralement en ne les ayant pas vraiment étudiées, c'est très fin, très compliqué, à cause du préjugé philosophique).
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Re- bonjour et merci à tous.Voilà les conclusions que je tire de tout ceci.J'ai commencé par introduire les "nombres non calculables" pour mettre en avant les problèmes que ces nombres pourraient créer dans l'argument diagonal. On me répond que je me complique la tâche. Alors, je les laisse tomber et passe à l'infini actuel pour pouvoir continuer.En effet, grâce à l'infini actuel, j'ai accès à toutes les décimales de tous les nombres réels (calculables ou pas), c'est-à-dire à l'intégralité de l'ensemble $\mathbb{R}$ : tout est devant moi sous la forme d'un tableau $T$, s'étendant infiniment vers la droite (pour les décimales) et vers le bas (pour les réels).Mais un raisonnement comparable à l'argument diagonal me prouve que, malgré le pouvoir de l'infini en acte, je n'ai accès qu'à une partie de $\mathbb{R}$.L'infini en acte n'est donc pas un concept fiable. Preuve est faite qu'il vaut mieux ne pas s'en servir.L'ennui, c'est que l'infini en acte (que je ne rejetais pas a priori) est pour moi le seul moyen de fabriquer la suite des réels, et donc de mettre en application le raisonnement de l'argument diagonal, dont on connaît le résultat.Là-dessus, GaBuZoMeu intervient et me dit : "On se fout complètement de la façon dont la suite des réels est fabriquée, algorithme ou révélation divine."Ok. Je laisse sagement tomber l'idée de l'infini actuel. J'ai juste devant moi le tableau $T$, construit d'une façon ou d'une autre et dont je pense qu'il est "complet". Mais, à nouveau, un raisonnement comparable à l'argument diagonal me prouve qu'il ne l'est pas. Donc, il est à jeter avant même de vouloir mettre en application le raisonnement de l'argument diagonal proprement dit.
Voilà.
Quelqu'un peut-il me sauver de la noyade ? -
@Sneg Pour t'épargner de longs développements, il ne saurait y avoir de suites de nombres réels puisque l'ensemble des entiers et l'ensemble des réels ne sont pas de même cardinal et la question que je reformule estSi à partir des réels construits par les axiomes de ZFC on construit des ensembles non vides dont on prouve qu'ils le sont, cela peut-il être validé comme preuve de l'inconsistance de ZFC?
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Sneg a dit :Ok. Je laisse sagement tomber l'idée de l'infini actuel : J'ai juste devant moi le tableau $T$, construit d'une façon ou d'une autre et dont je pense qu'il est "complet". Mais, à nouveau, un raisonnement comparable à l'argument diagonal me prouve qu'il ne l'est pas. Donc, il est à jeter avant même de vouloir mettre en application le raisonnement de l'argument diagonal proprement dit.Ça prouve simplement que c'est à tort que tu penses qu'il est complet, et le raisonnement de l'argument diagonal marche très bien.Il serait peut-être temps pour toi d'arrêter ces calembredaines au sujet de l'argument diagonal de Cantor.
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Mais justement, l'argument diagonal te dis qu'il ne peut pas exister de tableau $T$ faisant la liste complète des nombres réels, car du moment que tu supposes son existence, tu arrives à construire un réel qui n'est pas dans le tableau (en utilisant le tableau). Donc le tableau $T$ n'existe pas. Donc l'ensemble des nombres réels n'est pas dénombrable. Voilà.Sneg a dit :Ok. Je laisse sagement tomber l'idée de l'infini actuel : J'ai juste devant moi le tableau $T$, construit d'une façon ou d'une autre et dont je pense qu'il est "complet". Mais, à nouveau, un raisonnement comparable à l'argument diagonal me prouve qu'il ne l'est pas. Donc, il est à jeter avant même de vouloir mettre en application le raisonnement de l'argument diagonal proprement dit.
Voilà.
Quelqu'un peut-il me sauver de la noyade ? -
Merci de ton intervention, @Alain24, mais mon problème se situe en amont de l'impossibilité de mettre $\mathbb{R}$ en bijection avec $\mathbb{N}$, comme tu vas le voir ci-dessous.
@GaBuZoMeu et @raoul.S, nous ne sommes manifestement pas synchrones. Je résume la situation :
$\bullet$ J'espère que vous me comprenez quand je vous dis que je crée un tableau $T$ s'étendant à l'infini vers la droite (pour les décimales) et vers le bas (pour les réels appartenant à l'intervalle $[0, 1[$).
$\bullet$ Que l'élaboration de ce tableau repose sur un algorithme ou sur une intervention divine importe peu. Tout ce qui importe, c'est que j'aie la conviction de pouvoir embrasser dans ce tableau l'infinité de l'intervalle des réels $[0, 1[$ (et non pas que je puisse ou pas mettre cet intervalle en bijection avec $\mathbb{N}$ ! Ici, j'ai mis un point d'exclamation parce que cette remarque est d'importance).
$\bullet$ Un raisonnement $\textbf{comparable}$ à l'argument diagonal (ce n'est pas l'argument diagonal sensu stricto, mais j'imagine que vous pourrez reconstituer facilement ce raisonnement) prouve que ce tableau $T$ ne me permet pas d'embrasser l'infinité de l'intervalle des réels $[0, 1[$. Donc, je me résous sagement à ne plus jamais utiliser ce tableau pour représenter l'infinité de l'intervalle des réels $[0, 1[$, et cela notamment dans le raisonnement appelé "argument diagonal".
Quant à vous, vous continuez malgré tout à utiliser ce tableau ?
(Vu que GaBuZoMeu traite mes propos de "calembredaines", je crains de deviner la réponse.) -
Quelle différence fais-tu entre l'argument diagonal et celui qui lui ressemble ? Pour ma part je n'en vois aucune.
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" J'espère que vous me comprenez quand je vous dis que je crée un tableau T s'étendant à l'infini vers la droite (pour les décimales) et vers le bas (pour les réels appartenant à l'intervalle [0,1[)."Commence par le créer ...Et comme tu ne peux pas, il te reste à revenir à faire des maths. Par exemple une preuve par l'absurde, qui ne part pas de l'idée que l'hypothèse qu'on examine est vraie.Quant à nous, on n'a évidemment pas ce fumeux "tableau".
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@Sneg Ton problème se situe peut-être ici, avec ce point d'exclamation. Pour toi il semblerait qu'il n'y ait aucun lien entre cet hypothétique tableau $T$ et le fait de mettre en bijection $[0, 1[$ et $\mathbb{N}$. Mais il y a un lien fondamental, c'est une équivalence !!! Dire qu'on peut embrasser dans ce tableau l'infinité de l'intervalle des réels $[0, 1[$ c'est exactement la même chose que dire qu'il existe une bijection entre $[0, 1[$ et $\mathbb{N}$.Sneg a dit :Tout ce qui importe, c'est que j'aie la conviction de pouvoir embrasser dans ce tableau l'infinité de l'intervalle des réels $[0, 1[$ (et non pas que je puisse ou pas mettre cet intervalle en bijection avec $\mathbb{N}$ ! Ici, j'ai mis un point d'exclamation parce que cette remarque est d'importance).
Mais tu ne comprends pas que l'argument avec le tableau c'est l'argument diagonal !!! Il n'est pas comparable, c'est lui.Sneg a dit :$\bullet$ Un raisonnement $\textbf{comparable}$ à l'argument diagonal...prouve que ce tableau $T$... -
Je me permet de créer un tableau sur l’intervalle [0,1[ complet.gerard0 a dit :" J'espère que vous me comprenez quand je vous dis que je crée un tableau T s'étendant à l'infini vers la droite (pour les décimales) et vers le bas (pour les réels appartenant à l'intervalle [0,1[)."Commence par le créer ...Et comme tu ne peux pas, il te reste à revenir à faire des maths. Par exemple une preuve par l'absurde, qui ne part pas de l'idée que l'hypothèse qu'on examine est vraie.Quant à nous, on n'a évidemment pas ce fumeux "tableau".
En base 10 pour les unités:
0; 1
Pour les dixièmes:
0.1; 0.2; 0.3; 0.4; 0.5; 0.6; 0.7; 0.8; 0.9
Pour les centièmes:
0.11; 0.12; 0.13; ...; 0.21; 0.22; 0.23; ...; 0.91; 0.92; 0.93; ...
Et ainsi de suite.
Je vois le contre argument venir.
Oui mais tu utilise l’écriture décimale, Cantor lui parle de nombres réels.
Et Cantor que fait-il?
Il met trois petits points derrière une écriture décimale et proclame qu'il s'agit de nombres réels.
PS: Je cherche pas la guerre, j'expose juste mon point de vue.
-
Fly77, on a déjà du mal a expliquer à Sneg, si en plus tu te ramènes avec d'autres objections... ouvre un fil rien qu'à toi.
-
Gros problème ici sauf si c’est rhétorique :
« Tout ce qui importe, c'est que j'aie la conviction de pouvoir embrasser dans ce tableau l'infinité de l'intervalle des réels [0,1[ ».Moi je n’ai pas de conviction, je fais des maths.1) SI j’accepte l’idée qu’un tel tableau existe, alors en faisant des maths (Cantor) je montre qu’il y a une contradiction.2) Et comme je fais des maths, puisque j’ai une contradiction j’en déduis que ce tableau n’existe pas.
C’est tout.N’est-ce pas le même problème depuis la dernière fois ? Il suffit de faire des maths.Il y a le SI du « 1) » qu’il faut encadrer. -
Bonjour
Exactement, Dom, comme on disait autrefois, Y a pas à tortiller du ...
Cordialement,
Rescassol
-
Fly77
On peut rédiger la preuve de Cantor sans recours aux pointillés.Il y a une bijection entre les réels (j’en note un, disons $r$ dans $[0;1[$) et les développements décimaux propres (je note celui de $r$, $d(r)$ - c’est une suite de chiffres dont le terme d’indice $0$ est $0$ - en général la partie entière) et donc aussi avec les écritures décimales propres (une chaîne de caractère, finie ou infinie). -
On suppose qu'il existe une bijection $\varphi : \mathbb N \to [0, 1[$.
Soit $\displaystyle x = \lim_{n\to\infty}\sum_{i=0}^n \frac{\mod(\lfloor \varphi(i) 10^{i+1}\rfloor+1, 10)}{10^{i+1}}$- Est-ce que $x$ existe ?
- Est-ce que $x$ est un réel ?
- Est-ce que $x\in [0, 1[$ ?
- Est-ce que $x \in \operatorname{Im}(\varphi)$
Il ne faut pas respirer la compote, ça fait tousser.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse -
Pas convaincant : si le DD de $x$ se termine par une infinité de 8, on obtient un développement impropre pour l'image qui pourrait apparaître n'importe où dans la liste.
-
Une infinité de 8 ne pose pas de problème, et une infinité de 9 non plus : à aucun moment, je ne parle de représentation décimale.Il ne faut pas respirer la compote, ça fait tousser.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse -
Peut-être ai-je été trop paresseux pour répondre in petto à la question 4 ?
-
Merci d’être encore là.Voici les faits :
Si vous le voulez bien, revenons au thème initial de ce fil, dont j’ai eu tendance à m'éloigner.
$\bullet$ Il existe des nombres réels calculables et des nombres réels non calculables.
$\bullet$ L’ensemble des nombres réels calculables est dénombrable, tandis que l’ensemble des nombres réels non calculables est non dénombrable.Cela m’intrigue que ce soient précisément les étranges nombres réels non calculables qui soient non dénombrables. S’agit-il d’une pure coïncidence ?Je remarque en tout cas ceci.
Par définition, les nombres réels calculables peuvent être représentés au moyen d’une quantité finie de symboles. Donc, pas besoin de faire intervenir l’infini en acte pour représenter un nombre réel calculable.
En revanche, considérer que l’on connaît l’infinité des décimales d’un nombre réel non calculable relève, pour moi, de l’infini en acte.Ainsi, coïncidence ou pas :
- d’une part, l’ensemble des nombres réels non calculables est non dénombrable,
- d’autre part, la construction de chacun des éléments de l’ensemble des nombres réels non calculables demande l’intervention de l’infini en acte.
Validez vous ces propos ?
Merci d’avance.
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