Calcul intégral et résidus

On considérera $\varphi \in [0, \pi[$ puisque $I$ est paire en $\varphi$.

On va passer à l’analyse complexe. On prend le logarithme défini dans la branche $]-\pi/2, 3\pi/2[$, vérifiant $\boxed{\ln(re^{i\theta}) = \ln(r) + i \theta}$.
Cela implique que si $x > 0$ on a :
$\ln(-x) = \ln(xe^{i \pi}) = \ln(x) + i\pi$  et $\ln(ix) = \ln(x) + i \pi/2$.
On pose : $$\boxed{J = \int_{-\infty}^{\infty}  \frac{\ln(x)dx}{\cosh(x) + \cos(\varphi)}}.$$
Alors $\displaystyle J = I + \int_{-\infty}^0 \dfrac{\ln(x)dx}{\cosh(x) + \cos(\varphi)} = I + \int_{0}^{\infty} \dfrac{\ln(x) + i\pi }{\cosh(x) + \cos(\varphi)}dx = 2I + i\pi K$, avec $$\boxed{K = \int_0^{\infty} \frac{1}{\cosh(x) + \cos(\varphi)}dx}.$$
Et donc $$\boxed{I = \frac{J - i \pi K}{2}}.$$

Ainsi, $Z$ converge vers $J$ lorsque l'on fait tendre $r$ vers $0$ et $R$ vers $+\infty$

On va chercher tous les pôles de $f(z)$ où $f(z) =  \dfrac{\ln(z)}{\cosh(z) + \cos(\varphi)}$ qui seront à l'intérieur de $\gamma$ pour $R$ assez grands. Ce sont donc les pôles de partie imaginaire strictement positive. Ce sont des pôles simples pour $\varphi > 0$

On résout l'équation $\cosh(z) + \cos(\varphi)= 0$ ce qui donne $e^{2z} + 2 \cos(\varphi)e^z + 1 = 0$ et donc $e^z = e^{i(\pi - \varphi)}$ ou $e^z = e^{-i(\pi - \varphi)}$
Les racines de partie imaginaire strictement positives sont donc 
1) Les $z_k = i\varphi + (2k+1)i\pi$, où $k \geq 0$
2) Les $w_k =  -i\varphi + (2k+1)i\pi$, où $k \geq 0$.
On vérifie aussi que $z_k \neq w_l$ pour tous entiers $k,l$
Résidus : (Il faut donc avoir $\varphi \neq 0$ pour avoir des pôles d'ordre 1)
\begin{align*}Res_{z_k}(f)  &= \frac{\ln(\varphi +   (2k+1)\pi) + i \pi/2}{i \sin(\varphi + (2k+1)\pi)} = -\frac{\ln(\varphi +  (2k+1)\pi) + i \pi/2}{i \sin(\varphi)}\\
Res_{w_k}(f)  &= \frac{\ln(-\varphi +  (2k+1)\pi) + i \pi/2}{i \sin(\varphi)}\end{align*}
Alors, en faisant fi de la convergence on a $\boxed{Z \to J}$ quand $R \to \infty$ et $r \to \infty,$ avec
$$J = \frac{2 \pi}{\sin(\varphi)}\sum_{k \geq 1}  \ln\left( \frac{-\varphi + (2k+1)\pi}{\varphi + (2k+1)\pi}\right).$$
Mais là je m'attendais à ce que $J$ ait une partie imaginaire pure égale à $\ \pi K = \dfrac{\pi \varphi}{\sin(\varphi)}.$
Normalement $K$ est ok mais y a un problème dans mon calcul de résidus...
Où est mon erreur ?