Preuve plus courte pour le développement eulérien de cotangente ?

Une méthode est d'utiliser le calcul des résidus.

Une méthode utilisant la formule de Parseval : avec $f(t) = e^{2\pi i z t}$, on calcule
$$ \int_0^1 f(t)^2 \,\mathrm dt = \sum_{n=-\infty}^\infty  c_n(f)c_{-n}(f)$$ puis on retombe (après quelques simplifications) sur cette décomposition « polaire »  de la cotangente. Et si on considère à la place la fonction $f(t) = e^{2\pi i z t}$ si $0\le t \le \frac{1}{2}$ et $f(t)=0$ sinon, on obtient une série analogue pour $\frac{\pi}{\sin \pi z}$.

Une méthode utilisant l'analyse complexe : on introduit la différence entre les deux membres de l'équation, on remarque qu'elle se prolonge en fonction entière $1$-périodique, bornée sur la bande $0\le \operatorname{Re} z \le 1$. Le théorème de Liouville implique que cette différence est constante. Mais comme elle s'annule en $z=0$, on conclut...