Anneau non euclidien

BMaths
BMaths
Modifié (April 2023) dans Algèbre
Bonjour,
je dois montrer que $\mathbb{Z}[w]$ n'est pas euclidien où $w=\frac{1+i\sqrt{19}}{2}$.
Par l'absurde, on suppose qu'il existe une DE (division euclidienne).
On pose $\phi(u)=\min\big\{\phi(v)\mid v\in\mathbb{Z}[w]\setminus\{-1,0,1\}\big\}$.
On effectue la DE de $v\in\mathbb{Z}[w]\setminus\{0\}$ par $u : v=qu+r$.
Soit $r=0$ et dans ce cas $u$ divise $v$.
Soir $r$ est non nul et dans ce cas $r=\pm1$.
Je ne vois pas pourquoi.
Pouvez-vous m'éclairer ?
D'avance merci !

Réponses

  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Bonjour,
    Qui est $\phi$ ? Le stathme euclidien ?
    Dans ce cas, que demande-t-on au stathme du reste dans la division euclidienne, si ce reste est non nul ?
  • etanche
    etanche
    Modifié (April 2023)

    @ BMaths seulement après avoir chercher suffisamment, tu as le feu vert pour regarder ici https://perso.eleves.ens-rennes.fr/people/teofil.adamski/agreg/developpements/Anneau_princ_non_eucl.pdf

    Avez-vous d’autres $w\neq \frac{1+i\sqrt{19}}{2}$  tels que $\mathbb{Z}[w]$ ne soit pas euclidien ?
  • Math Coss
    Math Coss
    Modifié (April 2023)
    Parmi les $\Z[\sqrt d]$, un nombre fini sont euclidiens, quelques autres sont principaux, la plupart ne sont ni l'un ni l'autre. Expression clé : anneau de Dedekind.
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Pourquoi ne pas laisser @BMaths suivre son chemin et réfléchir à la question que j'ai posée ?
  • BMaths
    BMaths
    Modifié (April 2023)
    Bonjour,
    merci pour vos retours ! Alors pour répondre à la question, si $r$ est non nul, on demande que $\phi(r)<\phi(u)$, lequel est un minimum. Ce qui n'est pas possible. C'est donc que $\phi(r)=0$, non ?
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Tu as mal lu l'énoncé.
    $$\phi(u)=\min\left\{\phi(v)\mid v\in\mathbb{Z}[w]\setminus\{-1,0,1\}\right\}$$
  • BMaths
    BMaths
    Modifié (April 2023)
    OK, je crois que j'ai compris le passage.
    On ne peut avoir $r\in\mathbb{Z}[w]\setminus\{-1,0,1\}$ car sinon $\phi(r)<\phi(u)$ lequel est un minimum. Absurde. C'est donc que $r\notin\mathbb{Z}[w]\setminus\{-1,0,1\}$ et donc $r\in \{-1,0,1\}$. Est-ce le bon raisonnement ?
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Modifié (April 2023)
    Non, ça ne va pas. Déjà, que veut dire ta phrase "On ne peut avoir $𝑟\mathbb Z[w] \in \{−1,0,1\}$ car sinon $\phi(r)<\phi(u)$"
  • BMaths
    BMaths
    C'était une erreur de ma part ! Désolé ! J'ai rectifié !
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Ce n'est pas très bien formulé. Je dirais plutôt simplement "On ne peut avoir ... car $\phi(r)<\phi(u)$ et que $\phi(u)$ est le minimum de $\phi$ sur cet ensemble." Ton "sinon" est un contresens.
  • BMaths
    BMaths
    Modifié (April 2023)
    Je vois, merci ! Puis-je poster une autre incompréhension de la démonstration dans ce fil de discussion ou dois-je en ouvrir un autre ?
    [Pour le même problème, restons dans ce fil de discussion. :) AD]
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Il vaut mieux poursuivre dans le même fil.
  • BMaths
    BMaths
    Merci !
    Alors, dans la suite il est dit que $|u|^2$ divise $|v|^2$ ou $|v-1|^2$ ou $|v+1|^2$.
    Par la suite, il est fait le choix de $v=2$ ou $v=w$ : je ne vois pas pourquoi uniquement ces choix là ? Est-ce arbitraire ?
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Ce qu'on a démontré est valable pour tout $v\neq 0$, en particulier pour $v=2$ et $v=w$. Pourquoi fait-on ces choix ? Sans doute parce que ça permet d'arriver à la conclusion voulue, non ?
  • BMaths
    BMaths
    Merci infiniment, j'ai tout compris !
    :)
    Je me demande, à quelle condition supplémentaire peut-on dire qu'un anneau principal sera euclidien ? (si possible)
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.

Bonjour!

Pour participer au forum, cliquer sur l'un des boutons :

Connexion S'inscrire

Catégories

In this Discussion

Français