Questions fonctions trigonométriques
Bonjour
Il y a plusieurs questions que j'aimerais poser sur le forum et elles concernent les fonctions trigonométriques et les fonctions trigonométriques réciproques. Les questions se réfèrent au cours "Nombres complexes et trigonométrie" du professeur Christophe Bertault, page 2 à 8. Voici un lien vers le cours:
Il y a plusieurs questions que j'aimerais poser sur le forum et elles concernent les fonctions trigonométriques et les fonctions trigonométriques réciproques. Les questions se réfèrent au cours "Nombres complexes et trigonométrie" du professeur Christophe Bertault, page 2 à 8. Voici un lien vers le cours:
Voici la première question : à la page 3, dans la preuve du théorème « fonctions
cosinus et sinus, aspects fonctionnels » je n'ai pas
compris pourquoi on doit montrer que l'inégalité est vraie pour $
x>\pi $ et pour $ x<π $. En fait quand Christophe travaille d'abord sur $ [0,\pi]$ puis sur $[−\pi,0]$ on n' a pas travaillé sur tous les points du cercle trigonométrique ? Pour moi la réponse est oui. Est-ce que vous pourriez m'expliquer pourquoi j'ai tort ?
Merci d'avance.
Réponses
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Bonjour à toi,l'auteur démontre l'inégalité sur $[0;\pi]$ et sur $[-\pi;0]$ : il travaille d'abord sur ces deux intervalles comme tu l'as très justement remarqué.Ensuite, il y a une coquille (une erreur de frappe) : il faut lire "l'inégalité est triviale pour $x > \pi$ et $x < - \pi$" comme cela, on aura prouvé l'inégalité sur $]\pi ; +\infty[$ et sur $]-\infty ; -\pi[$ donc on aura l'inégalité sur tout $\mathbb{R}$ avec le travail fait précédemment !Et c'est bien $-\pi $ dont il est question à la fin car si $x < -\pi$ alors $|x | > \pi$ et on a bien : $| \sin(x)| \leq 1 \leq \pi \leq |x| $ .N'hésite pas si tu as d'autres questions !Lorsque notre cher Gebrane, le 😄 farceur, intervient dans une question d'algèbre, c'est une véritable joie pour les lecteurs.
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@NicoLeProf: merci beaucoup pour ton explication.
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Pour la deuxième "question", ça concerne le deuxième exemple page 6 "$Arccos \cos(20\pi /3) = 2\pi/3 $ ..." . Est-ce que vous pourriez me dire si mon raisonnement suivant est correct ou pas.Pour montrer que $20\pi /3 $ appartient à $2\pi $ près au domaine privilégié du cosinus, est-ce qu'il faut se dire : $20\pi /3\approx 6,66\pi $ et $6,66\pi = 2\pi *3 + 0,66\pi $ et $ 0,66\pi \in [0, \pi]$ donc c'est bon.Merci d'avance.
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Bonjour,
${20\pi\over 3}=6\pi+{2\pi\over 3}$ puisque $20=6\times 3+2.$ -
C’est le même raisonnement à ceci près que tu travailles avec une valeur approchée (ta manière d’écrire $2\pi/3$).
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D'accord merci Dom.
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Ma troisième question se réfère à la page 6 à la preuve du théorème "Lien entre les coordonnées cartésiennes et les coordonnées polaires". D'où on sait que dans le cas où $ x >0$ "pour un certain $k \in \mathbb{Z} : \theta - 2k\pi \in ]-\pi/2,\pi/2[$" et d'où on sait que dans le cas où $ x<0 $ "pour un certain $k \in\mathbb{Z} :\theta - 2k\pi \in]\pi /2, 3\pi/2[$ " ?Merci d'avance.
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L’idée est « à droite de l’axe des ordonnées » ou « à gauche de l’axe des ordonnées ». Un cercle trigonométrique dans l’œil et on voit bien qu’être à droite c’est pour un angle entre $-\pi/2$ et $\pi/2$.Non ?
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Je comprends ta réponse Dom, merci, mais j'ai une autre question qui me vient: est-ce que ça aurait été juste d'écrire : "Cas où $x >0$:Pour un certain $k \in \mathbb{Z}: \theta + 2k\pi \in ]-\pi/2, \pi /2[$ " ?
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Oui. Le $k$ étant dans $\mathbb Z$, c’est la même chose.
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Si $x>0$ alors on a : $r \cos \theta >0$ mais $r >0$ (traiter à part le cas $r=0$) donc $\cos \theta >0$ . Ainsi, $\theta $ appartient à un intervalle de la forme $\left ]-\dfrac{\pi}{2} + 2 k \pi ; \dfrac{\pi}{2} + 2 k \pi \right[$ où $ k \in \mathbb{Z}$ (s'en convaincre en faisant un dessin : un certain nombre de tours sur le cercle trigonométrique ou en regardant le graphique de la fonction $\cos$ ou en se disant que dans ce cas, la mesure principale de $\theta $ est dans l'intervalle $\left ]-\dfrac{\pi}{2} ; \dfrac{\pi}{2} \right [$ donc que l'on peut considérer cet intervalle "à $2 \pi$ près") .Puis, si $\theta $ appartient à un intervalle de la forme $\left ]-\dfrac{\pi}{2} + 2 k \pi ; \dfrac{\pi}{2} + 2 k \pi \right[$ où $ k \in \mathbb{Z}$ alors $-\dfrac{\pi}{2} + 2 k \pi < \theta < \dfrac{\pi}{2} + 2 k \pi $ donc $-\dfrac{\pi}{2} < \theta-2 k \pi < \dfrac{\pi}{2} $ ainsi $\theta-2k \pi \in \left ]-\dfrac{\pi}{2} ; \dfrac{\pi}{2} \right [$ .Et on procède de la même manière dans le cas où $x<0$ .
Lorsque notre cher Gebrane, le 😄 farceur, intervient dans une question d'algèbre, c'est une véritable joie pour les lecteurs. -
@Dom: D'accord merci.@NicoLeProf: merci beaucoup pour ton explication.
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Bonjour
Je reviens sur cette discussion car j'ai encore deux questions.1) Dans le dernier message de NicoLeProf, il écrit au début: "...Ainsi, $\theta$ appartient à un intervalle de la forme $]-\pi/2 + 2k\pi , \pi/2 + 2k\pi[$, où $ k \in \mathbb{Z}$ (s'en convaincre ..." .Je ne comprends pas pourquoi il a écrit $ +2k\pi $ deux fois à l'intérieur des crochets, et je ne comprends pas l'explication qu'il donne (qui est entre parenthèses).2) À la page 7, dans la démonstration de l'exemple, monsieur Berthault écrit :" Arccosinus : $\theta $ n'appartient pas au domaine privilégié $[0, \pi]$, même à $2\pi$ près...". Ma question est peut-être bête mais je me demande qu'est ce qu'il sous-entend quand il écrit "...même à $2\pi $ près...".
Merci d'avance. -
Bonjour.Pour comprendre la question 1, écris $]-\pi/2 + 2k\pi , \pi/2 + 2k\pi[$ pour k=0, 1, 2, 3, ... -1, -2, ... tu comprendras ce qui est écrit.Pour la question 2, ça veut dire que quel que soit $k$ entier, $\theta+k\times 2\pi$ n'est jamais dans l'intervalle. "à $2\pi$ près" signifie traditionnellement (pour les angles) " en ajoutant ou retranchant $2\pi$ autant de fois que l'on veut".Rappel : ces questions se voient en première, avec la définition des mesures d'angles.Cordialement.
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Merci gerard0 pour les explications.
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