Apparition de la topologie abstraite ?

Homo Topi
Modifié (April 2023) dans Histoire des Mathématiques
Sans savoir exactement dans quel ordre tout a été fait : je pense pouvoir me faire une idée de pourquoi on a introduit le concept abstrait de distance et d'espace métrique. La "distance à vol d'oiseau" n'est pas adaptée à modéliser tous les problèmes de nature à invoquer le concept de distance.
Mais, à quel moment de l'histoire des mathématiques, pour la résolution de quel(s) problème(s), a-t-on eu besoin de développer une topologie générale complètement abstraite, aux axiomes purement ensemblistes ? J'ai vu plein de choses qui utilisent des notions de topologie bien sûr, mais je n'ai jamais su historiquement comment ça s'est construit. J'imagine que ça a un rapport assez étroit avec l'analyse fonctionnelle, avec des espaces fonctionnels "utiles" mais que personne n'arrivait à attacher à une distance, quelque chose comme ça ? Racontez-moi, je suis tout ouïe :) 

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