Sujets agrégation externe 2023
Bonjour
Les heureux candidats pourraient-ils poster une photo de leurs sujets ?
Merci beaucoup !
Merci beaucoup !
\l'épreuve "Mathématiques générales" se trouve là
https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/comment/2415435/#Comment_2415435
https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/comment/2415435/#Comment_2415435
L'épreuve "analyse et probabilité" se trouve là
https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/comment/2415561/#Comment_2415561
https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/comment/2415561/#Comment_2415561
L'épreuve agreg spéciale docteurs se trouve là
https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/comment/2415428/#Comment_2415428
https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/comment/2415428/#Comment_2415428
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Réponses
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Le voici. Désolé pour la qualité parfois douteuse, je l'ai fait avec la caméra de mon téléphone, quelqu'un postera peut-être une meilleur version plus tard
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Voici une autre version, de qualité différente.
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Bonsoir
Pour changer des photos, j'ai fait un scan du sujet que l'on m'a distribué ce matin. J'ai fait de mon mieux pour que ce soit le plus propre possible, mais la qualité n'est pas parfaite pour autant. Bon courage à ceux qui souhaitent le travailler ! -
J'aime beaucoup l'indication de la question 29. J'imagine que tout candidat arrivé jusque là aura bien sûr profité du conseil
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Ce sont les polynômes de Hall ou je n'ai pas les yeux en face des trous ?
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Bon courage à tous mes camarades agrégatifs !
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L'impression donnée depuis quelques années est que les connaissances de niveau L3 ne semblent presque plus exigées.Peut-on faire ce problème seulement avec un niveau de classe prépa ? On dirait que oui.Ensuite les diagrammes de Ferrers ça ne me parle pas, j'ai plutôt en souvenir les tableaux de Young qui donnent des informations sur les itérées des noyaux d'une matrice.Qu'en pensez-vous ?
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Diagrammes de Young et diagrammes de Ferrers sont deux mots pour parler de la même chose. On parle de tableau de Young quand les « cases » sont remplies ; autrement dit, un tableau de Young est une application d'un diagramme vers $\N$ satisfaisant à telle ou telle contrainte (il y a plusieurs variantes).
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Probablement une partie mais pas la totalité, loin de là. Par exemple, les actions de groupe et les espaces quotients ne sont pas au programme.LeVioloniste a dit :Peut-on faire ce problème seulement avec un niveau de classe prépa ? On dirait que oui.
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Bonjour, est-ce qu'une âme charitable peut envoyer le sujet d'aujourd'hui ?
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Il y a quand même des quotients d'espace vectoriel, des actions de groupe, ce sujet dépasse largement le niveau prépa. Ce sujet semble compliqué.
Je suis d'accord avec @JLapin.
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Au contraire, pour un sujet d'agrégation externe, il me paraît plutôt abordable ! ^^' Je regretterais presque de ne pas m'être inscrit aussi à l'externe (Dom serait ravi de lire cela ! ^^'OShine a dit :J'en doute, j'ai lu le sujet il a l'air redoutable
)
Lorsque notre cher Gebrane, le 😄 farceur, intervient dans une question d'algèbre, c'est une véritable joie pour les lecteurs. -
L'exercice 1 m'a l'air abordable. Je vais essayer de le résoudre. Je bloque à la question 1. Qui suis-je?
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@NicoLeProf
Il semble beaucoup plus dur que le sujet de l'interne d'algèbre même s'il n'y a que 30 questions, les espaces vectoriels quotients tu maitrises ?
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Pour l'instant je ne vois pas. Le plus proche que j'ai trouvé c'est $u(x)=e^x$, $v(x)=e^x$ donc $(uv)'(x)=2e^{2x}$ et $u'(x)v'(x)=e^{2x}$gai requin a dit :
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@OShine : Il n'y a absolument pas besoin d'aller jusqu'aux espaces vectoriels quotients pour avoir une bonne note... Faire tout ce qui précède est déjà TRES bien. Personne ne part dans l'optique de faire la totalité des sujets, sauf quelques personnes...(j'ai le sentiment qu'il y en aura cette année, les sujets me paraissent terminables pour les meilleurs)
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OShine a dit :@NicoLeProf
Il semble beaucoup plus dur que le sujet de l'interne d'algèbre même s'il n'y a que 30 questions, les espaces vectoriels quotients tu maitrises ?Je ne sais pas mais en lisant quelques trucs (sans entrer dans les détails), j'ai l'impression de voir pas mal de questions abordables à chaque exo et à chaque partie... Et oui, pas besoin de tout faire ou d'aller jusqu'aux espaces vectoriels quotients.Lorsque notre cher Gebrane, le 😄 farceur, intervient dans une question d'algèbre, c'est une véritable joie pour les lecteurs. -
Bonjour,Voilà le scan du sujet de l'épreuve d'analyse et probabilités.Les deux premières parties peuvent paraître extrêmement faciles, mais il peut y avoir des pièges que l'on ne voit pas forcément avant de commencer à rédiger rigoureusement ses réponses. Du moins, avec mon modeste niveau, c'est ce que j'ai ressenti. Du coup, j'imagine que le démarquage des candidats se fera dans la capacité à remarquer et à contourner ces pièges.Ensuite, je n'ai pas vraiment eu le temps de m'attaquer à la partie III, mais ne vous fiez pas à ma performance : je suis plutôt lent.
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J’ai compté 69 questions.
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@LeVioloniste : plus ou moins pareil. Personnellement, la partie I m'a donné du fil à retordre avec les questions 4 et 5... Si quelqu'un a des pistes je serais bien intéressé car je n'ai pas trouvé de moyen de gérer ce fichu cosinus
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Bonjour, @Barry pour la question 4, tu écris le $cos^n$ comme $exp(ln(cos^n))$ et tu utilises l'inégalité de la 1.b multipliée par $-1$ pour majorer par une bonne fonction qui te permettra d'utiliser la convergence dominée. (J'ai n'ai pas vérifié les détails mais je pense que ça marche)
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Pour la question 5 première équivalence tu étudies le quotient, à un moment il faut penser à faire le changement de variable $y=n^{1/2}x$ et tu peux conclure avec ce que tu as trouvé à la question 4.
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Les sujets sont déjà à https://agreg.org/index.php?id=archives
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Barry a dit :@LeVioloniste : plus ou moins pareil. Personnellement, la partie I m'a donné du fil à retordre avec les questions 4 et 5... Si quelqu'un a des pistes je serais bien intéressé car je n'ai pas trouvé de moyen de gérer ce fichu cosinus
Juste question 2 et convergence domineeBarry a dit :@LeVioloniste : plus ou moins pareil. Personnellement, la partie I m'a donné du fil à retordre avec les questions 4 et 5... Si quelqu'un a des pistes je serais bien intéressé car je n'ai pas trouvé de moyen de gérer ce fichu cosinus -
Oui, j'avais testé la convergence dominée mais la domination me posait problème. J'avais pensé à ça @Barjovrille mais je ne suis pas allé plus loin que le bout de mon nez pour cette piste, et ça m'a visiblement desservi dommage !
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Pour la deuxième équivalence grâce à la première équivalence il suffit d'étudier le quotient $\frac{I(0)}{n^{1/2}W_n}$, tu fais un changement de variable similaire à la première équivalence et tu fais une convergence dominée similaire à la question 4 puis tu conclus par la formule de produit des équivalent.
Bon Si t'étais bloqué sur la 4 c'est pas évident de faire la 5. -
@Barjovrille : pour le 2ème équivalent de la 5 : le premier équivalent donne un équivalent de $W_n$ (cas où $\alpha=0$).
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$u(x)=e^{2x}$, $v(x)=e^{2x}$OShine a dit :
Pour l'instant je ne vois pas. Le plus proche que j'ai trouvé c'est $u(x)=e^x$, $v(x)=e^x$ donc $(uv)'(x)=2e^{2x}$ et $u'(x)v'(x)=e^{2x}$gai requin a dit :
$u(x)=ce^{ax}$, $v(x)=de^{bx}$ avec a+b=ab
Quelqu'un connait l'ensemble des solutions possibles ?
Je sèche.
Sinon pour revenir au sujet : avec un petit niveau spé j'ai rédigé durant 6h arrivant vers la question 15 à la première épreuve et 19 à la seconde. sans doute plein de manque de rigueur je n'ai pas vu les pièges dont vous parlez. Je pense frôler l'admissibilité, ça ferait du bien à mon ego 😁. -
Si $w$ est une fonction dérivable dont la dérivée ne s'annule pas, et si $u(x)=w(x)e^x$ et $v=Ce^x\exp\int\frac{w}{w'}\,dx$ alors $(uv)'=u'v'$.
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De manière générale, soit $u$ une fonction de classe $\mathcal C^1$ sur un intervalle $I$, où $u'-u$ ne s'annule pas.On sait résoudre l'équation différentielle $uv'+u'v=u'v'$ d'inconnue $v$ sur $I$.
Par exemple, avec $u(x)=x$, on obtient $v(x)=\dfrac{C}{1-x}$ sur $]1,+\infty[$. -
@jean-louis972
Tu n'as pas étudié les fonctions holomorphes et la théorie des distributions ?
@gai requin
Je n'ai jamais vu un cours qui explique ce genre d'équation différentielle où le $x$ est une fonction. Je sais résoudre $y'+a(x)y=b(x)$ où $x$ est défini sur un intervalle $I$ de $\R$.
Ici je ne comprends pas comment résoudre cette équation différentielle.
@JLT
Je ne comprends pas comment tu trouves la solution.
Rien que la vérification m'a pris 2 pages. -
OShine, cette équation s'écrit : $v'(u-u')+u'v=0$ soit encore en supposant que $u-u'$ ne s'annule pas sur l'intervalle $I$ considéré : $v'=\left (\dfrac{u'}{u'-u} \right )v$ . On sait résoudre cette équation différentielle sur $I$ et on a : $v(x)=Ce^{\int_{a}^x \frac{u'(t)}{u'(t)-u(t)} \, \mathrm{d}t}$ (je prends $a$ dans $I$, $0$ par exemple si $0$ est dans $I$) .En posant $u(t)=w(t)e^t$ comme fait JLT (et c'est ça la question à se poser en fait : comment JLT a eu l'idée de faire cela? Je ne sais pas pour le moment, quoique : $u$ est solution d'une équation différentielle très ressemblante donc on peut se dire qu'il y a du exp derrière...), on retrouve l'expression de $v$ donnée par JLT.C'est cohérent avec l'exemple donné par gai requin aussi !Lorsque notre cher Gebrane, le 😄 farceur, intervient dans une question d'algèbre, c'est une véritable joie pour les lecteurs.
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@OShine : Toujours le même problème du statut des variables qui t'empêche d'utiliser ton cours qui devient donc inutile.
En tout cas, l'élève de Terminale qui a l'intuition que la proposition est vraie peut très bien trouver mon exemple avec $u(x)=x$ (fonction non constante pas trop compliquée) puis calculer $v$ à partir de $v'/v$. C'est au programme !
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Merci beaucoup @NicoLeProf .
J'avoue que je suis un peu rouillé en équation différentielle, j'ai fait trop d'algèbre. -
Oui je vois, j'aurais du prendre $u(x)=x$ et continuer pour voir ce qui se passe.gai requin a dit : https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/comment/2415674/#Comment_2415674[Inutile de recopier l’avant dernier message. Un lien suffit. AD]
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Merci @Magnéthorax.
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Pour l'épreuve d'AP je suis curieux de savoir comment on trouve cette limite dans la question $2$. J'ai lu que les deux premières parties étaient extrêmement faciles, mais je vois rien d'évident dans cette limite.
Un DL suffit ? En écrivant $\cos^n ( y / \sqrt{n} )= \exp (n \ln (\cos ( y / \sqrt{n} ) )$ ?
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@Amédé
Merci en effet c'est facile.
On a $\cos ( \dfrac{y}{\sqrt{n}} ) =1- \dfrac{y^2}{2n}+ o( \dfrac{y^2}{2n})$ et $\ln(1-u)=-u +o(u)$
Donc $\ln ( \cos ( \dfrac{y}{\sqrt{n}} ) ) = - \dfrac{y^2}{2n}+ o( \dfrac{y^2}{2n})$
Donc $n \ln ( \cos ( \dfrac{y}{\sqrt{n}} ) ) = -\dfrac{y^2}{2}+ o(1)$ car $o( y^2 /2)= o(1)$.
Finalement $\cos^n ( \dfrac{y}{\sqrt{n}}) = \exp ( -\dfrac{y^2}{2}+ o(1) )= \exp( - y^2 /2) \exp ( o(1)) \longrightarrow e^{-y^2 /2}$
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AP 1.b c'est la formule de Taylor Lagrange ? A quel ordre ? Je ne vois pas trop comment utiliser cette méthode.
La deuxième indication est étrange, la première inégalité est simple à montrer avec le inf, la limite en 0 est facile à obtenir avec un DL, et je crois qu'il suffit d'utiliser le théorème de Heine. Mais je ne comprends pas pourquoi ils prennent $]0,1]$ et non pas $[0,\pi/2[$. Pourquoi changer d'intervalle ?
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Pour ta première question : formule de Taylor-Lagrange à l'ordre $2$ appliquée pour $a=0$ et $b=t$ je dirais.Ce qui donne l'existence d'un $c \in ]0;\frac{\pi}{2}[$ tel que : $f(t)=tf'(0)+\dfrac{t^2f''(0)}{2}+\dfrac{t^3f^{(3)}(c)}{3!}$ . Ce qui permet de conclure car $f'(0)=0$, $f''(0)=1$ et pour tout $t \in [0;\frac{\pi}{2}[$ et comme $c \in ]0;\frac{\pi}{2}[$, $\dfrac{t^3f^{(3)}(c)}{3!} \geq 0$. (Si je ne suis pas allé trop vite ^^)Pour la deuxième, je n'y ai pas suffisamment réfléchi pour y apporter une réponse.Lorsque notre cher Gebrane, le 😄 farceur, intervient dans une question d'algèbre, c'est une véritable joie pour les lecteurs.
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La formule de Taylor avec reste intégral à l'ordre 1 donne la réponse immédiatement puisque la dérivée seconde de $f$ est supérieure à 1.Quant à la deuxième méthode, elle utilise une minoration grossière sur $[1,\pi/2[$ et la continuité sur un segment pour l'autre morceau... mais il faut d'abord prolonger $t\mapsto f(t)/t^2$ en une fonction continue sur un segment pour l'appliquer... et ça n'aurait pas été possible sur l'intervalle de départ tout entier.
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