Compositions de fonctions réelles

epiKx
Modifié (March 2023) dans Histoire des Mathématiques
Bonjour
Ma question est élémentaire mais je ne trouve pas de réponse sur le forum.
Y a-t-il des mathématiciens ayant étudié les équations de composition fonctionnelle ? Quels sont les documents correspondants ?
Par exemple, trouver des fonctions à valeurs réelles ou complexes vérifiant fof=0.
Je ne prétends pas inventer quoi que ce soit en disant ça...
Ou peut-être qu'on ne peut rien dire... 
Déjà si la fonction est supposée linéaire on peut dire: Im(f) inclus dans ker(f). Quoi d'autre ? 
Merci. 

Réponses

  • Bibix
    Modifié (March 2023)
    Il n'y a pas grand chose à ajouter dans le cas général. C'est équivalent à $f(\mathbb{R} \text{ ou } \mathbb{C}) \subset \{x \in \mathbb{R} \text{ ou } \mathbb{C} \mid f(x) = 0\}$ et puis c'est tout. Les fonctions qui vérifient cela, il y en a plein. En voici une "exotique" : $f : x \longmapsto \sqrt{2} \,\mathbb{1}_{x \in \mathbb{Q} \setminus \{0\}}$.
  • Dans le cas linéaire et en dimension finie $n$, on peut en plus pratiquer une décomposition de Jordan sans trop le dire, i.e. trouver une base de la forme $(e_1,e_2,\dots,e_{2r-1},e_{2r},e_{2r+1},\dots,e_n)$ de sorte que $f(e_{2i})=e_{2i+1}$ si $1\le i\le r$ et $f(e_j)=0$ pour $j$ impair ou $>2r$.
  • gerard0
    Modifié (March 2023)
    Il y a quand même un petit problème avec la question initiale pour le cas linéaire : "des fonctions à valeurs réelles ou complexes vérifiant $f\circ f=0$."
    Si $f(x)$ est un réel et $f$ est linéaire, $f\circ f$ n'a de sens que si $x$ est aussi un réel et alors $f$ est nulle. Idem pour le cas valeur complexe.
    Implicitement, vous avez généralisé à des applications à valeurs dans des espaces vectoriels réels ou complexes ?
    Cordialement.
  • Oui merci @gerard0 j'ai très mal posé ma question. J'aurais dû dire: "Que peut-on dire de f linéaire de E dans E où E est un espace vectoriel et f vérifie: f○f=0?"

    La réponse à l'autre question que je me posais à savoir des solutions à des equations de composition de fonctions n'existe pas car c'est un ensemble trop grand et trop hétérogène pour être décrit.

    Merci aussi aux autres pour leurs éclairages.
  • Le cas des endomorphismes d'un espace vectoriel de dimension finie est très classique et source de nombreux exercice de bac+1. On généralise avec les applications nilpotentes.
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